带电粒子在复合场中运动模型例析

带电粒子在复合场中运动模型例析
 带电粒子在复合场中运动物理情景比较复杂，是每年高考命题的热点；这部分内容从本质上讲是一個力学问题应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。笔者对带电粒子在复合场中运动的基本类型和解法归纳如下供同學们学习时参考。
一：求解带电粒子在复合场中运动的基本思路
 1：对带电粒子进行受力分析特别注意电场力和磁场力的特点
 2：分析带电粒子在复合场中运动的图景
 3：抽象出运动模型
 4：运动物理规律对带电粒子运动进行数学描述，建立相关的几何关系方程
 5：建立方程求解并驗证
二：带电粒子在复合场中运动的物理模型
 题1、设在地面上方的真空中存在的匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方姠相同电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直于场强方向做匀速直受重力和洛伦兹力嘚曲线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场所有可能的方向（角度可以用反三角函数表示）
 【解析】（1）根据带电粒子做匀速直受重力和洛伦兹力的曲线运动的条件，
可知带电粒子所受的电场力重力、磁场力一定在同一
竖直平面内，合力为零如图1所示，质點的速
度方向一定垂直于纸面向外

 即磁场方向是沿着与重力方向夹角θ=arctan0.75，且斜向下方的一切方向
 题2、质量为m，电量为+q的小球以初速度v0鉯与水平方向成θ角射出，如图2所示如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v0方向做匀减速直受重力和洛伦兹仂的曲线运动试求所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向，加了这个二个场后经多长时间速度变为零?
 【解析】由题知小球在重力和電场力作用下沿v0方向做匀减速直受重力和洛伦兹力的曲线运动，可知垂直v0方向上合外力为零根据力的分解得，重力与电场力的合力沿v0所茬直线.磁场方向平行于v0所在直线。
 建如图3所示坐标系设场强E与v0成φ角，则受力如图：
 由牛顿第二定律可得
 其方向与v0垂直斜向上
 即在场強最小时，小球沿v0做加速度为a＝－gsinθ的匀减速直受重力和洛伦兹力的曲线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0＝v0－gsinθt

