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苏教版必修五数列教案
[导读]第一课时：§2.1数列的概念与简单表示法 教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式;了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公...
第一课时：§2.1数列的概念与简单表示法
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式;了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
数列及其有关概念，通项公式及其应用
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
一.情境引入：
　　问题1：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将 拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只乘2只羊，则原来牧羊人赶了多少只羊？
　　本题蕴含什么数学知识，你能解决这个问题吗？　　　　　　　　问题2：考察下列的数据，看看有什么共同特点？
（1）20，22，24，26，28，...。
(2)06,,....
(3)1,2,4,8,16,....
(4)1，-1，1，-1，1，-1，...。
（5）1，1，2，3，5，8，...
（6）从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32。
二.讲授新课
知识点⒈ 数列的定义：（了解）
　　注意：①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现
（2） 数列的项：
(3). （了解）数列的一般形式：
　　下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？
知识点2.（重点） 数列的通项公式：
　写出问题2中数列的通项公式
　　注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
知识点3. （了解）数列与函数的关系：
知识点4．（了解）数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列；
2）根据数列项的大小分：
递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列。（数学符号）
观察问题2中的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
三。范例讲解
例1（见课本第30页例2）已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图像：（1）
知识点5：（重点）数列的表示方法：列表法；图像法；
解析式法（通项公式或递推公式）
（了解）递推公式：
例2. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
　　(1) 3, 5, 9, 17, 33,......；
(2)1,, ......；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,......；
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ......；
　　(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,.......(6)3,33,333.3333,......
例3. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
例4.已知数列的通项公式为，
（1）若，则19是否是数列中的项？并求此时的最小值；
（2）若是递增数列，求实数的取值范围。
即时总结：
四.课堂练习
课本P31[练习]3、4、5
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
五.课后作业
课本P32习题2.1第1～6.授后记拓展:已知函数数列的通项由确定.
(1)判断数列中的项减去它的前一项是不是常数;
(2)当时,求的值.
§2.2等差数列
第二课: §2.2.1等差数列的概念
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
教学重点:等差数列的概念，等差数列的通项公式。
教学难点:等差数列的性质
一.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法--列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
①0，5，10，15，20，25，...
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④1，1，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
二.讲授新课
知识点1．等差数列的概念
注意(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
知识点2．等差数列的通项公式：
拓展2:公差d=
带领学生看课本第33、34页的例1、2、3
思考：判断等差数列的方法有哪些?
知识点3：等差中项的概念：
三、 范例讲解
例1。 ⑴求等差数列8，5，2...的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13...的项？如果是，是第几项？
阅读课本第37页例3.
思考：如果一个数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？　　　　　　例2.已知正数a、b、c成等差数列，且公差不为零，
求证 由它们的倒数所组成的数列不可能成等差数列。
例3.已知是等差数列，求该数列的通项公式。
练习一：课本P。35第1、2、3和课本37第1、2、5、6
练习二：1.下列数列是等差数列的是
（1）,......;
(2)4,2,0,-2,-4,......; (3),.......
2.求出下列等差数列中的未知数；
（1）a，b,-10,c,-20;
(2)x,lg3,lg6,y.
3.在等差数列中中
（1）已知，求；（2）已知，求；
（3）已知求。
4.（1）的等差中项为
（2）的等差中项为
（3）等差数列中，则
思考：在等差数列中中，当时是否一定有。你还发现了其它的一些规律吗？　　四、.课时小结
　　通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.授后记第3课时§2.2.2等差数列
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题，能运用性质解题
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
一、课题导入
　　1、回忆一下上节课所学主要内容：
（1）等差数列的概念
（2）、等差数列的通项公式：
（3）、有几种方法可以计算公差d
（4）问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
2、已知数列{}是等差数列
　　（1）是否成立？据此你能得到什么结论？
　　（2）是否成立？你又能得到什么结论？
结论：（性质）
（3）也成等差数列吗？如是，公差是多少？
　　（4）也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
二、讲授新课。
1、等差数列的性质：（1）
2、等差中项：
3、判断等差数列的方法：（1）
三、例题分析：
例1.（1）在等差数列中，已知，，则公差d=
（2）在等差数列中，
（3）在等差数列中,是方程的根，若=
（4）在两个数a,b之间分别插入n个数和m个数，构成两个等差数列，则=
（5）在等差数列中,则=
例2.已知5个数成等差数列，且它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数。
反思总结：
练习1。（1）三角形的三个角成等差数列，则中间这个角为
（2）已知b是a,c的等差中项，且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列，且a+b+c=15,求a,b,c.
