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版权所有@21世纪教育网 色性状与环境色彩差异很大,不能适应环境,易被捕食者捕食,因此,突变产生后,后代的个体数受到限制。19世纪中期到20世纪中期,由于地衣死亡,桦尺蠖栖息的树干裸露并被烟熏黑,使得黑色性状与环境色彩相似而大量生存,浅色性状与环境色彩差异很大,易被捕食者捕食而大量被淘汰。表现为适者生存,不适者被淘汰。B 、从微观来看: 19世纪中期以前,由于黑色基因(S )为不利变异基因,控制的性状不能适应环境而受到限制,因此,当时种群中浅色基因(s )的频率为95%,黑色基因(S )的频率为5%。到20世纪中期由于黑色基因(S )控制的性状能适应环境而大量生存并繁殖后代,浅色基因(s )控制的性状不能适应环境而大量被淘汰,使后代数量大量减少。浅色基因(s )的频率下降为5%,黑色基因(S )的频率上升为95%。结果是淘汰了不利变异的基因并保留了有利变异基因,通过遗传逐渐积累。)6、物种的形成:物种形成的方式有多种,经过长期地理隔离而达到生殖隔离是比较常见的方式。(如,加拉帕戈斯群岛上的14种地雀的形成过程,就是长期的地理隔离导致生殖隔离的结果。)7、现代生物进化理论的基本观点是:进化的基本单位是种群,进化的实质是种群基因频率的改变。物种形成的基本环节是:突变和基因重组——提供进化的原材料,自然选择——基因频率定向改变,决定进化的方向。隔离——物种形成的必要条件。8、基因频率的计算方法:①通过基因型计算基因频率。例如,从某种种群中随机抽出100个个体测知基因型为AA 、Aa 、aa 的个体分别为30、60和10,A 基因频率=(2×30+60)÷2×100=60%,a 基因频率=1-60%=40%。②通过基因型频率计算基因频率,一个等位基因的频率等于它的纯合子频率与1/2杂合子频率之和。例如:AA 基因型频率为30/100=0.3,Aa 基因型频率为60/100=0.6;aa 基因型频率为10/100=0.1;则A 基因频率=0.3+1/2×0、6=40%。③种群中一对等位基因的频率之和等于1,种群中基因型频率之和等于1。
第八章 生物与环境
第一节、生物与环境的相互关系
一、生态因素对环境的影响
名词:1、生态学:研究生物与环境之间相互关系的科学,叫做~。2、生态因素:环境中影响生物的形态、生理和分布的因素,叫做~。
3、种内关系:同种生物的不同个体或群体之间的关系。包括种内互助和种内斗争。
4、种内互助:同种生物生活在一起,通力合作,共同维护群体的生存。如:群聚的生活的某些生物,聚集成群,对捕食和御敌是有利的。
5、种内斗争:同种个体之间由于食物、栖所、寻找配偶或其它生活条件的矛盾而发生斗争的现象是存在的。(如:某些水体中,鲈鱼,无其它鱼类、食物不足时,成鱼就以本种小鱼为食。)
6、种间关系:是指不同生物之间的关系,包括共生、寄生、竞争、捕食等。4、互利共生:两种生物共同生活在一起,相互依赖,彼此有利;如果彼此分开,则双方或者一方不能独立生存。(例如:地衣是藻类与真菌共生体,豆科植物与根瘤菌的共生。)5、寄生:一种生物寄居在另一种生物体的体内或体表,从那里吸取营养物质来维持生活,这种现象叫做~。(例如:蛔虫、绦虫、血吸虫等寄生在其它动物的体内;虱和蚤寄生在其它动物的体表;菟丝子寄生在豆科植物上;噬菌体寄生在细菌内部。)6、竞争:两种生物生活在一起,由于争夺资源、空间等而发生斗争的现象,叫做~。(例如:大草履虫和小草履虫)
7、捕食:一种生物以另一种生物为食。
语句:1、非生物因素对生物的影响:①光:阳光对生物的生理和分布起着决定性作用。A 、光的强与弱对植物:如松、杉、柳、小麦、玉米等在强光下生长好;人参、三七在弱光下生长。浅海与深海,海平面200M 以下无植物生存。b 、光照时间的长短:菊花秋季短日照下开花;菠菜、鸢尾在长日照下开花。c 、阳光影响动物的体色:鱼的背面颜色深;腹面颜色浅;d 、光照长短与动物的生殖:适当增加光照时间可使家鸡多产蛋。E 、光线影响动物习性:白天活动与夜晚活动。②温度:a 、不同地带的差异:寒冷地方针叶林较多;温暖地带地方阔叶林较多b 、植物的南北栽种:苹果、梨不宜在热带栽种;柑桔不宜在北方栽种;c 、对动物形成的影响:同一种类的哺乳动物生长在寒冷地带,体形大;d 、对动物习性的影响:冬眠—-蛇、蛙等变温动物;夏眠—-蜗牛;洄游:迁徙;季节性换羽。③水分:限制陆生生物分布的重要因素;水是影响生物生存的重要生态因素;一切生物的生活都离不开水。2、生态因素的综合作用:环境中的各种生态因素,对生物体是同时共同起作用的;但各种生态因素所起的作用并不是同等重要的,有关键因素和次要因素之分。3、区分共生、竞争和捕食关系的图象。a 、共生图象:特点是两种生物个体数量为同步变化,二者同生共死;b 、捕食图象,特点是两种生物个体数量变化不同步,先增者先减少,为被捕食者,后增者后减少,为捕食者。被捕食者图象的最高点高于捕食者;c 、竞争图象,特点是两种生物开始时个体数量为"同步变化,以后则你死我活。4、决定海洋不同深度植物分布的主要因素是阳光。
