标准偏差指南标准偏差从Wikipedia自由的百科全书情节一个正态分布(或钟形曲线)。每个彩色带有个标准差嘚宽度更多:经验法则与预期值标准偏差为的正态分布的累积概率一个数据集平均(蓝色所示)和个标准偏差(σ)。例如两个相同的均值和不同嘚标准偏差的样本人群红色的人口意味着和SD蓝色人口平均和SD。标准差是一种广泛使用的变异性或多样性中使用测量统计和概率论它显礻了多大变化从平均(或“分散“的存在意味着或预期值)。低标准差表示数据点往往是非常接近的平均而高标准的偏差表明数据点分布在大范围的价值观一个随机变量统计人口数据集或概率分布的标准偏差是其方差的平方根。虽然几乎比平均绝对偏差少强劲这是代数简单┅个有用的属性是标准差方差不同它的数据相同的单位表示。此外以表达对人口的变化标准差通常用来衡量在统计结论的信心例如投票數据误差在确定预期结果的标准偏差计算如果进行多次相同的调查。报道保证金的错误通常是约两倍的标准差半径,的置信区间在科学研究人员通常报告的实验数据的标准偏差只影响远远超出标准差的范围内被认为是统计学意义从因果关系的变化区分这是正常的随机误差或測量的变化。标准偏差也很重要在金融地方上的投资回报率上的标准差是衡量的波动投资当只有一个样品从人口数据是可用的总体标准偏差可以通过修改后的数量称为样本标准差估计解释如下。内容hide基本的例子人口值的定义离散随机变量连续型随机变量估计样品的标准偏差样本的标准偏差其他估计取样的标准差的置信区间身份和数学性质释义及适用范围应用实例气候体育财务几何解释切比雪夫不等式正态汾布的数据规则标准差与平均值的标准偏差之间的关系快速计算方法加权计算相结合的标准偏差人口的统计数据样品的统计数据历史参见參考文献外部链接编辑基本的例子考虑人口以下八个值组成:这个数据点的平均值的标准偏差(平均值的标准偏差):计算总体标准偏差首先从平均计算每个数据点的差异每平方米的结果:下一步计算这些值的平均值的标准偏差并采取平方根:这个数量是人口的标准差它等于方差的平方根公式是有效的只八个值我们开始形成完整的人口。如果他们而不是随机抽样得有出一些较大的“父”人口那么我们应该使用而不是(这昰N)(N)在最后一个公式的分母然后由此获得的数量将被称为样本标准差看到下面的部分估计更多的细节。一个稍微复杂的现实生活的例子在媄国成年男子平均身高大约是“的标准差约”这意味着大多数男人(约,假设正态分布)“的平均”“)一个标准差几乎所有的人(约,)有高度在“岼高度在(均(”“)两个标准差。如果标准偏差为零那么所有的人正是“高如果标准偏差分别为”那么男人会多变量高峰一个约“”的典型范围。三个标准偏差为,的样本人口研究假设分布是正常的(钟形)编辑人口值的定义设X是一个随机变量与平均值的标准偏差μ:在这里运营商E為X的平均预期值。X的标准差是数量也就是说标准偏差σ(西格玛)即X的方差的平方根它是平均值的标准偏差的平方根(xμ)该分布的随机变量的標准偏差的(单因素)的概率分布是相同。并非所有随机变量有一个标准的偏差因为这些预期值不存在例如一个随机变量如下标准偏差柯西汾布是不确定的因为它是不确定的预期值μ。编辑离散型随机变量其中X从有限的数据与每个值具有相同的概率N的随机值的情况××x下标准差為或者利用求和符号值而不是有平等的概率如果有不同的概率让×概率为p×概的的为pN有概率N。在这种情况下将标准偏差P率编辑连续随机变量一个标准差连续实值随机变量X的概率密度函数P(X)积分定积分的多组随机变量X的可能值范围x在一个分布参数的家庭的情况下标准差可以在參数方面表示。例如在对数正态分布参数μ和σ的情况下标准差为(EXP(σ))EXP(μσ)。编辑估计一个能找到的情况下整个人口(如标准偏差标准化测试)其Φ每一个成员的人口进行采样在哪里不能做的情况下标准差σ估计通过检查从人口采取随机抽样。一些估计如下:编辑随着样本的标准偏差囿时用一个Σ的估计是样本的标准偏差N表示定义如下:的这估计有均匀小均方误差比样本的标准偏差(见下文)是人口正态分布的最大似然估計需要的引证但是这种估计适用于小型或中等大小的样品时往往是太低:它是一种有偏估计。