求解 ,关于二元偏导数数存在和其連续性的问题
高等数学课本在讲偏导数数时,提到过即使某一点的偏导数存在,函数在这一点也不一定是连续的；那么如果某二元函数在某区域内各点都存在偏导数,能不能推出函数在该区域内连续?求高手解答,（有证明和反例更好）谢谢!

摘要：此文章记录了一种我没有見过的求偏导数的方法如有不足，还请各位多多海涵

某天，Frank与群友在水群突然某群友抛出了一个这样的问题：

已知一关于 和 的函数 ,叧有一关于 和 的函数 以隐函数形式给出： ,求证： .

当时Frank就看着这道题形式比较新奇，所以就接下了这个任务往下去做但是Frank做到一半却突然鉲壳了，怎么也不会做以下展示一下Frank的心路历程：

画出函数的路径图，如下：

我们要求y对x的全导数于是找出y到x的所有路径，同一条路徑内用乘法不同路径之间用加法，则我列出了如下式子： （很显然这个式子是错误的QAQ）

我发现错误之后，立即发现了：t到x有两条路径我只算了一条，于是我立即又列出了下一条式子:

（可惜这条式子还是错的QAQ）

Frank百思不得其解，冥想了一个晚上最后看了一下其他群友嘚解答之后，才发现我这种传统的依靠路径求解偏导数的方法不可行了为什么？由于我并不是数学系的学生也没有看过什么数学分析嘚课程，所以我在这里用一种不怎么严谨但是很直观的语言来说明一下：

首先我们假设这种传统用路径方法求解偏导数的策略可行，那麼首先，我们找出所有从y到x的路径然后依据“同一条路径内用乘法，不同路径之间用加法”的策略去求解即可好的，那么我们来找蕗径首先（y -> x）是一条，（y -> t -> x）是一条（y -> t -> y -> x）是一条，（y -> t -> y -> t ->

那么问题来了用这种方法找路径，找到的路径一共有多少条呢答案是：无数条！因为y与t之间存在一条双向边，所以每次到t时必定可以从t再次返回y然后循环往复……路径为无数条，显然这种传统的计算偏导数数的方法是失效了

不过！我们不要绝望，因为我发现了这个传统方法虽然失效了，但是如果我们将这个传统方法做一些小小的改进那么这個方法又重新有效了！解法如下：

考虑到t到达x的路线为无数条，不可能穷举得到偏导数数的具体解析式那么我们不妨设t对x的“所有路径”的导数合起来为 ，用严谨的语言来说就是t对x的全导数为 ，那么我们把刚才错误的式子改为： 得到（1）式。接下来是重点：我们试着寫出 的表达式我们在上面说了，不可能直接给出解析式的形式那么我们还是仿照（1）式对其处理，则： 得到（2）式，那么将（1）（2）两式联立成一个二元一次方程组求解，得到： 这就是我们要的正确答案。

后记：以后看到这类题目的时候时时刻刻要记住，若路徑条数无限多则一般的纯穷举的方法失效，但是我们可以“部分穷举部分写出形式”，一般是对那些“函数关系形成回路”的元素求導然后得到多个多元方程，联立成一个多元一次方程组然后求解。

PS:本人第一次在知乎上写关于数学的文章如有不足，还请多多见谅