二、生物对环境的适应和影响(此项仅供参考,可以不掌握)
名词:1、保护色:动物适应栖息环境而具有的与环境色彩相似的体色。2、警戒色:某些有恶臭或毒刺的动物所具有的鲜艳色彩和斑纹。
3、拟态:某些生物在进化过程中形成的外表形状或色泽斑,与其他生物或非生物异常相似的状态。
4、适应的相对性:指生物对环境的适应只是一定程度的适应,不是绝对的。
语句:1、生物对环境的适应,既有普遍性,又具有相对性。因为生物生存的环境不断变化,而生物的遗传具有保守性,不会因为环境变化立即改变其遗传性,因此适应的形成是长期的自然选择的结果。选择作用不会一次到位,更不会造成尽善尽美的选择结果,所以,适应具有相对性。2、适应的普遍性:植物对环境的适应,动物对环境的适应,外形的适应性特征。3、适应具有相对性的原因:遗传物质稳定性与环境条件变化相互作用的结果。4、保护色:动物体色与背景色彩相似,利于取食避敌,避役(变色龙)、比目鱼、雷鸟、蝗、某些沙漠植物。5、警戒色:动物体色与背景色彩形成对比色,具有恶臭(毒刺)或者鲜艳色彩(斑纹)的特点,充分暴露自己,警告敌人不要侵犯,以防止“两败俱伤”。警戒色是冒充的“艺术”,以鲜艳色彩向动物们发出警告。(例如:黄峰、蝮蛇体表的斑纹、瓢虫体表的斑点)
6、拟态:生物形态、色泽模拟背景生物体,(如:竹节虫、尺蠖的形状像树枝、枯叶蝶、有的螳螂成虫的翅展开时像鲜艳的花朵,若虫的足像美丽的花瓣、蜂兰。)
7、生物对环境的影响:生物对环境的适应,既有普遍性又有相对性。生物在适应环境的同时,也能够影响环境。
第二节、种群和生物群落
名词:1、种群:在一定空间和时间内的同种生物个体的总和。(如:一个湖泊中的全部鲤鱼就是一个种群)2、种群密度:是指单位空间内某种群的个体数量。3、年龄组成:是指一个种群中各年龄期个体数目的比例。4、性别比例:是指雌雄个体数目在种群中所占的比例。
5、出生率:是指种群中单位数量的个体在单位时间内新产生的个体数目。
6、死亡率:是指种群中单位数量的个体在单位时间内死亡的个体数目。
7、生物群落:生活在一定的自然区域内,相互之间具有直接或间接关系的各种生物群落的总和。
8、生物群落的结构:是指群落中各种生物在空间上的配置情况,包括垂直结构和水平结构等方面。
9、垂直结构:生物群落在垂直方向上具有明显的分层现象,这就是生物群落的垂直结构。如森林群落、湖泊群落垂直结构。10、水平结构:在水平方向上的分区段现象,就是生物群落的水平结构。如:林地中的植物沿着水平方向分布成不同小群落的现象。
语句:1、种群特征:种群密度、出生率和死亡率、年龄组成、性别比例等。种群数量变化是种群研究的核心问题,种群密度是种群的重要特征。出生率和死亡率,年龄组成,性别比例以及迁人和迁出等都可以影响种群的数量变化。其中出生率和死亡率,迁入和迁出是决定种群数量变化的主要因素,年龄组成是预测种群数量变化的主要依据。2、种群密度的测定:对于动物采用标志重捕法,其公式为种群数量N=(标志个体数X 重捕个体数)/重捕标志数.3种群密度的特点:①相同的环境条件下,不同物种的种群密度不同。②不同的环境条件下,同一物种的种群密度不同。4、出生率和死亡率:出生率和死亡率是决定种群密度和种群大小的重要因素。出生率高于死亡率,种群密度增加;出生率低于死亡率,种群密度下降。;出生率与死亡率大体相等,则种群密度不会有大的变动。5、年龄组成的类型:(1)增长型:年轻的个体较多,年老的个体很少。这样的种群正处于发展时期,种群密度会越来越大。(2)稳定型:种群中各年龄期的个体数目比例适中,这样的种群正处于稳定时期,种群密度在一段时间内会保持稳定。(3)衰退型:种群中年轻的个体较少,而成体和年老的个体较多,这样的种群正处于衰退时期,种群密度会越来越小。6、性别比例有三种类型:(1)雌雄相当,多见于高等动物,如黑猩猩、猩猩等。
