第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)
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第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)
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第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)
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文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M 第八章& 平面向量
一、基础知识定义1& 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2& 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1& 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2& 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 0，使得a= f定理3& 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3& 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。定义4& 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为 ，则a, b的数量积记作a•b=|a|•|b|cos =|a|•|b|cos&a, b&，也称内积，其中|b|cos 叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4& 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a•(b+c)=a•b+a•c，3．a•b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= (a, b 0),4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.定义5& 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使 ，λ叫P分 所成的比，若O为平面内任意一点，则 。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 定义6& 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|= 个单位得到图形 ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到 上对应的点为 ，则 称为平移公式。定理5& 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a•b|≤|a|•|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】& 因为|a|2•|b|2-|a•b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a•b|≥0, |a|•|b|≥0，所以|a|•|b|≥|a•b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a•b|≤|a|•|b|，化简即为柯西不等式：& (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a•b|≥0, |a|•|b|≥0，所以|a|•|b|≥|a•b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a•b|≤|a|•|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。例1& 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证： 【证明】& 记 ，若 ，则将正n边形绕中心O旋转 后与原正n边形重合，所以 不变，这不可能，所以 例2& 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是 【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则 又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG PC，所以 所以 充分性。若 ，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则 因为 ，则 ，所以GB CP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3& 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】& 如图所示，结结BQ，QD。因为 ，所以 = • =&& ①又因为 同理&&&& ，&& ②&，&& ③由①，②，③可得 &。得证。 2．证利用定理2证明共线。例4& △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。【证明】& 首先 = &其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE 又AH BC，所以AH//CE。又EA AB，CH AB，所以AHCE为平行四边形。所以 所以 ，所以 ，所以 与 共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3．利用数量积证明垂直。例5& 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a b.【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 a2+2a•b+b2=a2-2a•b+b2 a•b=0 a b.例6& 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OE CD。【证明】& 设 ，则 ，&又 ，所以 &&a•(b-c).& （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a•(b-c)=0. 所以OE CD。4．向量的坐标运算。例7& 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则 =(x, y-1),& ，因为 ，所以-x-(y-1)=0.又因为 ，所以x2+y2=2.由①，②解得 所以 设 ，则 。由 和 共线得 所以 ，即F ，所以 =4+ ，所以AF=AE。三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②(a•b)•c=(a•c)•b；③若a•b=a•c，则b=c；④若a, b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；⑤若 ，且a, b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：① ；② ；③& ；④ 与 ，相等的有__________.3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a•b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.5．已知a, b不共线， =a+kb,& =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且 ，BM与CN交于D，若 ，则λ=__________.7．已知 不共线，点C分 所成的比为2， ，则 __________.8．已知 =b, a•b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若 ，c•b=4，则b的坐标为__________.10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b，则b的坐标为__________.11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问 与 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。12．在四边形ABCD中， ，如果a•b=b•c=c•d=d•a，试判断四边形ABCD的形状。
四、高考水平训练题1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足& 则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。2．在△ABC中， ，且a•b&0，则△ABC的形状是__________.3．非零向量 ，若点B关于 所在直线对称的点为B1，则 =__________.4．若O为△ABC 的内心，且 ，则△ABC 的形状为__________.5．设O点在△ABC 内部，且 ，则△AOB与△AOC的面积比为__________.6．P是△ABC所在平面上一点，若 ，则P是△ABC 的__________心.7．已知 ，则| |的取值范围是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则 的最小值为__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________.11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知 ，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定义域；（2）求 的取值范围。12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得 成公差小于零的等差数列。（1）试问点P的轨迹是什么？（2）若点P坐标为(x0, y0),& 为 与 的夹角，求tan .
