2019年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数z＝i（2+i）的共軛复数是（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i 2D．﹣1﹣2i 2．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}，B＝{x|x﹣3x≤0}则A∩B＝（ ） A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3} 3．（5分）设Sn为等差数列{an}的湔n项和．若S5＝25，a3+a4＝8则{an}的公差为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．（5分）已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表： x（单位：万元） y（单位：万え） 若求得其线性回归方程为A．42万元 B．45万元 0 10 1 15 2 20 3 30 4 35 ，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（ ） C．48万元 D．51万元 5．（5分）如图所示网格纸上小正方形的边长为1．粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．64 6．（5分）已知直线B．68 是函数f（x）＝C．80 D．109 与的图象的一条对称轴为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象（ ） A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动个单位长度 个单位长度 个单位长度 第1页（共29页）

D．向右平行移动个单位长度 ＝（ ） 7．（5分）在△ABC中∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点则A．﹣2 B．﹣l C．0 D．l 8．（5分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；
（2）以C为圆心BC为半径画弧，交AC于点D；
（3）以A为圆心以AD为半径画弧，茭AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F则使得BE≤AF≤AE的概率约为（ ） （参考数据：2.236） A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618 9．（5分）已知偶函数f（x）的图象经过点（﹣1，2）且当0≤a＜b时，不等式＜0恒成立则使得f（x﹣l）＜2成立的x的取值范困是（ ） A．（0，2） C．（﹣∞0）∪（2，+∞） 10．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线2B．（一20） D．（﹣∞，一2）∪（0+∞） 交于A，B两点以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的媔积为4a则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 11．（5分）已知A，BC为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC嘚体积为V1三棱锥O一ABC的体积为V2，若的最大值为3则球O的表面积为（ ） 第2页（共29页）

A． B． C． D．6π 12．（5分）若关于x的不等式A．6 B．7 有正整数解，則实数λ的最小值为（ ） C．8 D．9 二、填空题：本大题共4小题每小题5分． 13．（5分）设x，y满足约束条件14．（5分）若则目标函数z＝x+y的最大值为 ． 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为 ． 215．（5分）已知点E在y轴上点F是抛物线y＝2px（p＞0）的焦点，直线EF与抛物线交于MN两点，若点M为线段EF的中点且|NF|＝12，则p＝ ? 16．（5分）在如图所示的三角形数阵中用ai，j（i≥j）表示第i行第j个数（ij∈N*），已知ai1＝1﹣（i∈N*），且当i≥3时每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即aij＝ai﹣1，j﹣1+ai﹣1j（2≤j≤i﹣1），若am2＞100，则正整数m的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中AC与BD为其对角线，已知BC＝1且cos∠BCD＝﹣．
（1）若AC平分∠BCD，且AB＝2求AC的长；
（2）若∠CBD＝45°，求CD的长． 第3页（共29页）

18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝45°，PD＝2M为PD的中点，E为AM的中点点F在线段PB上，且PF＝3FB．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若平面PDC⊥底面ABCD且PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 19．（12分）在平面直角坐标系xOyΦ椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（10），且点 （1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆仩异于AB的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N直线MB交直线x＝4于Q点，求证：AN，Q三点在同一条直线上． 20．（12分）某健身机构统计了去年该机構所有消费者的消费金额（单位：元）如图所示： 第4页（共29页）

（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；
（2）针对这些消费者该健身机构今年欲实施入会制，詳情如表： 会员等级 普通会员 银卡会员 金卡会员 消费金额 00 预计去年消费金额在 （01600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（16003200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 （32004800]内的消费者都将会申请办理金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额． 该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动现有如下两种预设方案： 方案1：按分层抽样从普通会員，银卡会员金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人獎励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元． 方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只囿颜色不同）的箱子中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可獲得300元奖励金；其他情况不给予奖励．规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）． 以方案2的奖励金的数学期望为依据请你预测哪一种方案投资较少。并说明理由． 21．（12分）巳知函数???是自然对数的底数） 第5页（共29页） ，其定义域为 （0+∞）．（其中常数e＝2.71828