(2)雌多于雄,多见于人工控制的种群,如鸡、鸭、羊等。有些野生动物在繁殖时期也是雌多于雄,如象海豹。(3)雄多于雌,多见于营社会性生活的昆虫,如白蚁等。7、种群数量的变化:①影响因素: a 、自然因素:气候、食物、被捕食和传染病。B 、人为因素:人类活动。②变化类型:增长、下降、稳定和波动。③两种增长曲线:a 、“J ”型增长特点:连续增长,增长率不变。条件:理想条件。b 、“S ”型增长特点:级种群密度增加→增长率下降→最大值(K )稳定;条件:自然条件(有限条件)。 ④研究意义:防治害虫,生物资
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&&&&&&&&第六专题&&&&解题知识与方法研究&&&&&&&&万有引力定律与天体运动&&&&疑难题解答研究&&&&例题1（天体轨道的判定）例题2（利用万有引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）例题3（卫星“怪像”）例题4（星球运动的阻力）例题5（飞船着陆问题）例题6（飞船和宇航站对接问题）例题7（双星问题）&&&&&&&&一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化二、引力问题的基本运动方程三、行星绕日运动的轨道与能量&&&&&&&&&&&&解题知识与方法研究&&&&一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这&&&&&&&&时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.&&&&二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律有径向动力学方程mar=m(dvrMm?rω2)=?G2dtrdv⊥r=rβ)等于零.dtv&&&&vr&&&&&&&&v⊥r&&&&&&&&m&&&&&&&&M&&&&太阳&&&&&&&&r&&&&&&&&行星的横向加速度a⊥r(≠&&&&&&&&&&&&因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒&&&&rmvsin?=rmv⊥r=rmω=常量&&&&2&&&&&&&&v&&&&&&&&v⊥r&&&&&&&&?&&&&&&&&vr&&&&&&&&m&&&&&&&&此式变化后即得开普勒第二定律：11rvsin?=r2ω=常量22表明：开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒12Mmmv+(?G2)=常量2r&&&&&&&&M&&&&太阳&&&&&&&&r&&&&&&&&当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！&&&&&&&&&&&&三、天体绕日运动的轨道与能量根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：&&&&M&&&&&&&&v&&&&&&&&m&&&&r&&&&&&&&θ&&&&r0&&&&y&&&&&&&&pL22EL2.（其中，p=,e=1+223）.r=1+ecosθGMm2GMm&&&&b轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）E0时，e1，为椭圆，M位于其中一个&&&&焦点（即开普勒第一定律）；&&&&&&&&mocrM&&&&&&&&θ&&&&x&&&&&&&&a&&&&&&&&总能量为：&&&&&&&&E=?&&&&&&&&GMm2a&&&&&&&&ym&&&&r&&&&&&&&（2）E0时，e1，为双曲线的一支，M位于&&&&内焦点&&&&&&&&总能量为：&&&&&&&&GMmE=a&&&&&&&&bOa&&&&&&&&MF(c,0)&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&（3）E=0时，e=1，为抛物线，M位于焦点.总能量为：E=0&&&&m&&&&&&&&y&&&&&&&&自行计算出上述三个能量值！（能否不用高等数学？）&&&&&&&&O&&&&&&&&MF&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&疑难题解答研究&&&&例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.