已知：如图,角CAO=角OBD,OA=OB.角C等于角D吗?说明你判断的理由._百度作业帮
已知：如图,角CAO=角OBD,OA=OB.角C等于角D吗?说明你判断的理由.
已知：如图,角CAO=角OBD,OA=OB.角C等于角D吗?说明你判断的理由.
∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形；得：角OAB=角OBA又∵角CAO=角OBD得：角CAB=角DBA因为 角C+角CAB+角CBA=角D+角DBA+角DAB=180°所以 得到 角C=角D有问题我们再讨论已知:如图,AB为⊙O的弦,∠OBA=45°,C是优弧AB上的一点,AD//OB,CB的延长线与AD交于点D,连接AC（1）求证：AD是⊙O的切线;（2）若BC=8√3,∠CBA=75°,求⊙O中阴影部分（弓形）的面积.不过图可能不是很规_百度作业帮
已知:如图,AB为⊙O的弦,∠OBA=45°,C是优弧AB上的一点,AD//OB,CB的延长线与AD交于点D,连接AC（1）求证：AD是⊙O的切线;（2）若BC=8√3,∠CBA=75°,求⊙O中阴影部分（弓形）的面积.不过图可能不是很规
已知:如图,AB为⊙O的弦,∠OBA=45°,C是优弧AB上的一点,AD//OB,CB的延长线与AD交于点D,连接AC（1）求证：AD是⊙O的切线;（2）若BC=8√3,∠CBA=75°,求⊙O中阴影部分（弓形）的面积.不过图可能不是很规范哦
(1)证明:连接OA.OA=OB,则∠OAB=∠OBA=45度,∠AOB=90°.∵AD∥OB.∴∠DAO+∠AOB=180°,∠DAO=90°,故AD是圆O的切线.连接OC.∠CBO=∠CBA-∠OBA=30°.OB=OC,则∠OBC=∠OCB=30°,∠BOC=120°.作OM垂直BC于M,则BM=BC/2=4√3.OB=2OM.∴OB²-OM²=3OM²=BM²,即3OM²=48,OM=4,OB=2OM=8.S扇形OBC=120*π*8²/360=64π/3; S三角形OBC=BC*OM/2=16√3.所以S阴影=S扇形OBC-S三角形OBC=(64π/3)-16√3.
(手机答的，不是很规范，求采纳，谢谢！)1)连接OA角OBA=45度，OB=OA所以角OAB=45度所以三角形ABO为直角三角形，所以AO垂直BO，又因为OB//AD,所以OA垂直AD,所以AD是圆的切线。2)连接OC,过O作OE垂直BC,垂足为E,因为角CBA=75度，角OBA=45度，所以角OBC=30度，角BOC=120度，BC=8...
ÒòΪab=cd£¬ad=cb¡£ËùÒÔËıßÐÎabcdÊÇƽÐÐËıßÐΣ¬ËùÒ&...如图6,角acb等于45°,作角gac等于角cab,角cbf等于角cba,cf垂直bf,垂足为f,ag丶bf相交于e,求证角bhc等于角bae._百度作业帮
如图6,角acb等于45°,作角gac等于角cab,角cbf等于角cba,cf垂直bf,垂足为f,ag丶bf相交于e,求证角bhc等于角bae.
如图6,角acb等于45°,作角gac等于角cab,角cbf等于角cba,cf垂直bf,垂足为f,ag丶bf相交于e,求证角bhc等于角bae.