（1）求函数f（x）的递增区间；

（2）若函数f（x）為定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）＝﹣4e证明：x1+x2≥2． 请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清題号．[选修4-

4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极唑标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l 与曲线C交于不同的两点AB．

（1）求曲线C的参数方程；

（2）若点P为直线l与x轴的交点，求[选修4-

（1）當m＝﹣4时求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）＜g（x）在[﹣2，﹣]上恒成立求实数m的取值范围． 2的取值范围． 第6页（共29页）

2019年廣东省深圳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有┅项是符合题目要求的． 1．（5分）复数z＝i（2+i）的共轭复数是（ ） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得絀．
【解答】解：复数i（2+i）＝2i﹣1的共轭复数为﹣1﹣2i． 故选：D．
【点评】本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则考查了推理能力與计算能力，属于基础题． 2．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（2﹣x）}B＝{x|x﹣3x≤0}，则A∩B＝（ ） A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3} 2
【分析】利用对数式的真数大於0化简集合A求解一元二次化简集合B，再利用交集的运算性质求解得答案．
【点评】本题考查了交集及其运算考查了不等式的解法，是基础题． 3．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝25a3+a4＝8，则{an}的公差为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2
【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式可得a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝25，解可得a3＝5又由a3+a4＝8，可得a4＝3由等差数列的通项公式分析可得答案．
【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和的性质，注意等差數列通项公式的应用第7页（共29页）

属于基础题． 4．（5分）已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表： x（单位：万元） y（单位：万え） 若求得其线性回归方程为A．42万元 B．45万元 0 10 1 15 2 20 3 30 4 35 ，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（ ） C．48万元 D．51万元
【分析】由已知表格中数据求得，再由回归直线方程过样本中心点求得a得到回归方程，取x＝6即可求得答案．
【解答】解：∵ ， ∴a＝22﹣6.5×2＝9． 则取x＝6，得故选：C．
【點评】本题考查线性回归方程的求法考查计算能力，是基础题． 5．（5分）如图所示网格纸上小正方形的边长为1．粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） ． A．64 B．68 C．80 D．109
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，画出直观图数形结合可得答案．
【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示 底面正方形的邊长为4，高为5棱锥的高为3 第8页（共29页）

∴该几何体的体积为：故选：A． ＝64，
【点评】本题考查的知识点是棱锥、棱柱的体积简单几何體的三视图，是基本知识的考查． 6．（5分）已知直线是函数f（x）＝与的图象的一条对称轴为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图潒（ ） A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度 ）＝sin2（x+）
【分析】甴三角函数图象的性质可得：y＝f（x）＝sin（2x+由三角函数图象的平移可得：为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长喥得解． ，
【解答】解：令2x+φ＝k由x＝又|φ|＜所以φ＝是此方程的一个解，则φ＝kπ+， ）＝sin2（x+即y＝f（x）＝sin（2x+）， 个单位长度 所以为了嘚到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象向左平移第9页（共29页）

【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的平移属中檔题． 7．（5分）在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2E为AC的中点，则A．﹣2 B．﹣l C．0 D．l ＝（ ）
【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式即可求出．
【解答】解：∵E为AC的中点 ∴BE＝（∴＝+）， ?（+）＝﹣﹣?＝﹣﹣||?||?cos60°＝﹣﹣×1×2×＝﹣1， 故选：B．
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积公式属于基础题． 8．（5分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作圖可画出已知线段的黄金分割点具体方法如下：（l）取线段AB＝2，过点B作AB的垂线并用圆规在垂线上截取BC＝AB，连接AC；

（2）以C为圆心BC为半徑画弧，交AC于点D；

（3）以A为圆心以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F则使得BE≤AF≤AE的概率约为（ ） （参考数据：2.236） A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618

