广义坐标的特点；（大庆师范学院物理与电气信息工程系；摘）要：广义坐标是不特定的坐标，与虚功原理联系紧；关键词：广义坐标;虚功原理;拉格朗日方程；作者简介：陆展鹏男安徽省池州市贵池区黑龙江省大庆；0引言；在分析力学中,广义坐标q,广义速度q,广义动量α；αα标来确定力学体系的位形,而将广义力Q,拉格朗；数,进而用虚功原理讨论力学体系的平衡条件；1广义坐标；用以
广义坐标的特点
（大庆师范学院物理与电气信息工程系
摘）要：广义坐标是不特定的坐标，与虚功原理联系紧密。假若，我们用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广范的问题；并且，当我们最后终于设定这坐标时可以用来解决拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程的问题。
关键词：广义坐标;虚功原理;拉格朗日方程
作者简介：陆展鹏男安徽省池州市贵池区黑龙江省大庆市大庆师范学院物理与电气信息工程学院学生物理学专业
在分析力学中,广义坐标q,广义速度q,广义动量αα通常用广义坐pα是最基本的变量。
αα标来确定力学体系的位形,而将广义力Q,拉格朗日函数L等物理量表示为q和p的函α
数,进而用虚功原理讨论力学体系的平衡条件。
用以确定质点系位置的独立参变量与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标
一般地：n个质点自由度为k，取广义坐标：q1,q2??????qk
xi=xi(q1,q2??????qk,t)yi=yi(q1,q2......qk,t)zi=zi(q1,q2??????qk,t)
ri=ri(q1,q2??????qk,t)(i=1,2,??????n)
1.1自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，
则自由刚体的自由度为：
k=3?4(质点数)-（刚杆数）6=6,此后每增加一个质点就增加三根刚杆,连接质点的刚杆数为3n-6
自由度数为：k=3n-s=6，n&4
1.2自由刚体的广义坐标
基点的直角坐标(x0,y0,z0)和欧拉角ψ,θ,?组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标它们被用于描述刚体的位形，约束刚体的自由度与广义坐标：约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。2广义坐标与虚功原理的关系
2.1实位移与虚位移
设质点按照规律：
x=f1(t)y=f2(t)运动那么在无线短的时间dt内，质点的位移为drz=f3(t)，
则位矢与坐标与时间t有关，若时间t的变化非常小，则dr为0，这为实位移。虚位移则是在dt近似为零是位移的可能的数值。虚位移与时间没有关系。
2.2虚功原理
虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的&虚&字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。真实力在虚位移上做的功称为虚功。
虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总和等于零。考虑一个由一群粒子组成，呈静态平衡的系统。作用于任何一个粒子pi的净力等于零：作用于任何一个粒子pi的净力，经过虚位移，所作的虚功为零。因此，所有虚功的总和也是零：分析到这里，请特别注意，对于任意位移，虚功总和方程式都是正确的。
2.3广义坐标应用于虚功原理
在数学中，表示微小增量的符号?与微分符号d所表示的数量虽然相近，但是其意义有本质不同。而在分析力学中表示元功和微小的虚功，却都用一个符号6，这样就必然会造成理论上的混乱。质点为约束所允许的无限小位移称为虚位移，并把N.δr与Fδr合称为元功，同时，在平衡位置上，主动力元功之和也不为零。虚功原理需要广义坐标来推导，广义
坐标是虚功原理的基础。
3拉格朗日方程
当人们研究物体的机械运动时,如果作用在物体上的外力未知,人们仅仅知道作用在物体上外力的力变率,这时运用牛顿运动方程来求解物体运动的轨迹就显得较为繁琐.类似采用二阶拉格朗日方程来求解物体的运动状态也不方便.对这种情况,采用三阶拉格朗日方程
[1-2]求解就较为简单方便.
近年来,有关三阶拉格朗日方程已有许多工作完成[3-12].这些工作主要是在加速度能的基础上,讨论不同条件下三阶拉格朗日方程的基本形式和基本性质.但对系统存在一些非独立的广义坐标的情况,其三阶拉格朗日方程的形式如何改变以及它的显式形式等问题,目前并未涉及.本文即考虑在位矢和广义坐标的关系中,含有非独立广义坐标的情况,三阶拉格朗日方程的基本形式如何,以及用位矢广义坐标的导数关系,给出这种三阶拉格朗日方程的基本形式.
3.1含有非独立坐标的三阶拉格朗日方程的推导
对含有N个粒子的系统,有三阶拉格朗日方程
N?1?s?ri?-=Q=∑F.(j=1,2,3......)s?2?i=1i?ii?d??s
是Fi作用在第i个质点上的力变率,qs是广义坐标.如果完整系统由n+m个广义坐标qs描述的。
则确定系统的运动状态的广义坐标为n个,不妨假设前n个广义坐标为独立的广义坐标,其余m个广义坐标为非独立的广义坐标约束方程,存在如下的虚位移等式。
n=1∑?fδqu=0?3.2拉格朗日方程的用途
拉格朗日方程一般不用来求解约束力，但是知道力学体系的广义坐标和广义速度所表示出的动能及其广义力Q1Q2Q3...就可以求出，而且对于相对运动的问题的来讲，如果用牛顿运动定律，就必须求出绝对加速度，或在非惯性系中引入适当的惯性力，但如果运用拉格朗日方程，则只需求出相对于静系的动能，亦可以求绝对加速度，所以问题可以简化。4结论
广义坐标不同于一般的直角坐标，加入了速度加速度等一些物理量的测量，所以对于运动参考系的分析更加的透彻，对于广义坐标的学习要更加的认真。
[参考文献]
[1]吴惟敏.虚功原理中的广义坐标选择[J].大学物理,):46.