例3.已知数列满足
（1）求证为等差数列；
（2）求数列的通项公式。
练习2.在数列中。设，
求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式
例4. 数列的通项公式=2n+1, 数列的通项公式=5n-3，由这两个数列的公共项组成的数列为，试求数列的通项公式。
练习3：等差数列中，则=
四.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q
(m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
同步导学对应之练习授后记探究：设，则叫数列的前n项和，
（1）若，试证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）若，判断数列是否是等差数列？
　　　　　　
　　　　　　
第四课时: §2.3。1 等差数列的前n项和
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对
学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
一.课题导入
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: "现在给大家出道题目:
1+2+...100=?"
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10...算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
"1+2+3+...+100=5050。
教师问："你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；...50+51=101，所以
101×50=5050"
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的"倒序相加"法。
二.讲授新课
　1．等差数列的前项和公式1：
　推导：　　小结：　 2． 等差数列的前项和公式2：　　　　小结：　　　　发现：
三、范例讲解
例1.（见课本第40页例1、2）在等差数列中
（1）已知求；
（2）已知，求；
（3）已知求。
练习1：在等差数列中
（1）若则=
（2）若则=
（3）若第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，则第21项到第30项的和为
例2.等差数列的前n项和为若求。
练习2：（1）已知等差数列的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n。
（2）等差数列的前n项和为求它的前3m项和。
（3）等差数列的前n项和为若求。
总结规律：1.2.完成上节课的探究：
总结：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=.四.课堂练习
课本P41练习1、2、3、4
五.课时小结
　本节课学习了以下内容：
　1.等差数列的前项和公式1：等差数列的前项和公式2：
　2. 一些规律。
六.课后作业
课本P44习题3、4、5、6题授后记授后记：
　　1.通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
　　2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
　　3.在讲解上一节的探究时，由于时间仓促，处理的不到位，而且本例与
第五课时: §2.3.2等差数列的前n项和
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点:灵活应用求和公式解决问题
一.课题导入
　　首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
3.几个重要结论：
练习：1. 等差数列的前n项和为若，则
2. 等差数列前12项和为354，奇数项和与偶数项和之比为32：27，
3。等差数列的前n项和为若,则该数列的前多少项和最小？
　　4. 等差数列的前n项和为等差数列数列前n项和为，若，则=
　　探究：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？它的前n项和有最值吗？若有公差，首项满足什么条件？　　　　　　二.讲授新课
与等差数列前项和有关的等差数列的性质：（1）（2）（3）（4）(5)三、典例回顾：
例1.已知等差数列，且满足
（1）前多少项的和最大？最大值为多少？
（2）数列的前n项和为，求。
例2：一列火车自A城驶向B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，便要卸下前面个站发往该站的邮袋各一个，同时，又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个
1 列车从第K站出发时邮政车厢内共有邮袋多少个？
2 从第几站出发时车厢内的邮袋数最多？最多是多少？
例3：教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，他享受整存整取利率，利息免税，教育储蓄的对象为在校小学生四年级（含四年级）以上的学生，假设另存整齐三年期，教育储蓄的月利率为2.1‰.
1 欲在三年后，一次支取，本息合计2万元每月大约存入多少元？
2 零存整取三年期教育储蓄每月至多存入多少元？这样，三年后本息合计多少元？（精确到一元）（教育储蓄的存款总额不超过两万元）
例4. 已知等差数列，公差为d，且（k=1,2,...）。
（1）求证数列是等差数列；
（2）若求。
例5.数列中，且满足.
(1)求数列的通项公式；
（2）设求；
（3）设，是否存在整数m，使得对于任意均有成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
五.课堂练习。课本第43页练习。
六.课时小结
1．前n项和为，通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当&0，d&0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
　当&0，d&0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P44习题的7、8、9、10、12题授后记第六课时: §2.4。1等比数列
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
教学重点：等比数列的定义及通项公式
教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
一.课题导入：复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
①1，2，4，8，16，...