五、联赛一试水平训练题1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q满足 时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且 ，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a, b, c. O为平面内任意一点， 则 =___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三个向量a, b, c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|&1(k∈R)，则k的取值范围是___________.4．平面内四点A，B，C，D满足 ，则 的取值有___________个.5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则 取值的集合是___________.6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC 的角，若sinA• +sinB• +sinC• ，则点O为△ABC 的___________心.7．对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) (a-b)”的___________条件.8．在△ABC 中， ，又(c•b)：(b•a)：(a•c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P为△ABC内一点，且 ，CP交AB于D，求证： 10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令 ，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为△O1O2O3的外心。11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到 的变换T，由T(x)=-x+2(x•a)a(x∈V)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)•T(y)=x•y；（2）对于V的任意向量x，计算T[T(x)]-x；（3）设u=(1, 0)； ，若 ，求a.六、联赛二试水平训练题1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点， 为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点， 为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？证明你的结论。2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的 AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OB DF，OC DE，（2）OH MN。8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作 ，求证△ABC为正三角形。9．在平面上给出和为 的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.&文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M
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高中数学教学：研究新教材转变教学思想
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高中数学教学：研究新教材转变教学思想
作者：佚名 文章来源：网络 点击数： 更新时间： 7:48:36
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网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）初中数学教学设计大赛获奖作品
篇一：高中数学在教学设计大赛上获奖作品展示 高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编
目录 1、集合与函数概念实习作业?????????????? 2、指数函数的图象及其性质?????????????? 3、对数的概念??????????????????? 4、对数函数及其性质（1）?????????????? 5、对数函数及其性质（2）?????????????? 6、函数图象及其应用?????????????? 7、方程的根与函数的零点?????????????? 8、用二分法求方程的近似解?????????????? 9、用二分法求方程的近似解?????????????? 10、直线与平面平行的判定?????????????? 11、循环结构
??????????????????? 12、任意角的三角函数（1）????????????? 13、任意角的三角函数（2）?????????????? 14、函数y?Asin(?x??)的图象?????????? 15、向量的加法及其几何意义??????????????? 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）?????? 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）???????? 18、正弦定理（1）???????????????????? 19、正弦定理（2）???????????????????? 20、正弦定理（3）???????????????????? 21、余弦定理?????????????????? 22、等差数列??????????????????23、等差数列的前n项和??????????????? 24、等比数列的前n项和??????????????? 25、简单的线性规划问题??????????????? 26、物线及其标准方程??????????????? 27、圆锥曲线定义的运用???????????????