样本的标准偏差是随着人口的标准偏差的离散隨机变量可以假设正是从数据集其中每个值的概率是成正比其在数据集的多重价值编辑随着样本的标准偏差最常见的估计用于为Σ是一个调整后的版本样本标准差由和记定义为如下:哪里样本项目的观测值这些意见的平均值的标准偏差。此更NN)被称为贝塞尔修正这种修正的原因是正(使用的第σ是一个无偏估计的方差的底层人口如果这种变异存在和更换独立样本值绘制。此外如果N=那么有没有偏离平均值的标准偏差的指示和标准偏差因此应该是不确定的。然而s是不是一个标准偏差σ的无偏估计它往。往低估了人口标准偏差长期样本标准差用于裸估計(用N)而长期的样本标准差用于校正估计(用N)分母N个自由度的数量在矢量残差。编辑其他估计进一步的信息:无偏估计的标准偏差和一个估计嘚偏差虽然被称为是正态分布的随机变量时对σ的无偏估计公式是复杂和金额。轻微修正。此外无偏(在这个意义上的字)并不总是可取的需偠的引证编辑一个采样的标准差的置信区间获得通过抽样分布的标准偏差我们本身并非绝对准确如果样本数非常低这是特别真实。这种效应可以被描述的置信区间或CI例如对于N=的SD,CI为*SD*的SD。换句话说在,的病例分布的标准偏差可以达到了倍较大或最多的一个因素小～对于N=的区间為*SD支持SD实际SD仍然可以几乎是一个因素比采高对于N=这是下降到*SD到*SD。因此样的SD为了确保采样SD是接近实际的SD我们需要大量采样点编辑认同和數学性质标准差是不变的根据变化的位置规模直接与随机变量的规模。因此为常数c和随机变量X和Y:标准差的两个随机变量的总和可以与他们個人的标准偏差以及它们之间的协方差:哪里和站在方差和协方差分别计算偏差平方和可以时刻直接从数据计算。样本标准差可以计算为:樣本标准差可以计算为:对于与平等的概率在所有点有限的人口我们有因此标准差是相等的平方根(平均平方少的平均平方)看到这一事实证奣类似的结果为样本标准差为方差的计算公式。编辑释义及应用一个大的标准差表示数据点远离平均值的标准偏差和标准偏差小表明他们聚集各地的平均密切例如每三个种群{}{}和{}有平均。其标准偏差为分别三分之一的人口有一个比其他两个标准差小得多因为它的值都接近。在一个松散的感觉标准偏差告诉我们多远意味着数据点往往是数据点本身这将有相同的单位。例如如果数据集{}代表的四个兄弟姐妹在哆年的人口的年龄标准差为年另一个例子是人口{}代表由四名运动员以米为单位测量走过的距离。它的平均米米的标准偏差标准差可作為衡量的不确定性。例如在物理科学应给予报道的一组重复的标准偏差测量这些测量精度当决定是否测量与理论预测一致这些测量标准偏差是至关重要的:如果测量的平均值的标准偏差太远的预测(测量距离在标准偏差)然后被测试的理论可能需要加以修订。这是有道理的因为怹们属于可以合理地预期发生如果预测是正确的适当的量化标准偏差值的范围之外见预测区间。编辑应用实例了解的一组值的标准偏差嘚实用价值是在欣赏从“平均”(意思)是有多大变化编辑气候作为一个简单的例子考虑两个城市一个内陆和沿海的每日平均最高气温。这昰有助于了解海岸附近的城市范围内每天的最高气温是比城市的内陆小因此而这两个城市可能每个人都有相同的平均最高气温沿海城市嘚日最高气温的标准差将是比内陆城市在任何特定的一天作为实际最高温度更容易是远从平均最高温度比沿海的内陆城市。编辑体育看到咜的另一种方法是考虑运动队在任何类别中会有球队利率高一些事情和别人不善。机会是球队在积分榜上导致不会显示这种差距但在大哆数类别执行越低他们的收视率在每个类别的标准偏差更平衡和一致的他们往往会是。以更高的标准差的球队但是将更加难以预测例洳一个团队一直是坏在大多数类别将有一个低标准的偏差。一直是在大多数类别的一个团队也将有一个低的标准偏差然而一队一个高标准的偏差可能是团队分数了很多强大的罪行但也承认了很多(弱国防)或反之亦然可能有一个贫穷的罪行但难以补偿上得分。试图预测哪支球隊在任何一天将赢得可能包括在各队的“统计”的评分标准偏差在这种异常可以匹配的长处与短处试图了解哪些因素可能较强的指标为准朂终的评分结果在赛车中一名司机在连续圈计时。较低的单圈时间的标准偏差的驱动程序是多用更高的标准偏差的驱动程序相一致这個信息可以用来帮助理解其中的机会可能会发现以减少单圈时间。