②1，，，，，...
③1，20，，，，...
④，，，，，......
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：
二.讲授新课
　1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1?"从第二项起"与"前一项"之比为常数q
成等比数列=q（,q≠0）
　　　　　2? 隐含：任一项
　　　　　3? q= 1时，{an}为常数。
　探求：等比数列的通项公式：　　　　2.等比数列的通项公式1:
　3.等比数列的通项公式2:
　4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P48页的例3--等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q&0）上的一些孤立的点。
时，等比数列｛｝是递增数列；当
，等比数列｛｝是递增数列；
时，等比数列｛｝是递减数列；当
时，等比数列｛｝是递减数列；
时，等比数列｛｝是摆动数列；当
时，等比数列｛｝是常数列。
思考：常数列一定是等比数列吗？一定是等差数列吗？
三、范例讲解
题型一：判断数列是否为等比数列
练习1。数列是等比数列，公比为q
（1）数列是否为等比数列，若是，公比分别为
（2）数列（b）0，且）是
数列，公差（或公比）为
思考：（1）数列是等差数列，数列（b）0，且）是否为等比数列？
（2）若数列中对于任意的正整数都有,则数列是否是等比数列？
2.若a,G,b成等比数列，则称G为a,b的等比中项，且（或）
例1.已知a,b,c,d成等比数列，a+b,b+c,c+d均不为零，求证：a+b,b+c,c+d成等比数列。
题型二、等比数列的概念及等比数列的通项公式。
例2.已知数列为等比数列。
（1）若求;(2)若求;
(3)若求n；
（4）若求。
例3.一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则是否为这个数列中的某一项？若是，是第几项？
思考：你能仿照等差数列说出等比数列的性质吗?
四.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
五、课后作业
课本P49习题3、4、5、7题.授后记第七课时: §2.4.2等比数列
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
教学重点:等比中项的理解与应用
教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
一.课题导入
1.判断等比数列的方法：（1）定义法：
；（2）等比中项法：
；（3）通项公式法：
2、若数列、是等比数列，首项分别是，，公比分别是q，Q。则
（1）数列是否是等比数列？
，若是，公比是
（2）等比数列下标成等差数列的项构成的数列是否是等比数列？
（3）数列是否是等比数列?若是，公比分别是
拓展探究： 在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
二、讲授新课。
1.等比数列的通项公式=
2.等比数列的性质：
3.三个数成等比数列通常设这三个数为
但四个数成等比数列不能轻易地设为,为什么?
三、例题分析：
例1. (1)、在等比数列，已知，，则=
(2)、在等比数列中，，
(3)、在等比数列中，，，则=
(4)、在正项等比数列中，，则=
（5）、在等比数列中，则
（6）、在等差数列中，且成等比数列，则公比为
，若公差大于零，则
例2. 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列，
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
例3。已知四个数，前三个数成等差，后三个数成等比（公比大于零），中间两个数为之积为16，前后两个数之积为-128，求这四个数。
例4.一个等差数列（公差不等于零）中的部分项构成公比为q的等比数列，
已知。求数列的通项公式；
思考：你能求出的前n项和吗？
练习：1. 已知=2，点在函数的图象上，
（1）证明数列是等比数列；
（2）设求，及数列的通项公式
2.已知数列，，设该数列的前n项和为，且，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的通项公式；及前n项和
你能求出吗？
五.课时小结
1、若m+n=p+q，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
六.课后作业
同步导学授后记第八课时: §2.5.1等比数列的前n项和
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
教学重点：等比数列的前n项和公式推导
教学难点：灵活应用公式解决有关问题
一.课题导入
