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如图所示，点C在线段AB上，AC＝8厘米，CB＝6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a厘米，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
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如图，点C在线段AB上，AC＝8厘米，CB＝6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a厘米，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
主讲：牛晓飞
【解析过程】
根据,分别是,的中点,我们可得出,分别是,的一半,那么,的和就应该是,和的一半,也就是说是的一半,有了,的值,那么就有了的值,也就能求出的值了;方法同只不过,的值换成了,其他步骤是一样的;当在线段的延长线上时,根据,分别是,的中点,我们可得出,分别是,的一半.于是,,的差就应该是,的差的一半,也就是说是即的一半.有的值,也就能求出来了;综合上面我们可发现,无论在线段的什么位置(包括延长线),无论,的值是多少,都恒等于的一半.
,分别是,的中点,,,,,;,,分别是,的中点,,.又,,;,分别是,的中点,,,又,,;如图,只要满足点在线段所在直线上,点,分别是,的中点.那么就等于的一半.
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京ICP备号 京公网安备若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的,重要是结论是什么？_百度知道
若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的,重要是结论是什么？
点M、N分别是AC、BC的中点，是吗？因为点M、N分别是AC、BC的中点，所以MC=(1/2)AC，
NC=(1/2)BC，因为AC+CB=a，所以MN = MC+CN =(1/2)AC+(1/2)BC= (1/2)(AC+BC) = (1/2)a回答了你的问题了吗？
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关于矩阵的等价与向量组的等价日期：
２００８年１２月韶关学院学报?自然科学Ｄｅｃ．２００８关于矩阵的等价与向量组的等价曹青春，冯秀芹（肇庆学院数学系，广东肇庆５２６０６１）摘要：证明了数域，上的两个ｍｘｎ矩阵Ａ与Ｂ行（列）等价当且仅当它们的行（列）向量组等价．同时，还得到了一些有用的推论．关键词：矩阵；初等变换；等价；秩中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—５３４８（２００８）１２—００２５—０３无论是在线性方程组的讨论中，还是在向量空间的理论中，向量组之间的线性关系（包括等价性）都起着基本而重要的作用【１－３］．在本文里，引入了两个矩阵行等价和列等价的概念，揭示它们与向量组的等价之间的密切联系．同时，还将得到关于矩阵的一些推论．定义１［１】设Ａ，曰为数域Ｆ上的ｍｘｎ矩阵，如果Ａ可经过一系列的初等行（列）变换化为Ｂ，则称Ａ与Ｂ行（列）等价．定义２Ｅ１］设ａ，，啦，…，瓯与卢。，／３５，…，忍是ｒｔ，维行向量空间Ｆ５的两个向量组，如果它们能够互相线性表示，则称ｏｔｌ，（９／２，…，儡与ＪＢｌ，岛，…，危等价．为节省篇幅，在下面的讨论中本文将不加指明地引用文献［１］中的有关概念和结论．定理１证明设Ａ，Ｂ数域Ｆ上的ｍ×ｔｚｌ矩阵，则矩阵Ａ与召行等价当且仅当Ａ与曰的行向量组等价．设Ａ的行向量组为仪。，Ｏｒ５，…，ｄ。，而Ｂ的行向量组为卢。，／３：，…，风用分块矩阵来表示即为：ｄ』岱ｌ．曰＝Ａ＝嘞●●●岛ａ。』ｌ口。如果矩阵Ａ与召是行等价的，则存在一个ｍ阶叮逆矩阵ｇ＝（ｇ＃）ｍｘｍ使得Ｂ＝必．于是，利用分块矩阵的乘法规则，可得：Ｂ－－ｑｆｌｃｘｌ＋ｑａ‘ｘ２＋…＋ｑ—％．，ｉ＝１，２，…，ｍ．所以，向量组／３，，＆，…，凤可由向量组ａ，，“：，…，％线性表示．