前言 为了更好地贯彻落实和科课程标准有关要求，促进广大教师学习现代教学理论，进一步激发广大教师课堂教学的创新意识，切实转变教学观念，积极探索新课程理念下的教与学，有效解决教学实践中存在的问题，促进课堂教学质量的全面提高，在2007年由福建省普通教育教学研究室组织，举办了一次教学设计大赛活动。这次活动数学学科高中组共收到有49篇教学设计文章。获奖文章推荐评审专家组本着公平、公正的原则，经过认真的评审，全部作品均评出了相应的奖项；专家组还为获得一、二等奖的作品撰写了点评。本稿收录的作品全部是参加此次福建省教学设计竞赛获奖作者的文章。按照征文的规则，我们对入选作品的格式作了一些修饰，并经过适当的整合，以飨读者。 在此还需要说明的是，为了方便阅读，获奖文章的排序原则，并非按照获奖名次的前后顺序，而是按照高中数学新课程必修1―5的内容顺序，进行编排的。部分体现大纲教材内容的文章则排在后面。 不管你获得的是哪个级别的奖项,你们都可以有成就感,因为那是你们用心、用汗浇灌出的果实,它记录了你们奉献于数学教育事业的心路历程.书中每一篇的教学设计都耐人寻味,都能带给我们许多遐想和启迪.你们是优秀的,在你们未来悠远的职业里程中,只要努力,将有更多的辉煌在等待着大家。谢谢你们! 编者
于福州 1、集合与函数概念实习作业
一、教学内容分析 《普通高中课程标准实验教科书?数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。 二、学生学习情况分析 该内容在《普通高中课程标准实验教科书?数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。 三、设计思想 《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。 四、教学目标 1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物； 2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐； 3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。 五、教学重点和难点 重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用； 难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。 六、教学过程设计 【课堂准备】 1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。 参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数符号的故事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目 3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。 4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---.cn、/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/ 59.html等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。 实习报告 年月日 题目
组长及参加人员 教师审核意见及等级篇二：数学教师基本功比赛一等奖教学设计【23[1].1_图形的旋转】 23.1 图形的旋转（第一课时）
图形的旋转是在学习了图形的两种变换――轴对称和平移的基础上，进一步学习的一种图形基本变换，是将来进一步研究图形全等及其有关性质的基础．本节通过实际生活中经常看到的一些图形旋转现象，给出图形旋转的大致形象，然后引导学生探索研究平面图形的旋转变换．通过学生的自主探索、合作研究、交流体会，培养学生的观察能力、图形辨析能力和探索学习的能力．
1、通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质。 2、在发现、探究的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力。 3、学生在经历了实验探究、知识应用及内化等数学活动中，体验数学的具体、生动、灵活，调动学生学习数学的主动性。 归纳图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形。 对图形进行旋转变换。 一、创设情境，导入新课 问题： 1.观察实例（课件展示）． ①钟表的指针在不停地旋转，从3点到3点20分，分针、时针各转动了多少度？ ②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置。 这些现象有哪些共同特点？ 教师应关注：（1）学生观察实例的角度；（2）在学生发现实例现象的共同特点后，要求学生试着描述出旋转的定义。 归纳定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转 中心，转动的角叫做旋转角。 （设计意图：在普通、熟悉的现象中探求数学概念、定理，易使学生产生亲切感，容易较快进入学习角色，避免了由于数学内容脱离现实而引发的学习兴趣不高，被动学习的现象。由于学生在生活中或多或少地感受到过旋转，所以回答出教师所展示的实例中的共同特点并不困难，也能较顺利地归纳出旋转的数学定义，所以在活动1中不仅获得了知识，同时也可感受到数学可以是具体、生动的。） 2.巩固练习 ①下列现象中属于旋转的有( )个. 地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头的转动；钟摆的运动；荡秋千运动． ②教材第56页练习1、2题。 （设计意图：本环节设置巩固练习的目的是让学生从数学的角度认识现实生活，从而内化旋转的定义，为下一个环节的顺利进行打好基础。） 二、实验操作，探究新知 1.课件展示（从时针的旋转到三角形的旋转） 2.请大家在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形洞(△ABC)，然后围绕O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形洞(△A′B′C′)，移开硬纸板．