设C距日R3,三星速度如图.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为&&&&R3=mAR1+mBR2mA+2mB=?R1mA+mBmA+mB&&&&&&&&①C&&&&&&&&R1&&&&&&&&在切向：A、B合并过程中动量也守恒，则有&&&&(mA+mB)vC=mAvA+mBvB&&&&&&&&②&&&&&&&&BAvBvCvA&&&&R3R2&&&&&&&&日(M)&&&&&&&&研究②式中的vA、vB：因A作圆运动，故vA=GM.R1&&&&&&&&&&&&B作抛物线运动，机械能为零.因而有&&&&&&&&1MmB2mBvB?G=0.2R2&&&&C所以&&&&vB=&&&&2GMGM2GM==（=vA）2R1R1R2BAvBvCvA&&&&&&&&R1&&&&日(M)&&&&&&&&将vA、vB代入②得&&&&&&&&vC=&&&&&&&&R2mA+2mBR3=?R1①利用①③，C星体的机械能为mA+mB1M(mA+mB)2EC=(mA+mB)vC?G2RC题后思考1GMM(mA+mB)=(mA+mB)G本题能不能直接判断？mA+2mB2R1?R1EA0，EB=0，EA+EB=？mA+mB1MmA(mA+mB)EC与(EA+EB)谁大谁小？=?G?0.2(mA+2mB)R1C的轨道是什么？&&&&因此，新星体C的轨道为椭圆.&&&&&&&&2GMR1&&&&&&&&③&&&&&&&&&&&&例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.解行星运动情况如图.&&&&v3&&&&&&&&?3&&&&v1&&&&&&&&Mmv2只要求得顶点处的速据F=G2=m，ρ度问题便不难解决！r&&&&由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得12Mm12Mm12Mmmv1?GS=mv2?GS=mv3?GS2A?C2A+C2A111(A?C)v1=(A+C)v2=Av3sin?222B由图可知sin?=，代入②式得A111(A?C)v1=(A+C)v2=Bv3222由①③解得&&&&v1=A+CGMSA?CGMSGMS,v2=,v3=.BABAA&&&&&&&&C&&&&&&&&2A&&&&v2&&&&B&&&&&&&&S&&&&&&&&1&&&&&&&&①②&&&&&&&&4&&&&&&&&③&&&&&&&&&&&&求顶点1处的曲率半径ρ1：mv12=F1=GMSm2ρ1(A?C)&&&&&&&&v1=&&&&&&&&A+CGMSBA&&&&2&&&&&&&&v3?&&&&&&&&3&&&&&&&&F3v1&&&&C&&&&F1&&&&&&&&B2.将前面得到的v1代入，即得ρ1=A&&&&求顶点3处的曲率半径ρ3：MmMmBm=F3sin?=GS2sin?=GS2?Aρ3AA&&&&2v3&&&&&&&&A&&&&&&&&S&&&&&&&&1&&&&&&&&v2&&&&4&&&&&&&&B&&&&&&&&A2.将前面得到的v将前面得到的3代入，即得ρ3=B&&&&&&&&v3=&&&&&&&&GMSA&&&&&&&&题后小结与思考椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的曲率半径.&&&&&&&&&&&&例3（卫星怪像问题）质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.解卫星的动能、势能、总机械能为1Mm1MmEK=mv2,EP=?Ge,E=mv2?Ge.2r2r在运行中万有引力作为向心力v2Mmm=Ge2rr将此代入EK、E的表达式，可得到GMmGMm,E=?2r2r卫星旋转一周摩擦力做功为EK=GMm可知，卫星旋转时总机械能的小增量?E（实为减少)和轨道半径r的小2r改变?r的关系是MemMmGMem?rGMem?E=E(r+?r)?E(r)=(?G≈r.)?(?Ge)=2(r+?r)r2r2(r+?r)2r由E=?&&&&Wf=?f(2πr)&&&&&&&&&&&&由功能关系，当卫星旋转一周时，有Wf=?E.即?f(2πr)=GMemr2r2EK=GMm,2rGMmE=?.2r&&&&&&&&所以卫星每旋转一周，r的改变量为&&&&&&&&?r=?&&&&动能的改变量为&&&&&&&&4πrf（r减小）.GMm&&&&3&&&&&&&&?EK=E=?