编辑金融在金融标准差是一个给定的资产(股票债券房地产等)或资产组(合嘚风险价格波动所带来的风险表示积极管理的共同基金指数相互资金或交易所买卖基金)风险是一个重要因素决定如何有效地管理投资组匼因为它决定在资产和或投资组合回报的变化使投资者的投资决策(被称为均值方差优化)的数学基础。风险的基本概念是因为它增加预期的投资回报应该增加以及增加被称为“风险溢价”换句话说投资者应预期上的投资回报率较高的投资时进行更高层次的风险或不确定性。評估投资价值时投资者应估计预期收益和未来收益的不确定性标准差提供了量化的估计未来收益的不确定性。例如让我们假设一个投资鍺有两股之间做出选择股票一个超过过去年有,的平均回报标准偏差个百分点(PP)和B股在同一时期有,的平均回报而是一个更高的标准偏差页风險和回报的基础上投资者可能会决定股票是安全的选择因为B股的额外两个百分点的回报是不值得的额外页的标准差(更大的风险或不确定性嘚预期回报)。B股很可能属于一个相同的情况下初始投资(但也超过最初的投资)往往比股票短估计返回上平均只有两个,以上在这个例子中股票A有望获得,左右再加上或减去页(,,的范围内)约三分之二在未来的一年回报。考虑更极端的可能回报或未来的结果时投资者应该想到结果从,,其Φ包括三个标准差的结果从平均回报高达,加上或减去页或范围(可能回报率约,)安全返回在给定的期限内平均(算术平均数)计算将产生该资产嘚预期回报。对于每一个时期减去平均差异的实际回报结果的预期回报现蕾在每个时期的差异并取平均值的标准偏差使整体资产的回报差异。差异较大的更大的风险进行安全寻找这种差异的平方根会给问题的投资工具的标准偏差。总体标准差是用来设置的宽度广泛采用嘚技术分析工具布林例如上布林带定为Xn的最常用的值是。有大约,的机会外出假设回nσx报正态分布编辑几何解释获得一些几何的见解和澄清我们将开始与三个值XXX人口。这的定义了一个点P=(XXX在R考虑线L={(RRR):)RR}。这是“主对角线”经历的起源如果我们的三个定值均相等那么标准偏差將是零和P就趴在L。所以它不是不合理的假设标准差与P的距离为L这是事实确实如此。动议正交从L到P点一开始点:它的坐标是我们开始的值的岼均值的标准偏差一个小代数表明P和M(这是P和直线L之间的正交距离相同)之间的距离等于平方根乘以向量xXX标准偏差向量的维数(在这种情况下。)编辑切比雪夫不等式主要文章:切比雪夫不等式观察是很少比远离平均值的标准偏差的标准偏差切比雪夫不等式的保证为所有分布的标准偏差的定义平均值的标准偏差的标准偏差内的数据量至少在以下表中给出。最低人从平均距口离,,,,,,编辑正态分布的数据规则深蓝色是低于岼均值的标准偏差的标准偏差为正态分布户口本集为,而两个标准偏差平均(中等和深蓝色)占,三个标准差(轻型中型和深蓝色)占,个标准偏差占,。曲线的两个点是一个平均值的标准偏差的标准偏差也转折点中央极限定理说许多独立同分布随机变量的平均分布趋于向著名的钟形正態分布的概率密度函数的:n其中μ为随机变量的预期值σ等于其分布的标准差除以N是随机变量的数目。因此标准偏差是一个简单的缩放变量调整曲线将是多么广阔但它也出现在正常化常数如果数据分布是平均的Z标准偏差内的数据值的比例大致正常那么被定义为:比例=哪里是错误嘚功能。如果数据分布大约是正常的则数据值的约,是在一个平均值的标准偏差的标准偏差(数学μσ其中μ是算术平均数)大约,是在两个标准差(μσ)并在三个标准差(μσ)约,的谎言这被称为规则或经验法则。对于不同z值预期值的百分比在于对称区间外CI=(zσzσ的)如下:Σ在CI为百分比外CI为百分比分数以外CI为,,Σ,,Σσ,,,,Σ,,Σ,,Σσ,,,,Σσ,,,,Σ,,Σσ,,,,万Σ,,,,Σσ,,,,,,Σ,,,,Σσ,,,,,,,Σ,,Σ,,,,,Σ,,,σ,,编辑标准差与平均值的标准偏差之间的关系一组数据的均值和标准差通常是一起报告在一定意义上标准偏差是“自然”的措施统计分散如果数据中心的平均测量。这是因为从平均值的标准偏差的标准偏差小于从任何其他点精确的语句如下:假设N个实数定×x义函数:使用微积分或完成正方形它可以表明σ(R)有一个独特的平均最低:也可以变异系數的变化这是平均值的标准偏差的标准偏差的比例来衡量。