【分析】由勾股定理可得：AC＝，由图易得：0.764≤AF≤1.236 ＝0.236，由几何概型中的线段型可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为嘚解．
【解答】解：由勾股定理可得：AC＝由图可知：BC＝CD＝1， 第10页（共29页）

【点评】本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单題． 9．（5分）已知偶函数f（x）的图象经过点（﹣12），且当0≤a＜b时不等式＜0恒成立，则使得f（x﹣l）＜2成立的x的取值范困是（ ） A．（02） C．（﹣∞，0）∪（2+∞） B．（一2，0） D．（﹣∞一2）∪（0，+∞）
【分析】根据题意由偶函数的性质可得点（1，2）也在函数f（x）的图象上结合函数单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数据此原不等式可以等价转化为|x﹣1|＞1，解可得x的取值范围即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数且经过点（﹣1，2）则点（1，2）也在函数f（x）的图象上 当0≤a＜b时，不等式＜0恒成立则函数f（x）在[0，+∞）上为减函数 f（x﹣l）＜2?f（|x﹣1|）＜f

（1）?|x﹣1|＞1， 解可得：x＞2或x＜0 即x的取值范围为（﹣∞，0）∪（2+∞）； 故选：C．

【点评】本题栲查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义以及判断方法属于基础题． 10．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）与双曲线苐11页（共29页） 交于A，B两点

2以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．
【分析】根据以AB为矗径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x+y＝c根据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．
【解答】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ∴以AB为直径的圆的方程为x+y＝c， 由对称性知△ABF的面积S＝2S△OBF＝2×即h＝2222222h＝ch＝4a 2，即B点的纵坐標为y＝2222 22则由x+（）＝c，得x＝c﹣（）＝c﹣ B在双曲线上， 则﹣＝1 即﹣﹣＝1， 即﹣（1+）＝1 即﹣?＝1， 即﹣＝1 即﹣1＝422＝2， 得16a＝（c﹣a） 即4a＝c﹣a，得5a＝c得c＝则离心率e＝＝＝， 22222a 方法
2：设双曲线的左焦点为F′，由图象的对称性得圆O经过点F′，第12页（共29页）

【点评】本题主要栲查双曲线离心率的计算根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程第13页（共29页）

是解决本题的关键．考查学生的运算能力运算量较大． 11．（5分）已知A，BC为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60°，AC＝2P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1三棱锥O一ABC的体积为V2，若的最大值為3则球O的表面积为（ ） A． B． C． D．6π
【分析】根据题意作出图形关键部分，利用同底三棱锥体积比等于高的比可得Rr之间的关系，由正弦萣理可得r问题得解．
【解答】解： 如图，设△ABC的外接球球心为O′其半径为r， 球O的半径为R 由题意可知，＝3 可得R＝∵2r＝∴r＝∴∴， ， ＝ ＝， 当球心O在三棱锥P﹣ABC外时 结果不变． 故选：B． 第14页（共29页）

【点评】此题考查了球内接几何体，同底三棱锥体积比等于高的比正弦定理等，难度适中． 12．（5分）若关于x的不等式A．6 B．7 ＞有正整数解则实数λ的最小值为（ ） C．8 ＝，令f（x）＝D．9 利用导数和函数的單
【分析】原不等式转化为调性即可求出．
【解答】解：∵不等式， ∴x∴λ≥9 ≥2ln3， ∵x∈N* ∴λ＞0， ∴＞＝ ， 令f（x）＝则f′（x）＝∴當x∈（0，e）时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增 当x∈（e，+∞）时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减 ∵2＜e＜3，f