[创设情境] 宰相的麦子：相传古印度宰相达依尔，是国际象棋的发明者。有一次，国王因为他的贡献要奖励他，问他想要什么。达依尔说："只要在国际象棋棋盘上（共64格）摆上这么些麦子就行了：第一格一粒，第二格两粒，......，后面一格的麦子总是前一格麦子数的两倍，摆满整个棋盘，我就感恩不尽了。"国王一想，这还不容易，刚想答应，如果你这时在国王旁边站着，你会不会劝国王别答应，为什么？
[分析问题]：如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
公式的推导方法一：
公式的推导方法二：
公式的推导方法三：
二.讲授新课
1、 等比数列的前n项和公式：
[解决问题] 宰相的麦子的问题
2、等比数列前n项和的一些性质。
（1）连续m项和（即
）仍组成等比数列。
（2）、项数为偶数时，
3、等比数列前n项和与函数的关系：
　三、例题讲解
　例1.在等比数列中，
　（1）已知求；（2）已知求n和；
　（3）已知求；（4）已知，求q。　　　　　例2. 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前 项中数值最大的项为54，求此数列。
例3. 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，求证：例4。已知等比数列中，
（1）问：是数列的第几项？
（2）若=2，求数列的前n项和。
练习：1.已知数列{an}中，，求an ,Sn　　
　2.已知数列中， 且
　（1）设,证明：是等比数列；
　（2）求数列的通项公式；
　（3）若是的等差中项，求q的值，
　并证明：对任意的，是与的等差中项。　四.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时，
五。课后作业：课本P52的练习1、3，第55页T1、2授后记　　　　　第九课时: §2.5.2等比数列的前n项和
教学目标:引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，若分期付款
情感态度与价值观：生动的现实生活，会使学生认识到现实生活中处处有数学，数学在现实生活中处处有应用
教学重点：学会由特殊到一般，归纳总结一般的情形，进而建立等比数列的模型；或努力寻求递推关系，把它归结为递推数列的问题。
教学难点：如何把现实问题转化为数学问题。
教学过程：
例1. 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
例2.从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，
问：（1）.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
（2）.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
阅读课本第52、53页例4、例5理解现实问题中的数学解决方案。
例3.某地现有居民的住房总面积为 ，其中需要拆除的旧住房的面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以﹪的住房增长率建设新房。
（1）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的住房面积为多少？（提示：）
（2）。过10年后还未拆除的旧住房的面积占当时住房总面积的百分比时多少？
（精确到0。1﹪）
课堂练习：第53页2、3题。
课时小结：
课后作业：第56页3、4、7题
　　　　　　　　第十课时:数列求和
目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列的和。
过程与方法：进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
重点：熟悉各种求和的方法
难点：灵活运用各种方法解题。
教学过程：
一、 提出课题：
设正项等比的数列的首项，前n项和为，且。
（1）求的通项；
探究：（2）求的前n项和
回顾旧知：等差数列的前n项和Sn=
等比数列的前n项和Sn=
二、例题分析。
1.公式法：如求和：
2.分组求和
例1.求数列的前n项和。
　　　　　　　
练习：1. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ......+ n×(n + 1)
2. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，......，(1+a+a2+......+an?1)，......前n项和了解3、 裂项法：
例2、求数列前n项和
练习：1、求数列前n项和2、求和4、 错位法：
例3、求数列前n项和
5.分类讨论求和
例4. 求数列前n项和
6.倒序相加求和
例5.求在[a,b]（b&a，）上且分母是3的不可约分的数之和。
7.分母有理化
如，且，求n.