(教科书图23.1-3) 问题：（1）线段OA与线段OA′间有什么关系？ （2）∠AOA′与∠BOB′间有什么关系？ （3）ΔABC与ΔA′B′C′形状和大小有什么关系？ 学生独立进行教学实验，，按照教师提出的探究方向进行度量、分析、归纳、抽象出图形旋转的特征。 通过学生的动手操作，合作探究，得出结论。 归纳：对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前后的图形全等。 （设计意图：通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力同时这也突出了教学的重点。） 三、例题讲解，新知应用 1.课件展示（正方形的旋转）A'2.如教科书图23.1-4，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ΔADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 学生独立思考、分析、解答问题。 教师应重点关注：（1）学生在画出图形后，能否准确地运用旋转的基本特征表达出作图的理论依据。 解：因为点A是旋转中心，则它的对应点是它本身。正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合。 设点E的对应点为点E/，因为旋转前后的图形全等，所以∠ABE= ∠ADE=90°，B E/=DE,因此可得出右面的旋转图形。 （设计意图：此例题是旋转性质的应用，通过让学生解决蕴含所学知识C DE 的实际问题和数学问题将新知识内化入学生已有的认知结构。同时也突破了本节的难点。） 3.此题还有别的解法吗？ （设计意图：让学生探讨不同的画法，可调动学生学习的积极性。） 四、课堂练习，巩固理解 1．在旋转过程中，位置保持不变的点叫作__________． 2．图形的旋转是由________和____________决定的，在旋转过程中，________保持不变． 3．如图，用下面的三角形经过怎样的旋转，可以得到图中的图形？ 4．如图，它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的：①请你在图中用字母O标注出这点；②每次旋转了_______度；③一共旋转了_______次． （设计意图：本环节是所学知识的应用过程．通过让学生解决蕴含所学知识的实际问题和数学问题将新知识内化入学生已有的认知结构中。） 五、归纳小节，内化知 通过本节课的学习，你了解了哪些知识？与平移、轴对称图形变换，旋转与另两种图形变换有哪些共性与联系？还存在哪些疑惑？ （设计意图：让学生通过反思已经学过的有关图形变换的知识，深入理解旋转变换的本质特征．同时为以后进行图案设计活动做知识储备。） 六、达标测试，充实提高（每小题10分，共40分，时间8分钟。）
1．如图，?1??2?48?,?3?40?，扇形AOB旋转__________角度后能与扇形DOC重合，则AB?____,?B?____?．
A A D B E B C D B C E A EA D 1题2题3题4题 5题 2．如图，四边形OABC绕点O旋转得到四边形ODEF，如果?AOC?40?,?COD?50?． （1）这个图形的旋转中心是点________； （2）旋转的角是_______； （3）点A的对应点是________，线段OC的对应线是_________． 3．如图，?CDE可以看作是?CAB绕某一点旋转后的图形，CD与AB相交于点F，?CFB是等边三角形。 （1）旋转中心是点________； （2）点A、B、C的对应点分别依次是________； （3）?A、?B、?ACB的对应角分别依次是________； （4）线段AC、BC、AB的对应线段分别依次是_________； （5）旋转的角度是________． 4．如图，?ABC与?DCE都是等边三角形，点C在线段BE上，连BD，如果?BCD绕点C顺时针旋转60°，画出?BCD旋转后的三角形。 5.图中的风车图案，可以由哪个基本的图形，经过什么样的旋转得到？ （设计意图：达标测试题给学生限定的时间，每一道题都设置分值，目的在于反馈教学的效果。在选题上有梯度，考虑到面向全体学生。主要目的是巩固所学知识，拓展学生思维。） 七、课后作业，颗粒归仓 第1、3题为必做题，10题为选做题。 （设计意图：在选题上既要考虑优秀生，又要照顾到学困生，使优秀生吃的饱，学困生吃得了。） 本节课的教学以观察、分析现实生活中的实例为切入点，以探究活动为主线，设计了三个数学活动．让学生通过具体实例认识旋转，通过动手进行数学实验探索旋转的基本性质，通过解决实际问题、数学问题掌握旋转变换中对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。 值得注意的事，数学实验与数学问题在数学的起始课中应是相辅相成的、缺一不可的．如果课堂中一味地侧重动手实验而忽视了必要的问题解决，那课堂会显得浮躁、缺乏数学内涵．反之，一节课中如果充斥着各类的习题，那课堂会显得沉闷、缺乏数学的灵巧与生动。篇三：2010年初中数学全国优质课教案教学设计精品020 课题：12.3等腰三角形（第一课时） 教学内容：新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时 任课教师：东湾中学李晓伟 设计理念： 教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、数形结合和方程的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、的陶冶、意识的创新。 一、教材及教学内容分析 ㈠教材的地位和作用分析 等腰三角形是新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时的内容。 本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。 另外，本堂课通过“活动探究”、“―猜想―证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。 ㈡教学内容的分析 本堂课是等腰三角形的第一堂课，在认识等腰三角形的基础上着重介绍“等腰三角形的性质”。