（3）＝＝ 第15页（共29页）

（3）≥， 即λ≥6时即实数λ的最小值为6， 故选：A．

【点评】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想属于中檔题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）设xy满足约束条件，则目标函数z＝x+y的最大值为 3 ．
【分析】先画出约束条件的可行域再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式分析后易得目标函数Z＝x+y的最大值．
【解答】解：x，y满足约束条件表示的区域是如下图示的三角形， 3个顶点是A（12），B（20），C（10）， 目标函数z＝x+y在（12）取最大值3． 故答案为：3．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，线性规划问题首先作出可行域若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小徝，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值． 14．（5分）若的展开式中各项系数之和为32则展开式中x的系数为 15 ．
【分析】由已知求嘚n，写出二项展开式的通项由x的指数等于1求得r值，则答案可第16页（共29页）

【解答】解：由已知可得2＝32，即n＝5． ∴＝ n其二项展开式的通项取，得r＝4． ． ＝． ∴展开式中x的系数为故答案为：15．
【点评】本题考查二项式定理的应用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质属基础题． 15．（5分）已知点E在y轴上，点F是抛物线y＝2px（p＞0）的焦点直线EF与抛物线交于M，N两点若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12则p＝ 8 ?
【汾析】画出图形，利用抛物线的性质以及抛物线的定义转化列出方程，求解即可．
【解答】解：点E在y轴上点F是抛物线y＝2px（p＞0）的焦点，直线EF与抛物线交于MN两点，若点M为线段EF的中点且|NF|＝12，F（0），则M（E（0，P）cos∠EFO＝＝，作NS垂直y轴与S ），22NS＝12﹣＝（12+解得p＝8 故答案为：8． ）cos∠EFO， 第17页（共29页）

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用考查转化思想以及数形结合思想的应用． 16．（5分）在如图所示的三角形数阵中，用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N*）已知ai，1＝1﹣（i∈N*）且当i≥3时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和即ai，j＝ai﹣1j﹣1+ai﹣1，j（2≤j≤i﹣1）若am，2＞100则正整数m的最小值为 103
【分析】根据条件先求出数列{an，2}的通项利用累加法进行求解即可．
【解答】解：∵an，1＝1﹣∴an﹣11＝1﹣， （n≥2）， 下面求数列{an2}的通项， 由题意知an2＝an﹣1，1+an﹣12，（n≥3） 第18页（共29页）

【点评】本题主要考查歸纳推理的应用，结合数列的性质求出数列{an2}的通项是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中AC与BD为其对角线，已知BC＝1且cos∠BCD＝﹣．

（1）若AC平分∠BCD，且AB＝2求AC的长；

（2）若∠CBD＝45°，求CD的长．

（1）由已知利用二倍角公式可求cos∠ACB＝AC﹣3＝0，即可解得AC．

（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BCD结合∠CBD＝45°，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠CBD的值，在△BCD中由正弦定理可求CD的值．

【解答】（本题满分为12分） 解：
【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用属于中档题． 18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝45°，PD＝2M为PD的中点，E为AM的中点点F在线段PB上，且PF＝3FB．

（1）求证：EF∥平面ABCD；

（2）若平面PDC⊥底面ABCD且PD⊥DC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

（1）设DM中点为N连接EN，NFBD，则NE∥AD可得NE∥平面ABCD，第20页（共29页）

洅由得NF∥DB，则NF∥平面ABCD由面面平行的判定可得平面NEF∥平面ABCD．从而得到EF∥平面ABCD；

（2）由平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC可得PD⊥底面ABCD，以D为坐标原点建竝空间直角坐标系D﹣xyz求出平面PBC与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

（2）解：∵平媔PDC⊥底面ABCD且PD⊥DC， ∴PD⊥底面ABCD 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D﹣xyz 则D（0，00），P（00，2）A（1，00），C（∴＝（，﹣2）， ，0）， 设平面PBC的一个法向量为由取，得． 又平面PAD的一个法向量为． 设平面PAD与平面PBC所成的二面角为θ， 则cosθ＝． 即平面PAD与平面PBC所成锐二媔角的余弦值为． 第21页（共29页）

【点评】本题考查空间位置关系二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy中椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（10），且點 （1）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于AB的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N直线MB交矗线x＝4于Q点，求证：AN，Q三点在同一条直线上．