　　　　　
　　　　　
拓展：1，已知正项数列的前n项和滿足，
求数列的前n项和
2.已知点列且与向量共线，。
（1）求的表达式，
（2），数列的前n项和为，若m≤对恒成立，求实数m的取值范围。
三、小结：根据通项公式的特征确定求和的方法。求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错．
问：你能说出哪些求通项公式的方法
四。作业。第52页练习第4题。第56页习题第8题。第60页复习题第8题授后记第十一课时数列求通项
一、课时目标：
（1）在熟记与等比、等差数列相关的公式的同时，进一步理解等比、等差数列的定义；
（2）掌握常见递推公式通项公式的求法
二、本课重点、难点：常见递推公式其通项公式的求法
三、新课讲解
递推公式的概念
中，已知数列的首项
（或者是前几项），如果数列中任意一项
与它的前一项
（或者是前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列
的递推公式。
例如：1. ；1. ；3. ；4. ；
。都是递推公式,由这些递推公式可以求出数列的每一项。
看下面的问题：
题型一、若，则如何求通项公式？
特别地当f(n)=d（）则数列是
例1. 根据各个数列的首项和递推公式，求通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) ；
(2) ＝1, ＝ ；
一般地，当递推公式形如反比例函数（或者说是分式结构时）时，可以考虑在递推公式的两边取倒数，来求数列的通项公式。
题型二、若，则如何求通项公式？
特别地当f(n)=q（q）则数列是
例2、根据各个数列的首项和递推公式，求通项公式（1）、（2）、且
题型三、若满足
例3.数列中，，求通项公式
结论：若令
变形后和原式对比求出m
练习：1。 ＝3, ，求通项公式；
2。，，求通项公式；
题型四、若数列知前n项和，如何求通项公式？
例4、若，且
（1）令，求证数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式。
练习：已知中，，且求通项公式。
典例再现：1.已知=2，点在函数的图象上，
（1）证明数列是等比数列；
（2）设求，及数列的通项公式
　2.已知数列中， 且
　（1）设,证明：是等比数列；
　（2）求数列的通项公式；
（3）若是的等差中项，求q的值，
拓展训练：1.设数列的前n项和满足,且。
（1）若求的表达式；
（2）若求数列的前n项和；
（3）若求证数列是等差数列。
2.设数列满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和。
3.已知数列的首项
（1）求证数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和。
四、小结：求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误.
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　课
题：数列复习小结
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
等差数列知识清单
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
3、等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列。
4、等差数列的前和的求和公式：。
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，
如：，，，，......；，，，，......；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则；
说明：设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。
6、数列最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是
2．设是公差为正数的等差数列，若，，则
3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有
4．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
6．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（
）A.d＜0 B.a7＝0
C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
7．（94全国）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
8．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。
等比数列知识清单
1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列（注意："从第二项起"、"常数"、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
4．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。
5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；
②对于等比数列，若，则.
③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。
1．在等比数列中,,则
2．和的等比中项为
3． 在等比数列中，，，求，
4．在等比数列中,和是方程的两个根,则
5. 在等比数列，已知，，求.
6．（1996全国文）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
7．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝
数列通项与求和知识清单
1．数列求通项与和
（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=
（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+...+(a2－a1)+a1；
③累商叠乘法。
④倒序相加法
⑤裂项求和
⑥并项求和
⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列。
1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。
2．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：
3．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。
复习课：第二课时
一、有关通项问题
1、利用求通项．
例1：数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？
变式题1、（2005湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；
变式题2、（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，......，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
变式题3、（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．
2、解方程求通项：
例2：在等差数列中，（1）已知；
（2）已知；16，44
变式题1、是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于
3、待定系数求通项：
例3： （2006年福建卷）已知数列满足 求数列的通项公式；
二、有关等差、等比数列性质问题
例4：一个等比数列前项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为
变式1、一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为
变式2、等比数列的各项为正数，且三、数列求和问题
例5：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；
（2）数列从哪一项开始小于0？4（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
变式题1、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．
变式题2、在等差数列中，，，求的最大值．
变式题3、已知数列和，设，求数列的前项和．
变式题4、（2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和．
四、数列与函数、方程、不等式的综合应用
例6.已知，则数列中有没有最大项？如有，求出这个最大值；如没有，说明理由。
例7. 观察下面的数阵, 容易看出, 第行最右边的数是, 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12
变式：将全体正整数排成一个三角形数阵：12
　　． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为
六、数列应用题
学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一会有20% 改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30% 改选A种菜.用分别表示在第个星期选A的人数和选B的人数,如果求.　教学过程：
　　一、本章知识结构　　　　二、知识纲要
　　(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
　　(2)等差、等比数列的定义．
　　(3)等差、等比数列的通项公式．
　　(4)等差中项、等比中项．
　　(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
　　三、方法总结
　　1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
　　2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 "知三求二"，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
　　3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
　　4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
　　四、知识精要：1、数列[数列的通项公式]
[数列的前n项和]
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1．
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
2． 对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
[等比中项]
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
[等比数列的判定方法]
1． 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
[等比数列的通项公式]
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
3． 对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
4、数列前n项和
（1）重要公式：；；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中，
（4）裂项求和：；
（5）错位相消求和：比差数列
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