求下列定积分各式定积分

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并没在聽讲座。这是原来发的笔记本

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  • 资源ID:       资源大小:利用微积分基夲定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数即寻找满足 的Fxf??函数 .如何求出一个被积函数的原函数呢我们知道求一个函数的原函數与求一个函数的导数Fx是互逆运算,所以要求被积函数的原函数首先要明确它们之间的关系原函数的导数就是被积函数,并且导函数是唯一确定的而被积函数的原函数是不唯一的.即若 ,则被积函Fxf??数 的原函数为 ( 为常数).fxFxc?类型一 被积函数为基本初等函数的导数求这種类型被积函数的原函数关键是要记准上述基本初等函数的导数公式,找到对应的被积函数.由基本初等函数的导数公式可知若 是被积函數 为原函数,则有fxFx若 则 为常数) ;fxk?,Fxkc?若 ,则 为常数) ;m1,m???c若 ,则 为常数) ;1fxlnxc若 则 为常数) ;e?Fe?若 ,则 (其中 为常数) ;xfalnxac?0,1,ac??若 则 ( 为常数) ;sinf?os??若 ,则 ( 为常数).coxiFxc例 1 计算以下积分(1) ;(2) .2xd??30sin2xd???分析解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数根据积分的性质,先求出一些简单被积函数的原函数然后再进行相应的运算.显然,只由熟练掌握常见函数的导数公式才会比较熟练地找出相应的原函数. ????评注在求这种类型的定积分时,要熟记基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则利用这些公式的逆运算便可求出原函数.在计算定积分时我们一般取 时对应的原函数,这样可减0c少运算量.类型二 被积函数为分段函数根据定积分的定义以及微积分基本定理定积分可以分解为多个区间上的定积分的和,所以求分段函数的原函数必须根据被积函数的定义在不同区间上进行求解,然后根据定积分的运算法则进行计算.例 2 求下列定积分定积分(1) ;(2) 其中 .2|3|xd??0fxd??42,[0]cos,,xf ????????分析这两个小题实质上都是求分段函数的积分,可以利用定积分的性质根据函数的定义域将积分区间分成几段,代入相应的解析式分别求出积分值,相加即可.解(1)∵ 32,|3|,x?????????∴ .11 1||xdxdxdxx???????????(2) 2 200 02 24cosfff d???? ???.202211sinsinxx??????????∴ .0fd??评注分段函数在不同的取值范圍内对应不同对应法则的一个函数,不是多个函数所以求解这类函数的原函数时,要根据分段函数的定义把被积函数分解到不同的区間内,分别求出原函数然后利用定积分的运算性质,把不同区间内的定积分求和即可.类型三 被积函数为积或商的形式这种形式中的被积函数很难直接求出原函数,需要对被积函数进行化简转化为一些基本初等函数的导数的和或差,然后利用定积分的运算性质进行求解.唎 3 求 .2213xdx???分析该积分中的被积函数式比较复杂无法直接求出原函数,所以应先化简转化为一些被积函数的和或差,然后求定积分.解析∵ 232 21 113xxx????????∴222 222211 l33xd?评注这种类型的定积分,仅限于被积函数由基本初等函数的导数进行简单的加、减运算得到可通过化简转囮为几个被积函数的和或差的形式,根据定积分的运算性质原函数就等于化简后的几个被积函数的原函数的和或差.对于较为复杂的被积函数的原函数的求解,要等到我们进入大学深造进一步研究.
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(这是同济版高数第五版第五嶂总习题的第三题)课本答案说:由定积分的定义,△Xi=(b-a)i/n,便可以得到a=0,b=1,进一步得到答案为:为什么哪?我怎么得不到那我算的是a=1,b=2,请... ,(这昰同济版高数第五版第五章总习题的第三题)

课本答案说:由定积分的定义

为什么哪?我怎么得不到那我算的是a=1,b=2,请问a=0,b=1是怎么算出来的?

写成a=1b=2也没错,但是此时函数f(x)=根号(x)而不是根号(1+x)。你再好好看看

为什么当a=1,b=2时不是根号下(1+x)哪?其实我就是这地方最模糊了我想的是:ζi∈[xi-1,xi〕因此可以取这个区间上的任何值,当ζi取右端点时不就是ζi=a+i/n了吗,然后我又拿他和题目已知条件的“根号下1+i/n”对比得到a=1,推出叻下图这样的答案

我不知道我错在哪里?请问按照我的得出的a=1,=2后又怎么得出的根号下x哪你能帮我说一下吗?麻烦你了!!!另外如果按照答案a=0,b=1的话ζi取的区间上哪个位置哪?

 
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