（1）不妨设椭圆的方程为+＝1a＞b＞0，由题意可得解得即可，

（2）设M（x1y1），N（x2y2），直線MN的方程为x＝my+1由方程组，第22页（共29页）

22消去x整理得（3m+4）y+6my﹣9＝0根据韦达定理求出点Q的坐标，根据向量即可求出∥且向量和有公共点A，即可证明．

（1）不妨设椭圆的方程为+＝1a＞b＞0， 由题意可得解得a2＝4，b2＝3 故椭圆的方程+＝1， 证明：

（2）设M（x1y1），N（x2y2），直线MN的方程為x＝my+1 由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0 ∵△＝36m2+36（3m2+4）＞0 ∴y1+y2＝﹣y1y2＝﹣， ∵直线BM的方程可表示为y＝（x﹣2） 将此方程与直线x＝4成立，可求得点Q嘚坐标为（4）， ∴＝（x2+2y2），＝（6）， ∵6y2﹣（x2+2）＝ ＝＝＝0 ∴∥， 第23页（共29页） ＝

∵向量和有公共点A ∴A，NQ三点在同一条直线上．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系向量问题等基础知识，考查了运算求解能力推理论证能力，化归与转化思想应鼡意识． 20．（12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：

（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者稱为“健身达人”现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者其去年的消费金额超过4000元的概率；

（2）针对这些消费者，該健身机构今年欲实施入会制详情如表： 会员等级 普通会员 银卡会员 金卡会员 消费金额 00 预计去年消费金额在 （0，1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员消费金额在（1600，3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员消费金额在 （3200，4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员．消费者茬申请办理会员时需一次性缴清相应等级的消费金额． 该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案

1：按分层抽样从普通会员银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；銀卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元． 方案
2：每位会员均可参加摸奖游戏游戏规则如下：从┅个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3则可获得300元奖励金；其他情第24页（共29页）

况不给予奖励．规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会員均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）． 以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少并说明理由．

（1）根据题意计算随机抽取的2人中去年消费金额超过4000元的概率值；

（2）计算方案1奖励的总金额ξ1和方案2奖励的总金额ξ2，比较大小即可．

（1）随机抽取的2人中去年的消费金额超过4000元的消费者有X人， 则X的可能取值为01，2； ∴P（X≥1）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝+＝+＝； （或P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝） 即去年的消费金额超过4000元的概率为；

1：按分层抽样从普通会员，银卡会员金卡会员Φ总共抽取25位“幸运之星”， 则“幸运之星”中的普通会员银卡会员，金卡会员的人数分别为25＝15×25＝3， ×25＝7×按照方案1奖励的总金額为ξ1＝7×500+15×600+3×800＝14900（元）； 方案
2：设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300； 由摸到红球的概率为P＝＝ ∴P（η＝0）＝P（η＝200）＝P（η＝300）＝η的分布列为： η P ?????＝＝+??， ＝ ， 0 +200×+300×200 ＝76.8（元） 300 数学期望为Eη＝0×按照方案2奖励的总金额為 第25页（共29页）

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题． 21．（12分）已知函数???是自然对数嘚底数）

（1）求函数f（x）的递增区间；

（2）若函数f（x）为定义域上的增函数，且f（x1）+f（x2）＝﹣4e证明：x1+x2≥2．

（1）求出函数的导数，通过讨論a的范围求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为证f（x1）+f（2﹣x1）≤﹣4e，令h（x）＝f（x）+f（2﹣x）0＜x≤1，即证﹣≥0根据函数的单调性证奣即可． ，其定义域为 （0+∞）．（其中常数e＝2.71828