在教学设计的过程中，通过展示我国今年举办的精彩绝伦的盛会―上海世博会图片中的等腰三角形，结合云南丰富的文化资源，让学生感知生活中处处有数学，感受图形的和谐美、对称美；通过学生感兴趣的数学情景引入等腰三角形定义，提高学生的学习乐趣；让学生通过动手剪等腰三角形、对折等腰三角形等活动，探究发现等腰三角形的性质，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现等腰三角形的性质的基础上，再经过推理证明等腰三角形的性质，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延伸，有机地将等腰三角形的认识与等腰三角形的性质的证明结合起来，从中发展学生推理能力。 在例题的选取上，注重联系实际，激发学生学习兴趣，让学生主动用数学知识解决实际问题，同时渗透分类讨论、数形结合和方程的数学思想方法，让学生形成自我的数学思维和能力，发展学生应用数学的意识。 二、目标及其解析 ㈠教学目标： 知识技能： 1．了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形是轴对称图形； 2．经历探究等腰三角形性质的过程，理解等腰三角形的性质的证明； 3．掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角形的性质解决生活中简单的实际问题。 数学思考： 1．经历“观察?实验?猜想?论证”的过程，发展学生几何直观； 2．经历证明等腰三角形的性质的过程，体会证明的必要性，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力. 解决问题： 1．能运用等腰三角形的性质解决生活中的实际问题，发展数学的应用能力，获得解决问题的经验； 2．在小组活动和探究过程中，学会与人合作，体会与他人合作的重要性. 情感态度： 1. 经历“观察?实验?猜想?论证”的过程，体验数学活动充满着探究性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心； 2.经历运用等腰三角形解决实际问题的过程，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用； 3.在独立思考的基础上，通过小组合作，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，在交流中获益. ㈡教学重点：等腰三角形的性质及应用。 ㈢教学难点：等腰三角形性质的证明。㈣解析 本堂课是等腰三角形的第一堂课，所以对于本堂课的知识目标的定位，主要考虑如下： 1．了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形是轴对称图形，在本堂课中要达到如下要求：⑴理解等腰三角形的定义，知道等腰三角形的顶角、底角、腰和底边；⑵知道等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，即：顶角角平分线（底边上的高或底边上的中线）所在直线； 2．经历探究等腰三角形性质的过程，掌握等腰三角形的性质的证明，在课堂中让学生参与等腰三角形性质的探索，鼓励学生用规范的数学言语表述证明过程，发展学生的数学语言能力和演绎推理能力，引导学生完成对等腰三角形的性质的证明； 3．会利用等腰三角形的性质解决简单的实际问题，本堂课要达到以下要求：掌握等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质解决简单的实际问题。 三、问题诊断分析 1．在这堂课中，学生可能遇到的第一个困难是等腰三角形性质的发现，特别是等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合这一性质，解决这一问题教师主要借助等腰三角形对称性的研究，并引导学生理解“重合”这个词的涵义。 2．这堂课学生可能遇到的第二个问题是证明等腰三角形的性质，这一问题主要有三个原因：第一学生刚接触几何证明不久，对数学语言表达方式还不熟悉；这一困难，并不是一堂课就能解决的，而要在以后学习中帮助学生增强数学语言运用的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。在这堂课中我通过等腰三角形性质的证明，鼓励学生运用规范的数学语言来表述，使学生数学语言能力和演绎推理能力得到提升；第二是添加辅助线的问题，这也是学生在证明中的一个难点。要解决这一问题，我借助等腰三角形是轴对称图形，通过研究等腰三角形的对称轴，让学生理解三种添加辅助线的方法，即作顶角角平分线、底边上的高或底边上的中线；第三是证明等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合这一性质，要突破这一难点，我采用先证明等腰三角形两底角相等这一性质，为学生搭一个台阶，更好地解决这个难点。 3．这堂课中学生可能遇到的第三个问题是对等腰三角形的性质的应用，特别是等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合这一性质的应用；所以我在设计课堂练习时，注重数学知识与生活实际的联系，提高学生数学学习的兴趣，让学生主动运用数学知识解决实际问题，并通过练习渗透分类讨论、数形结合和方程的数学思想方法，让学生形成自我的数学思维和能力，发展学生应用数学的意识。 四、教法、学法：
教法： 常言道：“教必有法，教无定法”。所以我针对八年级学生的心理特点和认知能力水平，大胆应用生活中的素材，并作了精心的安排，充分体现数学是源于实践又运用于生活。因此，本堂课的教学中，我以学生为主体，让学生积极思维，勇于探索，主动地获取知识。同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂“活”起来，提高课堂效率。本堂课以生活中的一些例子为中心，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打打下坚实的基础。 本堂课的设计是以课程标准和教材为依据，采用发现式教学。遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。 学法： 学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“情景问题?实践探究?证明结论?解决实际问题”的主线进行学习。让学生从活动中去观察、探索、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会自主学习，学会探索问题的方法。 五、教学支持条件分析 在本堂课中，准备利用长方形纸片、剪刀、圆规和直尺等工具，剪出等腰三角形，利用等腰三角形，通过对折、多媒体动画演示等方法发现等腰三角形的性质，并且借助多媒体信息技术与实际动手操作加强对所学知识的理解和运用。 六、教学基本流程