[2]韩亚萍,徐晓峰.应用虚功原理时应注意的一个问题[J].大学物理,):21.
[3]周衍柏.理论力学教程[M].第2版.北京:高等教育出版社,2002.
[4]戈尔茨坦,普尔,萨夫科.经典力学[M].第3版.北京:高等教育出版社,2005.
[5]王爱勤,冯振宇.也谈虚功原理中广义坐标的选择[J].大学物理,-14.
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　1、结构的动力特性一般指什么? 答:结构的动力特性是指:频率(周期)、振型和...广义坐标法:在数学中常采用级数展开法求解微分方程,在结构动力分析中,也可采用... 　(TLCD) 振动控制系统 3、地震动三要素:振幅、频谱、持时 4、结构的固有特性...广义坐标法、有限元法 8、基本力学原理及运动方程的建立:D’Alembert 原理、虚... 　5-4. 分析力学的特点中,正确的有: A 分析力学是对力学体系的分析过程的理论; B 分析力学中系统的广义坐标一定与系统的空间坐标有关; 【C】 C 分析力学的... 　√ 11.有限元位移模式中,广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等 √ 12.为了...等参元有哪些优点? 6.阐述有限元的基本思想。试从有限元程序开发和采用成熟... 　(3)岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低的特性...(4)广义开尔文模型。该模型由开尔文模型与弹性单元...2.20 请根据ζ ―η 坐标下的库伦准则,推导由主... 　3、 (×) 4、 (×) 5、 (×) 1、达朗贝尔 ,虚位移 2、广义坐标 3、 ...3、怎样根据平动刚体的运动特点求解其上各点的运动 答:当刚体平行移动时,其上... 　4、伽利略的科学研究方法有什么特点?有哪些重要的贡献? 答:伽利略把实验和数学...拉格朗日引进了一套新的参数:广义坐标、广义速度、 广义力等,得出完整体系的... 　结构的离散化方法主要有哪些,各有什么特点? 广义坐标方法(将无线自由度体系转化成有限自由度体系) 有限单元法(以节点的位移作为结构的广义坐标, 统一规定了各杆件... 　受力特点: 框架主要承受竖向荷载,筒体主要承受水平作用。 变形特点: 类似框―...(17)振型分解法:以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应,然后...文档分类：
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文档介绍：
第4章拉格朗日力学
§§4-1 约束§4-2 虚功原理§4-3 拉格朗日方程§4-4 小振动
对于约束运动, 之所以约束运动能够实现,完全可以看作是受到约束力作用的后果。与主动力不同, 约束力不能事先给出明确的表达式, 而是与待解运动有关, 所以在研究约束体系时必须对包含约束力的运动方程和所有约束方程进行联合求解, 方程的数目相对于无约束的情况,不但不能减少,反而还要增加,因此增加了复杂性,至少可以说牛顿力学方法不适宜处理此类问题。
前面介绍的力学理论属于牛顿力学范围,虽然它提供解决力学问题的一般方案,但也存在一些困难和不足。例如牛顿力学方法偏重于受力分析和矢量运算,对于处理少量自由质点或刚体运动,如果力函数均为已知,尚可应付。但对于包含大量质点的问题,一般得到由大量微分方程构成的方程组,特别是对于包含大量约束的问题更难处理。
另外分析力学以“广义坐标”,“能量”(“类能量”)代替了牛顿力学中“坐标”和“力”的地位, 标量运算。牛顿力学和分析力学是两种风格完全不同的力学理论,在力学范围内它们完全等价,但是分析力学具有更加普适的表达方式,更加方便推广到力学范围外的其它领域。
分析力学可以看作是经典力学的另外一种表达方式。分析力学方法偏重于解析数学,通过一系列巧妙的数学处理方法, 对约束问题无需知道约束力, 就可以得到问题的运动微分方程,从而得到问题的解, 实际上约束作用无法消除,只不过它的影响是通过广义坐标和理想约束,隐含在运动方程中。
分析力学的 Roadmap
哈密顿函数
哈密顿方程
定义和简写
设力学系统由n个相互作用的质点组成?
3n个坐标参量可以统一地写为:
力学系统的位置状态?描述n个质点的力学系的位形一般可用3n个直角坐标参量:
所谓约束,如机械中的滑道,连杆,传动带,齿轮等,无非构成限制或影响物体运动的条件,一般总是可以归结为某种反力的作用。
自由运动: 其位置和速度完全取决于可以事先给定且有明确形式的力(也称为主动力)和初始条件。
一约束及其分类
约束运动: 其位置和速度除了需要满足动力学方程, 同时还要受到一些形式上不涉及任何主动力的限制关系(可以归结于约束力), 这些限制关系称为约束, 这类运动称为约束运动。
§4-1 约束
1. 几何约束与运动约束
几何约束: 只有体系的位置(位形)受到限制的约束。
单摆(OA为刚性轻杆)
一般几何约束的约束方程:
独立的约束个数
常见几何约束:质点被约束在某一曲线或曲面上运动
一个几何约束方程实际代表 3n 维空间的一个曲面
运动约束: 体系的运动速度受到限制的约束。又称微分约束
导弹跟踪系统
圆轮沿水平直线无滑滚动
一般运动约束(微分约束) 的约束方程:
某些运动约束(如果可积的话) 可以转化为几何约束.1
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