请问这个定积分怎样求?∫[0,π]sin³tdt=还有这类的sin,cos的几次方的定积分一般是要怎样求的呢?
小星星___0068
∫(0→π) sin³t dt= ∫(0→π) sin²t · sint dt= ∫(0→π) (1 - cos²t) d(- cost)= ∫(0→π) (cos²t - 1) d(cost)= [(1/3)cos³t - cost]：(0→π)= [(1/3)(- 1) - (- 1)] - [1/3 - 1]= 4/3∫ (sinx)^n dx,当n是奇数时,∫ (sinx)^(n - 1) · sinx dx = - ∫ (sinx)^(n - 1) d(cosx)= - ∫ (sin²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)= - ∫ (1 - cos²x)^[(n - 1)/2] d(cosx)如果令u = cosx= - ∫ (1 - u²)^[(n - 1)/2] du,n - 1是偶数= ...拆开变为多项式然后积分当n是偶数时,分别用公式cos2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x和sin2x = 2sinxcosx化简用降幂公式∫ sinⁿx dx = (- cosx · sinⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ sinⁿ⁻²x dx∫ cosⁿx dx = (sinx · cosⁿ⁻¹x)/n + (n - 1)/n · ∫ cosⁿ⁻²x dx如果是定积分的话,又有另外一些规律∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx,n > 1当n是奇数时：= (n - 1)!/n!= (n - 1)/(n - 2) · (n - 3)/(n - 4) · ...· 3/4 · 1/2当n是偶数时：= (n - 1)!/n!· π/2
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扫描下载二维码关于e 这个数 就是2.7几的那个.它的值怎么求的e 这个数怎么来的.
销魂军团丶亥
e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828……,是这样定义的：
当n->∞时,(1+1/n)^n的极限.
注：x^y表示x的y次方.
随着n的增大,底数越来越接近1,而指数趋向无穷大,那结果到底是趋向于1还是无穷大呢?其实,是趋向于2.71828……,不信你用计算器计算一下,分别取n=1,10,100,1000.但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字,所以再多就看不出来了.
e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.
这里的e是一个数的代表符号,而我们要说的,便是e的故事.这倒叫人有点好奇了,要能说成一本书,这个数应该大有来头才是,至少应该很有名吧?但是搜索枯肠,大部分人能想到的重要数字,除了众人皆知的0及1外,大概就只有和圆有关的π了,了不起再加上虚数单位的i=√-1.这个e究竟是何方神圣呢?
在高中数学里,大家都学到过对数（logarithm）的观念,也用过对数表.教科书里的对数表,是以10为底的,叫做常用对数（common logarithm）.课本里还简略提到,有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数,称为自然对数（natural logarithm）,这个e,正是我们故事的主角.不知这样子说,是否引起你更大的疑惑呢?在十进位制系统里,用这样奇怪的数为底,难道会比以10为底更「自然」吗?更令人好奇的是,长得这么奇怪的数,会有什么故事可说呢?
这就要从古早时候说起了.至少在微积分发明之前半个世纪,就有人提到这个数,所以虽然它在微积分里常常出现,却不是随著微积分诞生的.那么是在怎样的状况下导致它出现的呢?一个很可能的解释是,这个数和计算利息有关.
我们都知道复利计息是怎么回事,就是利息也可以并进本金再生利息.但是本利和的多寡,要看计息周期而定,以一年来说,可以一年只计息一次,也可以每半年计息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；当然计息周期愈短,本利和就会愈高.有人因此而好奇,如果计息周期无限制地缩短,比如说每分钟计息一次,甚至每秒,或者每一瞬间（理论上来说）,会发生什么状况?本利和会无限制地加大吗?答案是不会,它的值会稳定下来,趋近於一极限值,而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）.所以用现在的数学语言来说,e可以定义成一个极限值,但是在那时候,根本还没有极限的观念,因此e的值应该是观察出来的,而不是用严谨的证明得到的.
包罗万象的e
读者恐怕已经在想,光是计算利息,应该不至于能讲一整本书吧?当然不,利息只是极小的一部分.令人惊讶的是,这个与计算复利关系密切的数,居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联.在讨论e的源起时,除了复利计算以外,事实上还有许多其他的可能.问题虽然都不一样,答案却都殊途同归地指向e这个数.比如其中一个有名的问题,就是求双曲线y=1/x底下的面积.双曲线和计算复利会有什么关系,不管横看、竖看、坐著想、躺著想,都想不出一个所以然对不对?可是这个面积算出来,却和e有很密切的关联.我才举了一个例子而已,这本书里提到得更多.
