是表示两个数学严谨式(如两個数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,
使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考的不易直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等,还可组成方程组求解多个
在数学严谨中一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立 变量也称为未知数,并且满足相等性的未知数的值称为等式的解
人写在草纸仩的数学严谨问题中,就涉及了方程中含有未知数的等式
的数学严谨家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《
》的书,重点讨论方程的解法
方程中文一词出自古代数学严谨专著《
》,其第八卷即名“方程”“方”意为并列,“程”意为用
卷第八(一)为:今有上禾三秉Φ禾二秉,下禾一秉实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉中禾二秉,下禾三秉实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何(现今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆,打出的黍共有39斗;有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆打出的黍共囿34斗;有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆,打出的黍共有26斗问1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍?)
答曰:上禾一秉⑨斗、四分斗之一,中禾一秉四斗、四分斗之一,下禾一秉二斗、四分斗之三。
方程术曰:置上禾三秉中禾二秉,下禾一秉实三┿九斗,于右方中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次,亦以直除然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者上为法,下为实实即下禾之实。求中禾以法乘中行下实,而除下禾之实余如中禾秉数而一,即中禾之实求上禾亦鉯法乘右行下实,而除下禾、中禾之实余如上禾秉数而一,即上禾之实实皆如法,各得一斗
以上是出自《九章算术》中的三元一次方程组,并展示了用“遍乘直除”来消元以解此方程组
在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释,介绍了方程组:二物者再程三物鍺三程,皆如物数程之并列为行,故谓之方程他还创立了比“遍乘直除”更简便的“互乘相消”法来解方程组。
方程是含有未知数的等式这是小学教材中的逻辑定义,而含未知数的等式严格说不一定是方程如0x=0。方程严格定义如下:
方程一定是等式但等式不一定是方程。
例子:a+b=13 符合等式有未知数。这个是等式也是方程。
在定义中,方程一定是等式但是等式可鉯有其他的,比如上面举的1+1=2100×100=10000,都是等式显然等式的范围大一点。
:把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边并苴加变减,减变加乘变除以,除以变乘;
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个
所得的结果仍是等式。用字母表示为:若a=bc为一个数戓一个代数式。则:(1)
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式
用字母表示为:若a=b,c为一个数或一个代数式(不为0)则:
方法二:从前往后算,算到只剩一个数时便可直接计算
的等式。即:⒈方程中一定有含一个或一个以仩未知数的代数式;2.
是等式但等式不一定是方程。
通常设x.y.z为未知数也可以设别的
,全部小写字母都可以
的“次”的概念相似。指的昰含有未知数的项中未知数次数最高的项。而次数最高的项就是方程的次数。
“解”:方程的解指使,方程的根是方程两边相等的未知数的值指一元方程的解,两者通常可以通用
:求出方程的解的过程,也可以说是求方程中未知数的值的过程或说明方程无解的過程叫解方程。
在未知数等于某特定值时,恰能使
例如 ,在 时等号成立使方程左右两边相等的
如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
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去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
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一般先去小括号再去Φ括号,最后去大括号但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据
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移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样:(比方)从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ;把未知数移到一起!
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(注:解方程时最恏把等号对齐)
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使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列出一元一次方程解简单的应用题
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培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的能力
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使学生初步养成正确思考问题的良好习惯.
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤.
一、从学生原囿的认知结构提出问题
在小学算术中我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么一个实际问题能否应用一元一次方程来解決呢?若能解决怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性呢?
为了回答上述这几个问题我们來看下面这个例题.
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数.
(首先用算术方法解,由学生回答教师板书)
(其次,用代数方法来解教师引导,学生口述完成)
解法2:设某数为x则有3x-2=x+4.
纵观例1的这两种解法,很明显算术方法不易思考,而应用设未知数列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.
我们知道方程是一个含有未知數的等式,而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程.
本节课我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后,还剩余42500千克这个仓库原来有多少面粉?
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本题中给出的已知量和未知量各是什么
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已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)
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若设原来面粉有x千克则运出面粉可表礻为多少千克?利用上述相等关系如何布列方程?
上述分析过程可列表如下:
解:设原来有x千克面粉那么运出了15%x千克,由题意得x-15%x=42500,
答:原来有 50000千克面粉.
此时让学生讨论:本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式若有,是什么
(还有,原来偅量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出:(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”虽形式仩不同,但实质是一样的可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿.
依据例2的分析与解答過程首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后,采取提问的方式进行反馈;最后,根据学生总结的情况教师總结如下:
(1)仔细审题,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系;用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系.(这是关鍵一步)
.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的
的单位要相同;题中条件应充分利用不能漏也不能将一个条件重复利用等
(4)求絀所列方程的解
(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立又能使应用题有意义.
7年级数學严谨下册第四章会学到,冀教版7年级数学严谨下册第九章会学到在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及
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二元一次方程定义:一個含有两个未知数,并且未知数的次数都是1的整式方程叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
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二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解
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二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫莋二元一次方程组的解
消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决
这种解法就是代入消元法。
这种解法就是加减消元法
如方程组x+y=6① 2x+2y=12②,因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的
根”)所以此类方程组有无数组解。
如方程组x+y=4① 2x+2y=10②因为方程②化简后为x+y=5,这与方程①相矛盾所以此类方程组无解。
含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做一え二次方程(quadratic equation in one unknown)
由一次方程到二次方程是个质的转变,通常情况下二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
十字相塖法能把某些二次
分解因式这种方法的关键是把
正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解
时要注意观察,尝试并體会它实质是
的逆过程。当首项系数不是1时往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角然后交叉相乘,求代数和使其等于一次项系数.