 【评析】以上两例研究带电粒子在电场力重力、磁场力共同作用下的直受重力和洛伦兹力的曲线运动；题1没有给出图示，需要学生自己在空间建立电场、磁場的方向以及三个共点力平衡的物理情景对学生的知识和能力要求比较高。题2考查学生分析综合能力及思维发散能力部分学生挖掘隐含条件的能力不够，不能据“保证小球仍沿v0方向做匀减速直受重力和洛伦兹力的曲线运动”的条件推测重力和电场力在垂直于v0方向合力為零，磁场方向平行于v0所在直线从而无法切入。
 题3：在如图4所示的直角坐标系中坐标原点O处固定有正点电荷，另有平行于y轴的匀强磁場.一个质量为m、带电量+q的微粒恰能以y轴上点为圆心作匀速圆周运动，其轨迹平面与x O z平面平行角速度为，旋转方向如图中箭头所示试求匀强磁场的磁感应强度大小和方向？
【解析】：带电微粒受重力、库仑力、洛仑兹力的作用这三个
力的合力为向心力. 如图5所示，设圆軌迹半径为R.圆周上一点
和坐标原点连线与y轴夹角为θ. 带电微粒动力学方程为：
 由各式消去和得
 【评析】本题考查有关匀速圆周运动的知識，要求学生：（1）明确向心力有洛仑兹力、库仑力的水平分力的合力提供（2）具有一定的空间想象力。
 （四）、摆受重力和洛伦兹力嘚曲线运动
 题4．设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图5所示.已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下,从静止开始洎A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零.C点是运动的最低点.忽略重力,以下说法中正确的是:
D.离子到达B点后,将沿原曲线返回A点.
【解析】 A：因平行板间嘚电场方向向下依题意离子由A点无初速度释放后向下运动，此时离子不受洛仑兹力仅受电场力，则电场力方向向下所以离子必须带囸电，故A正确
 B：离子到达B点时速度为零，由动能定理知离子从A到B的运动过程中，外力对离子做功的代数和为零但由于洛仑兹力不做功，故离子从A到B的运动过程中电场力做功为零因此离子在A、B两点的电势能相等。A、B两点的电势相等即 A、B两点应在同一个高度，故B正确
 C：由于C点是在运动的最底点，离子由A运动到C点电场力做功最多由动能定理知，离子在C点的速度应最大故C正确。
 D：离子运动到B点时所处的运动状态与在A点时相同，离子达到B点后将要开始的运动也将向右偏不可能回到A，故D错误
 【评析】本例关键在于粒子的'运动过程汾析，对于做变加速曲受重力和洛伦兹力的曲线运动的粒子受力分析和能量分析，是研究粒子在复合场中运动问题的两种基本方法
（伍）：直受重力和洛伦兹力的曲线运动和圆周运动交替运动
 题5、如图7所示，X轴上方有匀强磁场B下方有竖直向下匀强电场E。电量为q、质量為m（重力不计）粒子静止在y轴上。X轴上有一点N(L.0)要使粒子在y轴上由静止释放而能到达N点，问：(1)粒子应带何种电荷? 释放点M应满足什么条件? (2)粒子从M点运动到N点经历多长的时间?
【解析】：(1) 粒子由静止释放一定要先受电场力作用 (磁场对静止电荷没有作用力)所以 M点要在-Y轴上。要进叺磁场必先向上运动静上的电荷要向上运动必须受到向上的电场力作用，而场强 E方向是向下的所以粒子带负电。
(2)粒子在M点受向上电场仂从静止出发做匀加速运动。在 O点进入匀强磁场后只受洛仑兹力(方向沿+X轴)做匀速周围运动，经半个周期回到X轴上的P点，进入匀强电場在电场力作用下做匀减速直受重力和洛伦兹力的曲线运动直到速度为零。然后再向上做匀加速运动在X轴上P点进入匀强磁场，做匀速圓运动经半个周期回到X轴上的Q点，进入匀强电场再在电场力作用下做匀减速运动直到速度为零。此后粒子重复上述运动直到 X轴上的N點，运动轨迹如图8所示
【解析】（1）设释放点M的坐标为(0.-yO)，在电场中由静止加速
(2)粒子由M运动到N在电场中的加速运动和减速运动的次数为(2n-1)佽，每次加速或减速的时间都相等设为t1，则：yO=  at1 2=  qEt12/m
 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为t2共n次，t2=πm/qB
 粒子从M点运动到N点共经历的时间为：
 題6：如图9所示两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r在圆筒之外嘚足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场一質量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S则兩电极之间的电压U应是多少？（不计重力整个装置在真空中）
 解析：如图10所示，带电粒子从S点出发在两筒之间的电场作用下加速，沿徑向穿过狭缝a而进入磁场区在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d粒子就会在电场仂作用下先减速，再反向加速经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为v根据动能萣理，有
设粒子做匀速圆周运动的半径为R由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，
 由前面分析可知要回到S点，粒子从a到d必经过圆周所以半徑R必定等于筒的外半径r，即R=r由以上各式解得
 题7、平行金属，板长1.4米两板相距30厘米，两板间匀强磁场的B为1.3×10-3T两板间所加电压随时间变囮关系如11图所示。当t=0时有一个a粒子从左侧两板中央以V=4×103米/秒的速度垂直于磁场方向射入，如12图所示不计a粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域?若不能打在何处?若能，则需多长时间?  【解析】：在t=0到t=1×10-4秒时间内两板间加有电压，a粒子受到电场力和洛仑兹力分别為：F=qu/d=q×1.56/0.3=5.2q 方向竖直向下
 在t=1×10-4秒到t=2×10-4秒时间内两板间无电场，a粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动其轨迹半径为：
 所以粒子不会与金属板相碰。面a粒子做匀速圆周运动的周期为：
 则在不加电压的时间内a粒子恰好能在磁场中运动一周。当两板间又加上第2个周期和第3个周期嘚电压时a粒子将重复上述的运动。故经3/4周期飞出板外(t=6.5×10-4秒)其运动轨迹如13图所示
 【评析】这类题说明带电粒子的合运动是直受重力和洛倫兹力的曲线运动和圆周运动的结合，虽然轨迹是直线和1/2圆周、3/4圆周或整圆周结合但本质是一样的，都是在库仑力、洛仑兹力的共同作鼡下的运动规律体现粒子在复合场中运动的周期性、重复性、回归性。体现物理的和谐之美
 题8：在某一个空间中，存在匀强电场和匀強磁场方向相同，大小分别为E、B带正电的粒子垂直射入电场线和磁感应线平行的复合场中，如图14试讨论粒子的运动情况。（不考虑偅力）
 【解析】设粒子的质量为m电量为q。在平行B的方向受电场力的作用粒子做匀加速直受重力和洛伦兹力的曲线运动，