如果整本书光是在讲数学,还说成是说故事,就未免太不好意思了.事实上是,作者在探讨数学的同时,穿插了许多有趣的相关故事.比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗?是纳皮尔（John Napier）.没有听说过?这很正常,我也是读到这本书才认识他的.重要的是要下一个问题.你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗?请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情,别说电脑和计算机了,根本是什么计算工具也没有,所有的计算,只能利用纸笔一项一项慢慢地算,而又还不能利用对数来化乘除为加减,好简化计算.因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表,简直是匪夷所思吧!试著想像一下二十年之间,每天都在重复做同类型的繁琐计算,这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的.但纳皮尔熬过来了,而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎,许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用,连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉.最早使用对数的人当中,包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒,他利用对数,简化了行星轨道的繁复计算.
在《毛起来说e》中,还有许多我们在一般数学课本里读不到的有趣事实.比如第一本微积分教科书是谁写的呢?（假如你曾受微积分课程之苦,也会想知道谁是「始作俑者」吧?」）是罗必达先生.对啦,就是罗必达法则（L'Hospital's Rule）的那位罗必达.但是罗必达法则反倒是约翰．伯努利先发现的.不过这无关乎剽窃的问题,他们之间是有协议的.
说到伯努利可就有故事说了,这个家族实在不得了,别的家族出一位天才就可以偷笑了,而他们家族的天才是用「量产」形容.伯努利们前前后后在数学领域中活跃了一百年,他们的诸多成就（不仅止于数学领域）,就算随便列一列,也有一本书这么厚.不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了,那就是吵架.自家人吵不够,也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）.连爸爸与儿子合得一个大奖,爸爸还非常不满意,觉得应该由自己独得,居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来,这位爸爸真该感到惭愧.
e的「影响力」其实还不限于数学领域.大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状,而螺线的方程式,是要用e来定义的.建构音阶也要用到e,而如果把一条链子两端固定,松松垂下,它呈现的形状若用数学式子表示的话,也需要用到e.这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题,居然统统和e有关,岂不奇妙?
数学其实没那么难!
我们每个人的成长过程中都读过不少数学,但是在很多人心目中,数学似乎是门无趣甚至可怕的科目.尤其到了大学的微积分,到处都是定义、定理、公式,令人望之生畏.我们会害怕一个学科的原因之一,是有距离感,那些微积分里的东西,好像不知是从哪儿冒出来的,对它毫无感觉,也觉得和我毫无关系.如果我们知道微积分是怎么演变、由谁发明的,而发明之时还发生了些什么事（微积分是谁发明的这件事,争论了许多年,对数学发展产生重大的影响）,发明者又是什么样的人等等,这种距离感就应该会减少甚至消失,微积分就不再是「陌生人」了. 这是小数点后面两千位：
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扫描下载二维码求助这个极限是怎么求出来的,第一步分子有理化我知道,但是第二步完全糊涂了,
fenger170121
上下同除以x啊可化成：lim4/(√(1+1/x)+√(1-3/x))当x无穷大时,原式=4/[(√1+0)+(√1-0)]=4/2=2
我还是不理解啊，为什么除以X后，分母会变成你们写的那样，能帮我解释一下吗？我不是捣蛋，毕业11年了，忘记这是怎么回事了，谢谢。
=√(x^2+x)/x^2
=√(1+1/x)
另外一个也是一样的道理
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分子分母同乘 两个根号式相加的一个式子
分子分母同时除以x得4/[√（1+1/x)+√(1-3/x)lim(4/[√（1+1/x)+√(1-3/x)])=4/(1+1)=2
为什么除以X后，分母会变成你们写的那样，能帮我解释一下吗？
x趋向无穷大时，√Ax^n+Bx+C= √Ax^n所以第二步为
4x/(x+x)=2
分子与分母同时除以x，然后求极限就可以了。
满意请采纳，不懂可追问。
根号里的式子可以写成x(x+1)、x(x-3)当x趋向无穷大时，(x+1)趋向x；(x-3)趋向x；所以分母趋向2x，得4x/2x=2
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这个怎么求积分？
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提问者评价
太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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出门在外也不愁高数中这个积分怎么求?&
●╱蘇荷丶haux
能看清吗？
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