七、教学过程设计：篇四：初中数学优秀教案大集合 课题：二元一次方程
一、教学目标： 1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念; 2．学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 3．学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示; 4.在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育. 二、教学重点、难点： 重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念. 难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程. 三、教学方法与教学手段： 通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点. 四、教学过程： 1.情景导入： 新闻链接：桐乡70岁以上老人可领取生活补助, 得到方程：80a+150b=902 880. 2.新课教学： 引导学生观察方程80a+150b=902 880与一元一次方程有异同？ 得出二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程. 做一做： （1）根据题意列出方程: ①小明去看望奶奶，买了5 kg苹果和3 kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg , 梨的单价y元/kg ； ②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，可得方程：
. （2）课本P80练习2. 判定哪些式子是二元一次方程方程. 合作学习： 活动背景爱心满人间――记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动. 问题：参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人. 团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行? 为什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等? 由学生检验得出代入方程后，能使方程两边相等. 得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 并提出注意二元一次方程解的书写方法. 试一试：检验下列各组数是不是方程2x=y+1的解: ①??x?4, ?y?3,②??x?2.5, ?y?4,③??x??6, ?y??13. ②③是方程的解，每个学生再找出方程的一个解，引导学生得到结论：一般情况下，二元一次方程有无数个解. 3.合作学习： 给定方程x+2y=8,男同学给出y（x取绝对值小于10的整数）的值，女同学马上给出对应的x的值； 接下来男女同学互换.（比一比哪位同学反应快）请算的最快最准确的同学讲他的计算方法.提问：给出x的值，计算y的值时，y的系数为多少时，计算y最为简便？ 出示例题：已知二元一次方程 x+2y=8. （1）用关于y的代数式表示x; （2）用关于x的代数式表示y; （3）求当x= 2,0,-3时,对应的y的值，并写出方程x+2y=8的三个解. （当用含x的一次式来表示y后，再请同学做游戏，让同学体会一下计算的速度是否要快） 4.课堂练习： (1)已知:5xm-2yn=4是二元一次方程,则m+n=; (2)二元一次方程2x-y=3中，方程可变形为y= 当x=2时，y= ; (3) 已知 ??x?2, ?y?1是关于x,y的方程2x+ay=5的一个解，则a= . 5.你能解决吗？ 小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？说说你的方案. 6.课堂小结： (1)二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）; (2)二元一次方程解的不定性和相关性; (3)会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. 7.布置作业：(1)教材P82;
(2)作业本.
教学设计意图： 依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上依据学生实际，制订了本堂课的教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围绕这教学重点和难点展开. 在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设了教学情境：关心老人，突出情感主线，并贯穿整个教学. 并对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了教材. 所选择的例习题都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力. 这两个方面的设计贯穿整堂课，把知识内容和情感体验自然连贯起来. 其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合作学习，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养. 二元一次方程概念的教学中，通过与一元一次方程的类比的方法，使得学生加深印象. 在突破难点的设计上，通过游戏的形式激发学生的学习兴趣，并在选题时，通过降低例题的难度，使学生迅速掌握用关于一个未知数的代数式表示另一个字母的方法，体会运用这种方法的可使求二元一次方程求解更简便.