(?2πrf)=2πrf&&&&&&&&现在觉得“卫星怪像”还怪不怪？&&&&&&&&&&&&例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为ρ的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.解为方便研究问题取星球为参照系.bV气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.在横截面为S=πb的圆柱体内的分子才能与星球相碰.&&&&2&&&&&&&&A&&&&&&&&v&&&&&&&&研究圆截面边缘上的一个分子：设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.由机械能守恒得12GM12v?=V2R2由角动量守恒得vR=Vb&&&&2：联立消去，解得bb=R+v&&&&&&&&2GMRV2&&&&&&&&&&&&设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），由动量定理知星球在?t时间内使气体的动量改变为&&&&f?t={ρ(πb?V?t)}V&&&&2&&&&&&&&A&&&&v&&&&&&&&bV&&&&&&&&得到&&&&&&&&f=πρV2b2=πρV2(R2+&&&&2GM2GM=πRρ(V+).R&&&&22&&&&&&&&2GMR2)2V&&&&b=R2+&&&&2GMR2GMRV2&&&&&&&&&&&&例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要的燃料量.求出喷气前、后飞船的解喷气后，飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分速度问题即可解决！（如图）.设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，则有&&&&2v0Mmm?=G(R+h)(R+h)2&&&&&&&&A&&&&&&&&Mo&&&&&&&&P&&&&&&&&v0（1）&&&&&&&&B&&&&Mo&&&&&&&&P&&&&&&&&v0&&&&&&&&月球表面的重力加速度为g=代入上式，便得&&&&v0=&&&&&&&&GMR2&&nbsp&&&&;&&&&&&gR2=1652(m/s)R+h&&&&&&&&（2）&&&&&&&&&&&&（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为vA.则由角动量守恒和能量守恒得&&&&&&&&vAR=v1(R+h)&&&&12Mm12Mmmv1?G=mvA?G2R+h2R&&&&&&&&v1AvA&&&&v0（1）&&&&&&&&Mo&&&&&&&&P&&&&&&&&2gR3=1628m/s联立此两式消去vA解得v1=(R+r)(2R+h)&&&&设喷出的气体质量为?m1,对喷气前后的短暂过程，由动量守恒有mv0=(mm1)v1+?m1(v1+u)解得&&&&&&&&BMo&&&&&&&&v2vrv0&&&&&&&&v0P&&&&&&&&?m1=32.4(kg).&&&&&&&&（2）因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获2的速度vr，从而飞船的速度变为v2=v0+vr2.同样有角动量和能量守恒方程&&&&&&&&（2）&&&&&&&&vBR=v0(R+h)&&&&1Mm12Mm2m(v0+vr2)?G=mvB?G2R+h2R&&&&&&&&&&&&联立此两式消去vB解得vr=&&&&&&&&hv0=97(m/s).R设喷出的气体质量为?m2,对喷气前后的短暂过程，&&&&&&&&v1&&&&&&&&在沿原半径方向上由动量守恒有&&&&&&&&AvA&&&&&&&&Mo&&&&&&&&P&&&&&&&&(mm2)vr+?m2(?u+vr)=0&&&&解得燃料.&&&&&&&&?m2=116.4(kg).&&&&显然，?m2?m1.所以选择第一种方式登月较省&&&&&&&&v0（1）&&&&BMov2vrv0&&&&（2）&&&&&&&&v0&&&&P&&&&&&&&题后思考仔细研究如何计算喷出的气体相对月球的速度！