同理，由于Ａ＝Ｑ—Ｂ，这就意味着向量组０ｃ，，０ｃ：，…，仅。也可由向量组ＪＢ。，伤，…，卢。线性表示．因此，矩阵Ａ与Ｂ的行向量组等价．反之，假定Ａ与Ｂ的行向量组等价，则秩㈣，毗，…，嘲＝秩够，，＆，…，剐，令它们共同的秩为ｒ．如果ｒ＝０则Ａ＝Ｂ＝０，显然有矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．下面假定ｒ＞Ｏ且Ｏｔ¨ａ¨…，％是ａ。，０ｃ：，…，‰的极大线性无关组屈．，成，…，孱，是ＪＢ，，压，…，／３．的极大线性无关组，则ａ和ａ‘，…，ａ‘与／３，。％／３，…，／３，等价．于是，存在一个ｒ阶矩Ｉ阵使得：收稿日期：２００８—０７＿２８基金项目：肇庆学院教学研究项目（０２１０７３）作者简介：曹青春（１９５７一），女，河南新乡人，肇庆学院数学系讲师，主要从事代数方面的研究届ｉ．屈：●●●０ｃｆ．＝ｃｒ。吣●●●Ｂｉ一％这时，ｃ０是生成子空间１隈￡（哦，％，…，吣）中由基吒，ｑ：，…，嘎到基危属：，…礁的过渡矩阵，因而是可逆的．当ｒ：ｍ时，注意到上面的ｉ，，如，…，０可分别取为ｌ，２，…，ｍ，因而（１）式和Ｃ。的可逆性表明，矩阵Ａ与Ｂ是行等价的．当ｒ＜ｒｒｚ－时，对Ａ作适当的初等行变换（通过行的交换），可使得：仪１ｄｉ．％●●●吒●＇＇Ａ＝Ｊｑ吣仪“●●●甜１．～ｌｏ★ｌａ。∞．又因为每个吒，可由ｄ“，“妒…，吣线性表示：理＆＝也１０［ｉ；＋ｄｋ２ｃｘ‘＋…＋如ｐ，＜五ｓｍ所以将Ａ，的前，行的适当倍数分别加到后面的１７１，一ｒ行，可使得它们全部变为零．对于矩阵曰，亦作同样的处理．因此，可以证明存在ｍ阶可逆矩阵ｕ和秽使得：ｊＱｉ，ａ‘慨慨（２）ＵＡ＝Ｉ“ｔ，ＶＢ２ｉ＆０｜０｜Ｏ０同时，由（１）式可得到：卢ｆ．８ｉ｜●●●气吣～反０●●●：［々￡，ｌ（３）啦０｜；ＯＯ其中，ｋ为ｍ—ｒ阶的单位矩阵．进一步，由（２）、（３）两式可得：Ｉ屈。ａｆｌ慨ａＬ：●●●曰＝Ｖ。１Ｉ展０妒?［？ｏ艮理ｉ妒恬ＥＯ…］ＵＡ．０●●●０Ｏ取：ｆｃｒ。０１剐。【０Ｅ—Ｐ则Ｔ为一个ｍ阶可逆矩阵，且Ｂ＝硒，从而Ａ与Ｂ行等价．定理１证毕．利用转置矩阵的知识，由定理１可得下面的定理２．定理２设Ａ，Ｂ为数域Ｆ上的ｍＸｌｔ矩阵，则矩阵Ａ与Ｂ列等价当且仅当Ａ与Ｂ的列向量组等价．由定理１和定理２，还可得到如下一系列推论．推论１证明若ｎ阶方阵Ａ，Ｅ以ｙ满足Ａ＝明且曰＝Ｍ，则必存在一个ｎ阶可逆矩阵丁，使得Ｂ＝烈．由条件Ａ＝ＵＢ和日＝蹦知，Ａ与Ｂ的行向量组是等价的．所以推论１由定理１得证．推论２设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｍＸｍ和１ＴＬＸｎ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩（日），则对于任意ｒｔＸ￥矩阵Ｃ，有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）．证明。设Ｂ的行向量组为卢。，卢：，…，卢。，而ＡＢ的行向量组为ｙ。，ｙ：，…，‰．由分块矩阵的乘法规则可知．乘积ＡＢ的每个行向量都是Ｂ的行向量组的线性组合：ｙＦ忌ｉ１ｆｌｌ＋ｋ‘卢２＋…十尼￡。卢。，ｉ＝ｌ，２，…，ｍ．所以，￡（＂，ｙ：，…，‰）∈￡够。，岛，…，风）．这样，再由秩似曰）＝秩（曰）可知，￡（ｙｔ，饮，…，‰）＝￡∞?，岛，…，风）．从而可得，ＡＢ的行向量组与Ｂ的行向量组等价．再由定理ｌ得，矩阵ＡＢ与Ｂ行等价，于是，存在一个ｍ阶可逆矩阵Ｐ使得ＰＡＢ＝丑因此，对于任意ｍＸｓ矩阵Ｃ，有ＰＡＢＣ＝ＢＣ，进而有秩（ＡＢＣ）＝秩（ＰＡＢＣ）＝秩（ＢＣ）。推论３设Ａ，Ｂ分别为数域Ｆ上的ｒｒｔｘｎ和ｒｉ，Ｘｌｚ矩阵，若秩（ＡＢ）＝秩似）则存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得ＡＣ＝ＡＢ．证明由分块矩阵的乘法规则可知，乘积ＡＢ的每个列向量都是Ａ的列向量组的线性组合，类似于推论２的证明（应用定理２）易知，Ａ的列向量组与的ＡＢ列向量组等价．所以，存在一个ｎ阶可逆矩阵Ｃ，使得ＡＣ＝ＡＢ．由定理ｌ和定理２，可将所含向量个数相同的两个凡维行（列）向量组的等价问题转化为“同型”的两个矩阵的行（列）等价问题．其实，当两个ｎ维行（列）向量组中所含向量的个数不等时，这种转化仍然是有效的．例如，设０１．１，０１２，…，Ｏｔ。与．