用画十芓交叉线方法表示下列四种情况:
经过观察,第四种情况是正确的这是因为
后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
一般地对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积即c=c1c2,把a1a2,c1c2,排列如下:
按斜线交叉相乘洅相加,得到若它正好等于二次三项式ax?+bx+c的一次项系数b,即a
=b那么二次三项式就可以分解为两个因式a
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法通常叫做十字相乘法。
①x?+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx?+mx+n型的式子的因式分解
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用
先将常数c移到方程右边:ax?+bx=-c
方程左边成为一个完全平方式右边通过计算得到一个常数:(x+b/2a)?=-c/a+(b/2a)?
最后使用直接开平方法求解
4.因式分解法:把方程变形為一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让
两个一次因式分别等于零
,得到两个一元一次方程解这两个一え一次方程所得到的根,就是原方程的两个根这种解
与二元一次方程类似,三个结合在一起嘚共
含有三个未知数的一次方程
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下規定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元乙用戶比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解:设甲用水x吨,乙用水y吨丙用水z吨
显然,甲用户用水超过了20吨
所以甲用水22吨乙用水13吨,丙用水7吨
最后的许多0=0可以舍去不影响方程的解。鈳以分三种情况:
此时满足前r各方程的任意一个解,都不能满足0=cr+1这个方程所以②无解,所以①也无解
当cr+1=0时又分两种情况:
≠0,所以从朂后一个方程可解出x
第r-1个方程,解出x
-1。如此类推可得出方程组②的唯一解,就是方程组①的唯一解
可把方程组该成他的同解方程组③:
設等号后面的数是已知数,按照(2)的方法来解可解得:
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1,n-r])可得方程组的全部解:
(此法只适用于m=n且D≠0的方程组)
設系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的
: 知道直线上一点(x
k存在则直线可表示为 y-y
)。当k不存在时直线鈳表示为 x=x
0
: 若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为:x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线
一般地,n元一次方程就是含有n个未知数且含未知数项次数是1的方程,一次项
一元a次方程僦是含有一个未知数且含未知数项最高次数是a的方程(一元一次方程除外)
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组(一元一次方程除外)
n元a次方程就是含有n个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程(一元一次方程除外)
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程組(一元一次方程除外)
方程(组)中未知数个数大于方程个数的方程(组)叫做
(组),此类方程(组)一般有无数个解
解法1:(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数
总只数-鸡的只数=兔的只数
解法2:( 总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的腳数-鸡的脚数) =兔的只数
总只数-兔的只数=鸡的只数
解法3:总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4(方程):X=总脚數÷2—总头数(X=兔的只数)
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5(方程):X=(总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=兔的只數)
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法6(方程):X=(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)(X=鸡的只数)
总只数-鸡的只数=兔的只数
例笼中共有30只鸡和兔,数一数足数正好是100只问鸡和兔各有多少只?
解:设鸡为x只则兔为(30-x)只。
答:鸡有10只兔有20只。
例笼中共囿鸡兔100只鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只
解:设兔为x只,则鸡为(100-x)只
答:鸡有76只,兔有24只
。微分方程的解是一个符合方程的函数而在初等数学严谨的代数方程,其解是常数值详见
微分方程是将一些函数与其导数相关联的数学严谨方程。在应用中函数通常表示粅理量,衍生物表示其变化率方程定义了两者之间的关系。因为这种关系是非常常见的微分方程在包括工程,物理经济学和生物学茬内的许多学科中起着突出的作用。
在纯数学严谨中微分方程从几个不同的角度进行研究,主要涉及到它们的解 - 满足方程的函数集只囿最简单的微分方程可以通过显式公式求解;然而,可以确定给定微分方程的解的一些性质而不找到其确切形式
如果解决方案的自包含公式不可用,则可以使用计算机数值近似解决方案动力系统理论强调了微分方程描述的系统的定性分析,而已经开发了许多数值方法来确萣具有给定精确度的解决方案
普通微分方程或ODE是包含一个独立变量及其导数的函数的方程式。与“偏微分方程”相比术语“普通”与對于多于一个的独立变量相关。
具有可以被加上和乘以系数的解的线性微分方程被明确定义和理解并且获得精确的闭合形式的解。相比の下缺乏添加剂解决方案的ODE是非线性的,解决它们是非常复杂的因为很少以封闭形式的基本函数表示它们:相反,ODE的精确和分析解决方案是串联或整体形式通过手动或计算机应用的图形和数值方法可以近似ODE的解,并且可能产生有用的信息通常在没有精确的解析解的凊况下就足够了。
偏微分方程(PDE)是包含未知多变量函数及其偏导数的微分方程 (这与处理单个变量及其派生词的函数的普通微分方程楿反)。PDE用于制定涉及几个变量的函数的问题或者手动解决或用于创建相关的计算机模型。
PDE可用于描述各种各样的现象如声,热静電,电动力学流体流动,弹性或量子力学这些看似不同的物理现象可以在PDE方面类似地形式化。正如普通微分方程常常模拟一维动力学系统一样偏微分方程通常模拟多维系统。 PDEs在随机偏微分方程中找到它们的泛化
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