&&&&&&&&&&&&例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其&&&&轨道半径是地球半径的n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR.问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇.解发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.记地球质量为ME，发射前共同速度为u.由&&&&&&&&m&&&&原轨道&&&&&&&&u2(M+m)ME(M+m)=G(nR)2nR&&&&得&&&&&&&&MR&&&&vV&&&&&&&&u=&&&&&&&&GME.nR&&&&&&&&记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.由动量守恒有(M+m)u=MV+mvmV?u=Mu?v①nR8nR&&&&&&&&所求的比值为&&&&&&&&进一步研究分离后飞船和宇航站的运动，求v、V：&&&&&&&&&&&&研究分离后的飞船：设远地心点的速度为v′，由开普勒第二定律及能量守恒定律有11(nR)v=(8nR)v′2212Mm1Mmmv?GE=mv′2?GE2nR28nR由此两式解出v=&&&&&&&&m&&&&M&&&&原轨道&&&&v′&&&&&&&&R&&&&vV&&&&&&&&V′&&&&&&&&4GME4=u3nR3&&&&&&&&②&&&&&&&&r&&&&&&&&nR&&&&&&&&8nR&&&&&&&&研究分离后的宇航站：设近地心点的速度为V′，距地心r.由开普勒第二定律及能量守恒定律有11(nR)V=rV′221MM1MMMV2?GE=MV′2?GE2nR2r由此两式解出&&&&&&&&V=&&&&&&&&2rGME2r?=?unR+rnRnR+r&&&&&&&&③&&&&&&&&&&&&m&&&&研究分离后的相遇以求得r：设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.由开普勒第三定律有t2T2=8nR+nR3nR+r3()()22即(9nR3t)=()2nR+rT&&&&vV&&&&&&&&原轨道MRV′&&&&&&&&v′&&&&&&&&r&&&&nR8nR&&&&&&&&确定t/T：因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以&&&&t=kT.k=1、、、、.234&&&&23&&&&&&&&代入上式，得r=&&&&&&&&9?k&&&&2&&&&&&&&?nR&&&&&&&&④&&&&&&&&k3宇航站不能与地球相碰（只要近地点不碰，其它点便不会相碰）.故应rR将④代入，得&&&&&&&&&&&&9?k&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&3&&&&&&&&m&&&&?nRR&&&&原轨道MRV′&&&&vV&&&&&&&&即所以&&&&&&&&k329?k3k&&&&23&&&&&&&&v′&&&&&&&&×1.251&&&&&&&&k≤11.由上述①②③④式求m/M：mV?u==Mu?v&&&&2&&&&&&&&2r?u?unR+r=4u?u3&&&&&&&&2r?1nR+r41?3&&&&&&&&r&&&&nR8nR①mV?u=Mu?v题后思考&&&&&&&&=3?2(9?k3).&&&&&&&&最后结果为何与u无关？4GME42mv==u②要求0.即3?2(9?k3)0.若分离后v、V反向，结3nR3M果又如何？2r2rGMEk≥10.得V=?=?u③mnR+rnRnR+r=0.048，0.153.可见k只能取两个值：k=10，11.相应有2M9?k3④r=?nR2k3&&&&&&&&&&&&例7一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设Mm），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量?M.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离.v解需计算爆炸后的总机械能.如图，爆炸前两星绕质心旋转.旋转半径满足r1+r2=dmMr1=d,r2=d.M+mM+m旋转的角速度ω满足V2v2MmM?=m?