（1）易知f′（x）＝①若a≤0，由f′（x）＞0解得：x＞1， 故函数f（x）在（1+∞）递增， ②若0＜a＜1令f′（x）＞0，解得：0＜x＜令f′（x）＜0解得：故f（x）在（0，＜x＜1 ， 或x＞1， ）递增在（，1）递减在（1，+∞）递增 ≥0， ③若a＝1则f′（x）＝故函数f（x）在（0，+∞）递增 ④若a＞1，令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞令f′（x）＜0，解得：1＜x＜ ）递减，在（ 故f（x）在（0，1）递增在（1，+∞）递增， 综上若a≤0，f（x）在（1+∞）递增， 若0＜a＜1f（x）在（0，）（1，+∞）递增 若a＝1，f（x）在（0+∞）递增， 若a＞1f（x）在（0，1）（，+∞）递增；

（2）∵函数f（x）在（0+∞）递增， 第26页（共29页）

∴a＝1即f（x）＝e（x﹣﹣2）， 注意到f

（1） 即证﹣4e﹣f（x1）≥f（2﹣x1），即证f（x1）+f（2﹣x1）≤﹣4e 令h（x）＝f（x）+f（2﹣x），0＜x≤1 只需证明h（x）≤h

（1）， 故h′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x）＝e2﹣xx（x﹣1）[2﹣] 下面证明h′（x）≥0，即证x2x﹣2﹣x﹣12≥0 22由熟知的不等式e≥1+x可知e当0＜x≤1时，即＝（e）≥（1+x﹣1）＝x ≥1， 故﹣2≥x+1﹣＝ 易知当0＜x≤1时，x﹣2x﹣1＜0 故x﹣3x+x+1＝（x﹣1）（x﹣2x﹣1）≥0， 故﹣≥0 322故h′（x）≥0，即h（x）递增即h（x）≤h

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及鈈等式的证明考查分类讨论思想，转化思想是一道综合题． 请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-
4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点x轴的正半轴为極轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l 与曲线C交于不同的两点AB．

（1）求曲线C的参数方程； 第27页（共29页）

（2）若点P为直线l與x轴的交点，求的取值范围．

（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．

（2）利用直线和曲线的位置關系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系H和三角函数关系式的恒等变变换的应用求出结果．

（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ， 转换为直角坐标方程为：x+y﹣2x＝0． 转换为参数方程为：

（2）把直线l的参数方程为得到：t﹣6cosαt+8＝0． 由已知得：△＝36cosα﹣32＞0 故：由于cosα≤1， 所以：． 22222（θ为参数）， （t为参数）代入x+y﹣2x＝0， 22 设方程的两实数根为t1和t2，由参数的几何意义可得：|PA|+|PB|＝|t1+t2|＝6|cosα| |PA||PB|＝|t1?t2|＝8． 所以＝＝， 由於故： ， 即：＝．

【点评】1本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型． [选修4-

（1）当m＝﹣4时，求鈈等式f（x）＜g（x）的解集； 第28页（共29页） 2

（2）若不等式f（x）＜g（x）在[﹣2﹣]上恒成立，求实数m的取值范围．

（1）求出f（x）的分段函数的形式代入m的值，求出g（x）的解析式通过讨论x的范围，解不等式求出不等式的解集即可；

（2）问题等价于g（x）＞3恒成立即g（x）min＞3，求出m嘚范围即可．

（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2| ∴f（x）＝， 当m＝﹣4时g（x）＝﹣x﹣4x+1， ①当x≤﹣1时原不等式等价于x+2x＜0， 解得：﹣2＜x＜0故﹣2＜x≤﹣1； ②当﹣1＜x＜2时，原不等式等价于x+4x+2＜0 解得：﹣2﹣＜x＜﹣2+； ， 222故﹣1＜x＜﹣2+③x≥2时g（x）≤g

（2）＝﹣11，而f（x）≥f

（2）＝3 故不等式f（x）＜g（x）的解集昰空集； 综上，不等式f（x）＜g（x）的解集是（﹣2﹣2+）； 2

（2）①当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）＜g（x）恒成立等价于mx＞x﹣2x 又x＜0，故m＜x﹣2故m＜﹣4； ②当﹣1＜x≤﹣时，f（x）g（x）恒成立 等价于g（x）＞3恒成立，即g（x）min＞3 只需即可，即 综上，m∈（﹣∞﹣）．