；Ｂ。，卢２，…，展是丽组坨维行向量，且ｔ＜ｍ．令卢ｌ＋１印。＋２＝…嘏ｌ－Ｏ，则ｄｌ，ＯＬ２，…，ｄ。与局，侥，…，／３，等价当且仅当ａ。，“：，…，‰与卢。，＆，…，屈，卢州，…，熊等价．这样，可将两向量组中所含向量个数不等的情形转化为相等的情形．因此，本文中的定理１和定理２具有普遍的意义．（下转第７８页）ＥｘｐｌｏｒｅｂｙａｏｎＥＳＷＬｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｕｒｅｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔＬＩＴａｉ—ｃｈｕｎ，ＬＡＮＨａｎ－ｒｏｎｇ，ＬＥＩＺｈｉ－ｆｅｎｇ（ＣｒｕｓｈｅｄＳｔｏｎｅｓｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＳｈａｏｇｕａｎＲａｉｌｗａｙＨｏｓｐｉｔａｌ，Ｓｈａｏｇｕａｎ５１２０２３，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｈａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄｏｎａｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ－ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ．Ｉｔｈａｓｂｅｅｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｅｄｂｒｅａｋｔｈｅｕｓｅ７５ｍａｒｒｉｅｄａｎｄｃａｓｅｓｃｈｉｌｄ—ｂｏｒｎｍｅｎ，ａｎｄｉｔｃａｎｓｔｏｎｅｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅ．Ａｓａｒｅｓｕｌｔ，ａｎ７５ｗｅｒｅｓａｔｉｓｆｉｅｄｗｉｔｈｔｈｉｓｔｒｅａｔｍｅｎｔ．ＴｈｅｏｆｔｈｅｂａＵｏｏｎ—ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔｔｏｔｒｅａｔｃａｎｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｌｓｔｏｎｅｗｉｔｈｔｈｅｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｗａｖｅｉｓｒｅａｌｌｙｇｒｅａｔ．Ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｐａｉｎｓ，ａｎｄｗｈｏｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｓｑｕｉｔｅａｂｅｔｒｅａｔｅｄｗｉｔｈｏｕｔａｎｙｓｉｍｐｌｅ．Ｗｈａｔ’ｓｍｏｒｅ，ｔｈｅｒｅｗｉｌｌｎｏｔｂｅａｎｙｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｆｔｅｒｓｕｒｇｅｒｙ．Ｔｈｉｓｉｓ．ｇｏｏｄｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｔｒｅａｔｍｅｎｔｏｆｍａｌｅｕｒｅｔｈｒａｃａｌｃｕｌｉ．ｗａｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｒａｃｏｒｐｏｒｅａｌｓｈｏｃｋｔｈｒａｌｃａｌｃｕｌｉｌｉｔｈｏｔｒｉｐｓｙｃｙｓｔｉｃ；ａｗａｔｅｒｂａｌｌｏｏｎ—。ａｓｓｉｓｔｅｄｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇｅｑｕｉｐｍｅｎｔ；ｕｒｅ‘（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）坐★＊女坐啦妇％＿女螺女女业女女蛳女女＊ｔ女蛳％业啦坐女＊誓＊★ｔ女＊妊坐女★啦＊蛳业女啦妇ｔ＊坐女＊坐业蛳蛳幽（上接第２７页）参考文献：【１］北京大学数学力学系．高等代数（第二版）【Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９７８．［２］谢永东．判定向量维等价性的一个充分条件［Ｊ］．