证明:作CM⊥EG于M,CN⊥AB于N.∵AC平分∠BAG.∴CM=CN;同理可证:CN=CF.∵CM=CN,CA=CA.∴Rt⊿CMA≌Rt⊿CNA(HL),∠1=∠2;同理可证:∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3=45°,∠MCF=90°.∵∠CMA+∠CNA=180°.∴∠MCN+∠MAN=180°.(四边形内角和为360度)∴∠BAE=∠MCN.(均为∠MAN的补角)∵∠MCN+∠NCF=90°(已证).∴∠BAE+∠NCF=90°(等量代换)又CN⊥AB,则∠BHC+∠NCF=90°.∴∠BHC=∠BAE.(同角的余角相等)
要证∠BHC=∠BAE，可以由图得知证GE平行于CH而要证平行，也只剩下证∠HCA=∠GAC了 证明∠ GAC=∠1，∠CAB=∠2；∠CBA-=∠3，∠CBF=∠4，∠BCF=∠5∵∠ACB=45°∴∠2+∠3=135°∵∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠4也=135° ∵EF⊥CF∴∠E...已知：如图，A是圆O外一点，AO的延长线交圆O于点C和点D，点B在圆上，且AB=BD，角A=30°-中国学网-中国IT综合门户网站
> 已知：如图，A是圆O外一点，AO的延长线交圆O于点C和点D，点B在圆上，且AB=BD，角A=30°
已知：如图，A是圆O外一点，AO的延长线交圆O于点C和点D，点B在圆上，且AB=BD，角A=30°
转载 编辑：李强
为了帮助网友解决“已知：如图，A是圆O外一点，AO的延长线”相关的问题，中国学网通过互联网对“已知：如图，A是圆O外一点，AO的延长线”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:1) 求证:直线AB是圆O的切线
2）若圆O的直径为10，求AC的长，具体解决方案如下：解决方案1：三角形ABC为等腰三角形AC=BC，∠OBC=90-30=60°可得△OBC为等边三角形又因为AB=BD:直线AB是圆O的切线2 可知圆O半径为5即OC=OD=5由1知∠ABC=30°=∠BAC，又因为△OBC为等边三角形，∠ODB=30°所以∠OBD=30°又因为B在圆上,BC1 连接OB，所以∠CBD=90°，可得∠OBA=90°可得，所以∠BAC=∠ODB=30°，因为OB=OC=OD解决方案2：∴∠B=120°，∴∠OBA=90°，即AB是圆O的切线。2）AC=BC=1&#47，切点为B1）OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=30°，∵△ABD中∠A=∠D通过对数据库的索引,我们还为您准备了：连接OB由于BC=AB知道∠A=∠BCA=30°,那么∠ABC=180-30-30=120°又CO=OB=R,则∠BCA=∠CBO=30°所以∠OBA=∠ABC-∠CBO=120-30=90°故垂直,由圆切线定...===========================================连结OB,由∠BCA=22.5度,OC=OB,得∠BOA=45度,因为∠BOA=45度,∠BAC=45度,所以∠OBC=90度,故AB是圆O的切线===========================================弧BC所对圆心角为60°,设圆半径为R, 则1/6*2πR=4/3π,∴R=4, ∴S扇形OBC=1/6*π*4^2=8π/3, OA=2OB=8,AB=√3OB=4√3 SΔOAB=1/2*...=========================================== ∵∠COB=60°占圆61 ∵BC弧34π ∴圆半径OB=(4/3)π*6/π/2=4 ∵直角三角形ABO∠A=30° ∵直角三角形ABO∠A所边等于斜边AO半 ∴AB=√((4*2)^2+4^2)=4√3...===========================================1.垂直:连接ON可以用HL证明三角形AMO全等于三角形ANO,那么ON垂直与AN,即AN与圆O是相切的。 下面的图画不明白,=========================================== 由题意得 半径R=4 S=0.5*4*4根号三-(8/3)π=8根号三-(8/3)π===========================================问题不完整。请补充。第一步根据已知。可以求得&园o的半径。根绝勾股定理,直角三角形oab,ob平方+ab平方=oa平方。ob=oc,ab=12,oa=ac+oc。所以&ob平方+1...=========================================== 弧ABAB条直线吧弧CB吧60度===========================================&AD=BC=x 12×(12+x)=x(x+30) x=6 连接BD BE是直径 ∠BDE=∠BDA=90° AB=12,AD=6 ∠AbD =30° ∠A=30° BD=6√3 ED=30,BE=12√7===========================================解:①∵ AB切⊙O于点B ∴ OB ⊥ AB 则∠ABO = 90° 又∠BAO = 30° , OA = 4 ∴ OB = 2 ∠AOB = 60° AB = 2√3 ②∵ CB∥OA ∴ ∠CBO = ∠AOB = 60° 又OB = OC...===========================================
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2012年湖北圆中考数学题解析
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2012年湖北圆中考数学题解析
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湖北13市州（14套）2012年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一、选择题1. （2012湖北黄石3分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为【&&& 】&A.&&&&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&&& D.& 【答案】A。【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。【分析】过点O作OD⊥AB，∵∠AOB=120°，OA=2，∴ 。∴OD= OA= ×2=1， 。∴ ，∴ 。故选A。2. （2012湖北黄石3分）如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为【&&& 】&A.& °&&&&&&&& B.& °&&&&&&&&& C.& °&&&&&&&&& D.& °【答案】B。【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°。∵当∠APB的度数最大时，点P和D重合，∴∠APB=90°。∵AB=2，AD=1，∴ 。∴∠ABP=30°。∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°。故选B。3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为【&&& 】&A． cm2&&& B． cm2&&& C． cm2&&& D． cm2【答案】A。【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。【分析】∵∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB，∴∠B=60°，∠BCD=30°，CD=3cm，BD= cm，∴ 。∴阴影部分的面积为： cm2。故选A。4. （2012湖北宜昌3分）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【&&& 】A．&&& B．&&& C．&&& D． 【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系。1419956【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交。故选B。5. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【&&& 】&A．3cm&&&&& B．4cm&&&&& C．6cm&&&&& D．8cm【答案】C。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。【分析】如图，连接OC，AO，∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB。∴AC=BC= AB∵OA=5cm，OC=4cm，∴在Rt△AOC中， 。∴AB=2AC=6（cm）。故选C。6. （2012湖北咸宁3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【&&& 】．&&A． π2&B． 2π3&C． π2&D． 2π3【答案】A。【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。【分析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°。又∵OA0OB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2× 。∴ 。故选A。7. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【&&& 】&A. 8&&&&&&& B. 10&&&&&&&& C.16&&&&&&&&& D.20【答案】D．【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2．在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。∴直径AB=20。故选D．8. （2012湖北随州4分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=350，则么∠ADC=【&&& 】& A.350&&&&&& B.550&&&&&& C.700&&&&&&&& D.1100&【答案】B。【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∵∠BAC=35°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－35°=55°（直角三角形两锐角互余）∵∠B与∠ADC是 所对的圆周角，∴∠ADC=∠B=55°（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）。故选B。9. （2012湖北襄阳3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【&&& 】A．80°&&&&& B．160°&&&&& C．100°&&&&& D．80°或100°【答案】D。【考点】圆周角定理。1028458【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°。∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°∠ABC=180°80°=100°。∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。　15．10. （2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【&&& 】&A.40°&&B.50°&&C.60°&&D.70°【答案】C。【考点】圆周角定理。【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。&&&&&&& 作⊙O。&&&&&&& ∵ ∠ACB和∠AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，&&&&&&& ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。&& 二、填空题1. （2012湖北荆门3分） 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=　 ▲ 　．&【答案】 。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。 【分析】连接PB、PE．∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。∵A（2，0），B（1，2），∴AE=1，BE=2。∴ 。∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE= 。2. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为　 ▲ 　．&【答案】（ ，0）或（ ，0）。【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，∴圆心N的坐标为（ ，0）。②⊙M与⊙N内切，MN=41=3， ，∴圆心N的坐标为（ ，0）。综上所述，圆心N的坐标为（ ，0）或（ ，0）。3. （2012湖北咸宁3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是&&& ▲&&& 度．&【答案】140。【考点】圆周角定理。【分析】连接OE，∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。∴∠EOA=2∠ECA。∵∠ECA=2×35°=70°，∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。4. （2012湖北孝感3分）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是&&& ▲&&& (结果不取近似值)．&【答案】3000π。【考点】圆柱的计算。【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，∴其内切圆的半径为10cm。∴这个圆柱底面积为100πcm2。∴这个圆柱体积为100π×30=3000π（cm3）。5. ．（2012湖北襄阳3分）如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　& ▲& 　dm．&【答案】1。【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458【分析】如图，作OD⊥AC于点D，连接OA，&∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6。∴ 。∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1。三、解答题1. （2012湖北武汉8分）在锐角△ABC中，BC＝5，sinA＝ 4 5．(1)如图1，求△ABC外接圆的直径；(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA＝B C，求AI的长。&【答案】解：（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。&&&&&&&&&&&&&&&& 则∠CBD=900，∠D=∠A。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴ 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵BC＝5，∴ 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴△ABC外接圆的直径为 。&&&&&&&&&&& （2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。&&&&&&&&&&&&&&&& 在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BDH=4， 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵ ，∴& ，即 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵IH=IE，∴ 。&&&&&&&&&&&&&&& 在Rt△AIH中， 。【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知 ，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。&&&&&&& （2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由 求得 。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。2. （2012湖北荆门10分）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）&【答案】解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．∵OA=OB=5m，AB=8m，∴AF=BF= AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中， ，∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。∵ （m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM－OF+MN=3（m）。∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。∴ （m2）。答：U型槽的横截面积约为20m2。【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。【分析】连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分）如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．&【答案】（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，&∵AC是切线，∴OA⊥AC。∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。∴CD是⊙O的切线。（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。∴CD=CE+DE=5。∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。∴BF=AC=2，DF=BDBF=1。在Rt△CDF中，CF2=CD2DF2=5212=24，∴AB=CF=2 。【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。4. （2012湖北宜昌8分）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为 的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若 ，且⊙O的半径R=6cm．&&&& ①求证：点F为线段OC的中点；&&&& ②求图中阴影部分（弓形）的面积．&【答案】（1）证明：∵OC为半径，点C为 的中点，∴OC⊥AD。∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。（2）①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF= BD。∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，∴ ，∴FC= BD。∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为 。∴ （cm2）。答：图中阴影部分（弓形）的面积为 cm2。【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。&（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；②根据S阴=S扇形AOCS△AOC，求面积。5. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径．&【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF= ∠AOF=30°。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG= BE=5。易证Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A= ，∴ 。∴ 。又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得 ，即 ，解得 。∴⊙O的半径为2AD= 。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。6. （2012湖北咸宁9分）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．&【答案】解：（1）∵BF与⊙O相切，∴BF⊥AB。又∵BF∥CD，∴CD⊥AB。又∵AB是直径，∴CE=ED。连接CO，设OE=x，则BE=9－x。由勾股定理得： ，即 ，解得 。∴ 。（2）∵四边形BDCF为平行四边形，∴BF=CD。而 ，∴ 。∵BF∥CD， ∴△AEC∽△ABF。∴ 。∴点E是AB的中点。【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质。相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，从而求得CD的长。（2）由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点。7. （2012湖北荆州9分）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）&【答案】解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．