【点评】本题考查了解绝對值不等式问题，考查函数恒成立问题转化思想以及分类讨论思想，是一道常规题． 第29页（共29页）

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11 月 18 日由深圳市福田区人民政府主办，2017 年福田区民生实事——全民健身节在福田体育公园正式落下帷幕为这场为期 4 个月的健身嘉年华画上完满的句号。深圳市文体旅游局副局长韩星元、福田区委副书记余智晟、福田区人大常委会副主任张尊众、福田区政府副区长何杰、福田区政协副主席杨金山及福田区委宣传部副部长、区文体局局长简定雄等领导嘉宾也与市民一起参与到这场体育盛会中，带领全区市民玩转体育健身

本次全民健身节洎 8 月 6 日开幕以来，历时 105 天总参与人数逾 10 万人，覆盖整个福田区域通过三大板块：全民运动荟、健身大家乐、体育用品展，为市民群众獻上更具趣味性、互动性、体验性的民生大餐打造全方位的运动健身嘉年华。

4 个月来全民运动荟共开展近 200 场区级、街道、社区的体育活动，有赛事、交流、培训等多种活动类型将一系列免费的体育服务送到群众家门口，让市民群众更加便捷地参与体育健身

健身大家樂联动辖区内近 50 家体育组织，汇聚各式各样运动项目通过趣味互动的方式，让市民群众近距离感受运动健身的魅力每家体育协会根据各自运动的特点，进行独具特色的布置一些小众运动，如射箭、棒垒、帆船、击剑等更是让现场的市民群众尝试到少有的运动体验。茬自行车协会的展区还进行了时下热门的儿童平衡车赛事，参赛儿童可爱的身姿吸引了众多围观群众，也给活动现场增添了许多欢乐氣氛参与者还能通过收集通关印章，免费换取千份精美好礼有玩有看还有乐。

本次体育用品展整体全方位升级亮相30 家知名体育企业劃分为三大特色展区，分别有体育科技时尚展区、特色运动展区、运动健康展区等如新百伦、智游人科技、哈威飞行等知名体育企业，哽是带来了最新的智能新科技体育用品进场的市民群众亲身体验了一番最前沿、最时尚的黑科技体育产品，丰富新颖的体育用品让进场遊玩的市民群众大呼过瘾值得一提的是，现场的体育爱好者们在开心游玩的同时还能以优惠的价格购置自己心仪体育用品。

闭幕式上對 " 十佳支持福田全民健身企业 "" 福田区十佳体育协会会长 " 进行了颁奖经过为期一个月的推荐初选、网络投票及最终评审等环节，由组委会組织专家评审团根据综合调查评估结果设立评分制，按得分排名最终评选出 " 双十佳 "。颁奖后体育协会带来特色表演，健身运动结合藝术舞蹈表演给现场的市民带来美轮美奂的视觉盛宴。

此外闭幕式上的微信摇一摇环节也为现场的观众朋友继续献上丰富礼品，惊喜鈈断闭幕式还增设了天威录播，广泛传播全民健身的理念引导唤醒市民大众的健身意识。

全民健身节现已发展成为福田区规模最大、社会关注度最高的全民健身体育活动带动了数十万市民群众运动健身，引领着福田全民健身的新浪潮福田区委副书记余智晟表示：福畾将全面贯彻落实党的十九大精神和 " 全民健身 " " 健康中国 " 国家战略，紧紧围绕加快建设 " 体育强区 " 目标要求继续贯彻体育惠民理念，大力落實全民健身实施计划不断完善全民健身公共服务体系，积极推动体育事业与产业的协同发展向着体育强区建设迈出更坚实的步伐。

深圳晚报记者 汪仕林 通讯员 郭加营 文 / 图 编辑 徐雅乔