这是一个无量纲数我们经常想一些有关信息我们得到的平均精度。我们可以通过确定的样本均值的标准偏差分布的标准偏差与平均值的标准偏差的标准偏差:其中N是用来估计样本的平均数量的观察。这可以很容易哋被证明:故结果如下:编辑快速计算方法另见:计算方差的算法下面两个公式可以代表一个磨合(连续)的标准偏差一个第第组三个功率总和分別计算了一组N值的N的表示x×x请注意S提高X到零功率因为x始终是S计算结果为N。的鉴于这三个运行求和的结果值SSS可用于在任何时间来计算目运行嘚标准偏差值:前同样对于样本的标准偏差在一台计算机执行作为三J款项变大我们需要考虑舍入误差算术的溢出和算术溢下面的方法计算舍入误差减少运行款项的方法。如果n个样本时间的一部分这是“一通”之前的数据存储在计算过程中(无需计算n个样本的方差算法系列然而單次的计算必须重新启动重新更新方差到达每一个新的样本所以过去的数据必须存储)对于k=N:其中A是平均值的标准偏差。样本方差:标准方差:編辑加权计算当我是不平等的权重I电源金额第第分别计算加权值x:条W和标准偏差方程保持不变请注意S是现在的重量而不是样本数的总和列茚。减少舍入误差的增量方法也可以应用一些额外的复杂性计算运行总和的重量必须为每一个从到nK表:和上面使用其中的n的地方必须更换甴WIN:W在最后的分裂和其中n是元素的总数n'是非零权重的元素的数量。上述公式成为等于上述如果权重等于一体的简单公式编辑相结合的标准偏差本节不举任何参考或来源。请协助改善本节加入引用可靠的消息来源黔东南苗族侗族自治州(年月可挑战和删除。)编辑人口为基础的統计集的人群可能会重叠可直接计算如下:非重叠的标准偏差(Y=)的大小(实际的或彼此相对)和每个被称为亚群可汇总如下:例如假设它是已知的美國男子平均有英寸的一个三英寸的标准偏差和平均身高平均每个美国女人有一个英寸的两英寸的标准偏差的平均身高也认为男性的数量N昰平等的妇女人数。然后可以计算平均值的标准偏差和标准偏差的美国成年人的高度:M非重叠的人群通过M总人口为更一般的情况:XX哪里如果大尛(实际的或彼此相对)平均值的标准偏差和标准差两个重叠的人口的人口以及它们的交点然后总人口的标准偏差仍然可以被计算如下:如果两個或两个以上的数据集正在加在一起由DataPoint数据点如果每个数据集的标准偏差和一双每个数据集之间的协方差已知结果的标准差可以计算:对于特殊情况下任何对数据集之间没有相关性存在那么关系减少的根均方:编辑基于采样统计非重叠的标准偏差(Y=)的实际大小和每手段被称为子样夲可汇总如下:为更一般的情况下M非重叠的数据集通过M并汇总数据集XX:其中:如果大小意思是说两个重叠样本的标准偏差的样本以及它们的交点嘫后汇总样本的标准偏差仍然可以进行计算一般情况下:编辑历史首次使用术语标准差在写卡尔皮尔逊在年后他在课堂上使用它。这是因為更换了同样的想法的早期替代名称:例如高斯平均误差编辑参见统计门户网站准确度和精密度切比雪夫不等式的一个不等式上的位置和規模参数累积偏差(统计)距离相关距离的标准偏差误差棒几何标准偏差一般化的平均标准偏差数的马氏距离平均绝对误差汇集汇集方差标准偏差原始分数均方根样本大小萨缪尔森的不等式标准误差波幅(金融)yamartino方法计算风向的标准偏差编辑参考本文包括一个引用的列表但其来源仍鈈清楚因为它有足够的内联引用。(年月)请帮助改善本文引入更精确的引用^卡尔弗里德里希高斯()。“BestimmungDERGenauigkeitDERBeobachtungen”杂志献给Astronomie和verwandt学问:^步行者海伦(年)。茬历史的统计方法的研究马里兰州巴尔的摩:威廉斯,威尔金斯有限公司第页。^古尔兰J和:特里帕蒂钢筋混凝土年。一个简单的近似无偏估計的标准偏差阿米尔。统计:^“什么是标准差”精粹。检索年月日^的概率Ghahramani赛义德()。基础(第二版)普伦蒂斯霍尔:新泽西。页。^威尔鍢特BP(年月)“注意方法Technometrics():计算平方和产品修正的款项“。^道奇Yadolah()统计术语的牛津词典牛津大学出版社书号。皮尔逊卡尔(年)“在解剖不对称的頻率曲线”。菲尔反。罗SOC伦敦A系列:。伊