∵OA=OB=5m，AB=8m，∴AF=BF= AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中， ，∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。∵ （m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM－OF+MN=3（m）。∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。∴ （m2）。答：U型槽的横截面积约为20m2。【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。【分析】连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。8. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．&【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）。将E（0，3）代入上式，解得：a=1。∴抛物线的解析式为y=－（x3）（x+1），即y=x2+2x+3。又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°， 。在Rt△EMB中，EM=OMOE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°， 。∴∠BEA=180°∠1∠MEB=90°。∴AB是△ABE外接圆的直径。在Rt△ABE中， ，∴∠BAE=∠CBE。在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。∴CB是△ABE外接圆的切线。（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0， ）。（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得 ，解得 。∴直线AB的解析式为y=2x+6。过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F（ ，3）。情况一：如图2，当0＜t≤ 时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得 ，即 ，解得HK=2t。∴ = ×3×3 （3t）2 t•2t= t2+3t。情况二：如图3，当 ＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。由△IQA∽△IPF，得 ．即 ，解得IQ=2（3t）。∴ = ×（3t）×2（3t） （3t）2= （3t）2= t23t+ 。综上所述： 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。&（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= 。若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，& 即tan∠DEO= =tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。②DE为短直角边时，P2在x轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE= 。而DE= ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2OD=9。即P2（9，0）。③DE为长直角边时，点P3在y轴上。若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE= 。则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ ，OP3=EP3OE= 。即P3（0， ）。综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0， ）。&&&& （4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。9. （2012湖北黄冈8分）如图，在△ABC 中，BA=BC，以AB 为直径作半圆⊙O，交AC 于点D.连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）求证：DB2=AB•BE.&【答案】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一）。又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。∴OD∥BC。∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。∴DE为⊙O的切线。（2）∵∠BED=∠BDC =900，∠EBD=∠DBC，∴△BED∽△BDC，∴ 。又∵AB=BC，∴ 。∴BD2=AB•BE。【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。10. （2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求 的值．&&【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线。（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FG与FC的比即可。11. （2012湖北孝感10分）)如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．&【答案】解：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD。又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA。∵OA为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径。∴CD是⊙O的切线。（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC。∴四边形ABFD是矩形。∴AD=BF，AB=DF。又∵AD=4，BC=9，∴FC=9－4=5。∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE。∴DC=AD+BC=4+9=13。在Rt△DFC中，DC2=DF2＋FC2，∴ 。∴AB=12。∴⊙O的半径R是6。【考点】切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质。【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径。12. （2012湖北襄阳10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．&【答案】解：（1）连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°。∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB。又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）。∴∠PAO=∠PBO=90°。∴直线PA为⊙O的切线。（2）EF2=4OD•OP。证明如下：∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°。∴∠OAD=∠OPA。∴△OAD∽△OPA，∴ ，即OA2=OD•OP。又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP。（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD= BC=3（三角形中位线定理）。设AD=x，∵tan∠F= ，∴FD=2x，OA=OF=2x3。在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x3）2=x2+32，解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）。∴AD=4，OA=2x3=5。∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°。又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB= 。∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25。∴PE= 。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。1028458【分析】（1）连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，从而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论。（2）先证明△OAD∽△OPA，由相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=2OA代入关系式即可。（3）根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，由勾股定理解出x的值，从而能求出cos∠ACB，再由（2）可得OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长。　13. （2012湖北鄂州10分）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H。&& （1）求证：OE∥AB;&& （2）若EH＝ CD，求证：AB是⊙O的切线；&& （3）若BE=4BH，求 的值。
【答案】解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。（2）证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。∵AB=DC，∴∠B=∠C。∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。又∵EH= CD，∴OF= CD，即OF是⊙O的半径。∴AB是⊙O的切线。（3）连接DE。∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴ 。∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，&，∴CD=2EH=2 。∴ 。【考点】等腰梯形（三角形）的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。（2）过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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