工科数学，１９９７，１３（２）：１５０－１５１．［３］宋福民，万福令。关于两列岛量组等侩的一些注ｉｇ［ｊＪ．工科数学，１９９８，１４（３）：１４４—１４６ＴＯｎｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄｖｅｃｔｏｒｓｅｔｓＣＡＯＱｉｎｇ－ｃｈｕｎ，ＦＥＮＧｍａｔｒｉｃｅｓａｎｄＸｉｕ－ｑｉｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｏｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｏｑｉｎｇａｒｅ５２６０６１，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ）ｃｏｌｕｍｎｓ（ｒＯＷＳ）ｉｆａｒｅＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｗｏｏｎｌｙｉｆｔｈｅｉｒｃｏｌｕｍｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｒｅｌａｔｉｖｅｔｏａｎｄｒｏｗｓ）ｖｅｃｔｏｒｓｅｔｓａｒｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｓｏｍｅｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｒｉｘ；ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ；ｒａｎｋ（ＥＤ．：Ｘ，Ｊ）关于矩阵的等价与向量组的等价作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：曹青春， 冯秀芹， CAO Qing-chun， FENG Xiu-qin肇庆学院数学系,广东肇庆,526061韶关学院学报JOURNAL OF SHAOGUAN UNIVERSITY)1次 参考文献(3条) 1.宋福民;万福令 关于两列向量组等价的一些注记 .谢永东 判定向量组等价性的一个充分条件 .北京大学数学力学系 高等代数 1978 相似文献(10条)1.期刊论文 谢芳 矩阵初等变换的若干应用 -昭通师范高等专科学校学报)应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中若干问题和求两个多项式的最大公因式.这些内容丰富和扩展了相关知识.2.期刊论文 孙卓明.SUN Zhuo-ming 广义初等变换及矩阵乘法的简化 -上饶师范学院学报)为了简化矩阵乘法的运算,本文对初等变换的概念进行了推广,提出了广义初等变换的概念,给出了用广义初等变换完成矩阵乘法运算的方法.彻底解决了矩阵乘法计算的简化问题.3.期刊论文 叶海江.安希忠.王增辉.YE Hai-jiang.AN Xi-zhong.WANG Zeng-hui 矩阵乘积的初等变换术及其应用 -大学数学)通过矩阵乘法运算的拆行拆列表示,巧妙地绕过初等矩阵,建立了矩阵乘积的初等变换术,进而导出了原来运用初等矩阵才能导出的有关初等变换、逆矩阵、矩阵方程、矩阵等价的若干重要结果.4.期刊论文 和斌涛.HE Bin-tao 初等变换与矩阵的QR分解的关系 -科学技术与工程)主要研究矩阵初等变换与矩阵的QR分解的关系.讨论了第一类,第二类矩阵的初等变换对矩阵的QR分解的影响,即初等变换后新矩阵的Q矩阵和R矩阵与母矩阵的Q矩阵和R矩阵之间的定量关系.并利用第三类初等变换给出了矩阵QR分解的新方法.5.期刊论文 闫国松 浅议初等变换在矩阵理论中的作用 -科技信息（学术版）2008(14)矩阵理论是线性代数的主要内容和重要基础,矩阵的初等变换在矩阵理论中起着特别重要的作用,主要包括初等变换在求逆矩阵时的核心作用;初等变换在求矩阵秩时的核心作用;初等变换在解线性方程组时的核心作用.因此矩阵的初等变换是矩阵理论的核心.6.期刊论文 王荣.罗铁山 利用矩阵的初等变换求一类矩阵的乘积 -唐山学院学报)利用矩阵的初等变换,讨论了形如A-1B或BA-1的计算问题,并给出了较为简便的计算方法.7.期刊论文 陈现平.CHEN Xian-ping 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