《4．1二元一次方程》教学设计 衢州市兴华中学 徐勇 一、 教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书浙教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 二、 教学目标 (一)知识与技能： 1.了解二元一次方程概念； 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性； 3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。 (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、 教学重点与难点 教学重点：二元一次方程及其解的概念。 教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 四、 教法与学法分析 教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、 教学过程 （一） 创设情境，引入新课从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。 （1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球) 师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？ （2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球) 师:这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了x 个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。 （3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题。 （设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点燃学习新知识的“导火索”，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”、“乐学”。） （二） 探索交流，汲取新知 1、 概念思辩，归纳二元一次方程的特征 师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答） 师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学们思考后回答） 师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？ 活动：你自己构造一个二元一次方程。 快速判断：下列式子中哪些是二元一次方程? 2① x+y=0
12y?x③ ④ x??12yx?y⑤ ?2y?0⑥２x+１=２－x 3② y=２x +４ ⑦ ab?b?4 （设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数”的思考，进而完善学生对二元一次方程概念的理解，通过学生自己举例子的活动去把“项的次数”形象化 。在归纳二元一次方程特征的时候，引导学生理解“含有未知数的项的次数都是一次”实际上是说明方程的两边是整式。在判断的过程中，②⑥⑦是在书本的基础上补充的，②是让学生先认识这种形式，后面出现用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数实际上是方程变形；⑥是方程两边都出现了x,强化概念里两个未知数是不一样的；⑦是再次理解“项的次数”。） 2、 二元一次方程解的概念 师：前面列的两个方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程吗？通过方程2x+3y=16，你知道易建联可能投中几个两分球，几个三分球吗？ 师:你是怎么考虑的?(让学生说说他是如何得到x和y的值的,怎么证明自己的这对未知数的取值是对的) 利用一个学生合理的解释,引导学生类比一元一次方程的解的概念,让学生归纳出二元一次方程的解的概念及其记法。（学生看书本上的记法） 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 （设计意图：通过引导学生自主取值，猜x和y的值，从而更深刻的体会二元一次方程解的本质：使方程左右两边相等的一对未知数的取值。引导学生看书本，目的是让学生在记法上体会“一对未知数的取值”的真正含义。） 3、 二元一次方程解的不唯一性 对于2x+3y=16，你觉得这个方程还有其它的解吗？你能试着写几个吗? 师：这些解你们是如何算出来的？ （设计意图：设计此环节，目的有三个：首先，是让学生学会如何检验一对未知数的取值是二元一次方程的解；其次是让学生体会到二元一次方程的解的不唯一性；最后让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的取值，就可以代入方程算出另一个未知数的值，这也就是求二元一次方程的解的方法。） 4、 如何去求二元一次方程的解 例
已知方程3x+2y=10 （1）当x=2时，求所对应的y 的值； （2）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y 的值； （3）用含x的代数式表示y； （4）用含y的代数式表示x； （5）当x=-2，0时，所对应的y 的值是多少？ （6）写出方程3x+2y=10的三个解. （设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程，实质是解一个关于y的一元一次方程，渗透数学的主元思想。以此突破本节课的难点。） 5、 大显身手：篇五：初中数学优秀教案大集合 课题：二元一次方程
一、教学目标： 1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念; 2．学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 3．学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示; 4.在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育. 二、教学重点、难点： 重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念. 难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程. 三、教学方法与教学手段： 通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点. 四、教学过程： 1.情景导入： 新闻链接：桐乡70岁以上老人可领取生活补助, 得到方程：80a+150b=902 880. 2.新课教学： 引导学生观察方程80a+150b=902 880与一元一次方程有异同？ 得出二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程. 做一做： （1）根据题意列出方程: ①小明去看望奶奶，买了5 kg苹果和3 kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg , 梨的单价y元/kg ； ②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，可得方程：
. （2）课本P80练习2. 判定哪些式子是二元一次方程方程. 合作学习： 活动背景爱心满人间――记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动. 问题：参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人. 团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行? 为什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等? 由学生检验得出代入方程后，能使方程两边相等. 得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 并提出注意二元一次方程解的书写方法. 试一试：检验下列各组数是不是方程2x=y+1的解: ①??x?4,?x?2.5,?x??6,②?③? ?y?3,?y?4,?y??13. ②③是方程的解，每个学生再找出方程的一个解，引导学生得到结论：一般情况下，二元一次方程有无数个解. 3.合作学习： 给定方程x+2y=8,男同学给出y（x取绝对值小于10的整数）的值，女同学马上给出对应的x的值； 接下来男女同学互换.（比一比哪位同学反应快）请算的最快最准确的同学讲他的计算方法.提问：给出x的值，计算y的值时，y的系数为多少时，计算y最为简便？ 出示例题：已知二元一次方程 x+2y=8. （1）用关于y的代数式表示x; （2）用关于x的代数式表示y; （3）求当x= 2,0,-3时,对应的y的值，并写出方程x+2y=8的三个解. （当用含x的一次式来表示y后，再请同学做游戏，让同学体会一下计算的速度是否要快） 4.课堂练习： (1)已知:5xm-2yn=4是二元一次方程,则m+n=; (2)二元一次方程2x-y=3中，方程可变形为y= 当x=2时，y= ; ?x?2,(3) 已知 ?是关于x,y的方程2x+ay=5的一个解，则a= .
y?1? 5.你能解决吗？ 小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？说说你的方案. 6.课堂小结： (1)二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）; (2)二元一次方程解的不定性和相关性; (3)会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. 7.布置作业：(1)教材P82;
(2)作业本.