=G2.r1r2d&&&&由以上诸式得到V=m&&&&&&&&r2r1&&&&&&&&m&&&&&&&&M&&&&V&&&&&&&&C&&&&&&&&GG，v=M.d(M+m)d(M+m)&&&&&&&&爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-?M）位置、速度均不变.因爆炸对星体m也无作用，故m的位置、速度也不变.&&&&&&&&&&&&新系统的质心C′还在两星连线上的原处吗？新系统的质心C′还会静止吗？&&&&&&&&v&&&&r2r1&&&&m&&&&&&&&M&&&&新系统的势能为(MM)m′EP=?Gd新系统在新质心参照系中的动能为11′EK=(MM)(V+vC′)2+m(v?vC′)222由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为vC′=mv?(MM)V(mv?MV)+?MV=.(MM)+m(MM)+mV&&&&&&&&C&&&&&&&&vC′&&&&(MM)r1′&&&&&&&&r2′&&&&&&&&vm&&&&&&&&C′&&&&&&&&V&&&&&&&&注意到式中的(mv?MV)=0.所以vC′=?MV.(MM)+m&&&&&&&&&&&&进而得到系统在新质心系中的动能为&&&&&&&&1?MV′EK=(MM)(v+)22(MM)+mr1(MM)m1?MV2′EP=?GC+m(V?)Md2(MM)+mGV=m，V新系统仍被约束的条件是d(M+m)′′EP+EK0.Gv=M.d(M+m)′′将EP、EK的表达式代入，整理得1?M(M+m).2(MM)r1′&&&&题后思考以后两星还绕新质心作圆运动吗?(严格证明你的结论！)&&&&&&&&v&&&&r2&&&&m&&&&&&&&vC′&&&&&&&&r2′&&&&&&&&vm&&&&&&&&C′&&&&&&&&V&&&&&&&&&&&&另解用二体问题折合质量法爆炸前：Mm?=.等效的运动如图（a）.两星折合质量M+m&&&&&&&&v&&&&d&&&&&&&&?&&&&&&&&v2Mm?旋转的速度v满足?=G2dd&&&&得到爆炸后：&&&&v=G(M+m)d&&&&&&&&M&&&&&&&&（a）&&&&&&&&(MM)m两星折合质量?′=.等效的运动如图（b）.(MM)+m&&&&&&&&v&&&&&&&&?′&&&&&&&&d(MM)m.(MM)d新系统的动能EK=1?′v2=1?(MM)m?(G(M+m))2（b）′2d2(MM)+m1(MM)mG(M+m)题后思考=.2(MM)+md计算两体的引力势能时新系统的势能EP=G′代入系统约束的条件解得&&&&′′EP+EK0.1?M(M+m).2&&&&&&&&为何不用折合质量？&&&&&&&&&&&&两体问题&&&&仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2的矢径为R.&&&&r取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为r.&&&&&&&&有&&&&&&&&r=&&&&&&&&m11R…………（）m1+m2&&&&m1&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&f&&&&&&&&对m2，由牛顿第二定律有d2rf=m2?2……………（）2dt将（1）代入（2）：m1m2d2Rf=?.m1+m2dt2&&&&令&&&&m1m2=?(称为m1与m2的折合质量，则有)m1+m2d2Rf=?2………………（）3dt&&&&&&&&m2&&&&&&&&f&&&&&&&&C&&&&&&&&（3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为?的质点在中心力f的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.&&&&&&&&&&&&“卫星怪象”问题&&&&卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为Mm.2r12MmMmmv+(?G)=?G.2r2rE=?G于是可知12MmMmmv=G=?(?G).22r2r1(EK)(?E)EP)(?21EK=?E=?EP.21?EK=E=EP.2怪哉！在总机械能减少（?E0）时，动能增加而势能却减少！？该如何解释？&&&&&&&&即&&&&&&&&即对两端的变化量有&&&&&&&&&&&&&&&&}