教学设计意图： 依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上依据学生实际，制订了本堂课的教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围绕这教学重点和难点展开. 在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设了教学情境：关心老人，突出情感主线，并贯穿整个教学. 并对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了教材. 所选择的例习题都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力. 这两个方面的设计贯穿整堂课，把知识内容和情感体验自然连贯起来. 其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合作学习，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养. 二元一次方程概念的教学中，通过与一元一次方程的类比的方法，使得学生加深印象. 在突破难点的设计上，通过游戏的形式激发学生的学习兴趣，并在选题时，通过降低例题的难度，使学生迅速掌握用关于一个未知数的代数式表示另一个字母的方法，体会运用这种方法的可使求二元一次方程求解更简便.
《4．1二元一次方程》教学设计 衢州市兴华中学 徐勇 一、 教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书浙教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 二、 教学目标 (一)知识与技能： 1.了解二元一次方程概念； 2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性； 3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。 (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、 教学重点与难点 教学重点：二元一次方程及其解的概念。 教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 四、 教法与学法分析 教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、 教学过程 （一） 创设情境，引入新课从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。 （1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球) 师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？ （2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球) 师:这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗? 设姚明投进了x 个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。 （3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？ 设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题。 （设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点燃学习新知识的“导火索”，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”、“乐学”。） （二） 探索交流，汲取新知 1、 概念思辩，归纳二元一次方程的特征 师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答） 师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学们思考后回答） 师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？ 活动：你自己构造一个二元一次方程。 快速判断：下列式子中哪些是二元一次方程? 2① x+y=0 ② y=２x +４
12y?x③ 2 ④ x??1yx?y⑤ ?2y?0⑥２x+１=２－x 3 ⑦ ab?b?4 （设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数”的思考，进而完善学生对二元一次方程概念的理解，通过学生自己举例子的活动去把“项的次数”形象化 。在归纳二元一次方程特征的时候，引导学生理解“含有未知数的项的次数都是一次”实际上是说明方程的两边是整式。在判断的过程中，②⑥⑦是在书本的基础上补充的，②是让学生先认识这种形式，后面出现用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数实际上是方程变形；⑥是方程两边都出现了x,强化概念里两个未知数是不一样的；⑦是再次理解“项的次数”。） 2、 二元一次方程解的概念 师：前面列的两个方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程吗？通过方程2x+3y=16，你知道易建联可能投中几个两分球，几个三分球吗？ 师:你是怎么考虑的?(让学生说说他是如何得到x和y的值的,怎么证明自己的这对未知数的取值是对的) 利用一个学生合理的解释,引导学生类比一元一次方程的解的概念,让学生归纳出二元一次方程的解的概念及其记法。（学生看书本上的记法） 使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 （设计意图：通过引导学生自主取值，猜x和y的值，从而更深刻的体会二元一次方程解的本质：使方程左右两边相等的一对未知数的取值。引导学生看书本，目的是让学生在记法上体会“一对未知数的取值”的真正含义。） 3、 二元一次方程解的不唯一性 对于2x+3y=16，你觉得这个方程还有其它的解吗？你能试着写几个吗? 师：这些解你们是如何算出来的？ （设计意图：设计此环节，目的有三个：首先，是让学生学会如何检验一对未知数的取值是二元一次方程的解；其次是让学生体会到二元一次方程的解的不唯一性；最后让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的取值，就可以代入方程算出另一个未知数的值，这也就是求二元一次方程的解的方法。） 4、 如何去求二元一次方程的解 例
已知方程3x+2y=10 （1）当x=2时，求所对应的y 的值； （2）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y 的值； （3）用含x的代数式表示y； （4）用含y的代数式表示x； （5）当x=-2，0时，所对应的y 的值是多少？ （6）写出方程3x+2y=10的三个解. （设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程，实质是解一个关于y的一元一次方程，渗透数学的主元思想。以此突破本节课的难点。） 5、 大显身手：}