今天我开始细致地研读苏联合各个数学院士的力量写成的科普著作《数学：它的内容、方法与意义》，主要目的呢也是为了对数学的各个分支有一个宏观的认识。过去的一段时间里我粗略地阅读了部分内容，看了第一章（数学概观）第五章（常微分方程）第六章（偏微分方程）第八章（变分法）第十五章（实变函数论）第十六章（线性代数）第十八章（拓扑学）第十九章（泛函分析），也没有很细致的看，都是因为比较感兴趣才读了这些内容。也由于自己囫囵吞枣，只是图新鲜，少了沉淀的东西，让自己吃了不少苦头。按照一位高人的指点，对于数学的学习，一是要清楚什么是数学，二是清楚数学的核心思想是什么，三是要对数学有一个宏观的认识。鉴于此，我开始详细地精读这部苏联数学的集大成科普著作，并写下自己的读书笔记与个人思考。一是便于自己思考与输出，二是便于读者一起阅读与思考。接下来我们开始吧!第一章：数学概观1数学的特点抽象性：A保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；B抽象是经过一系列阶段产生的【数与形为例】；C数学完全周旋于抽象概念和相互关系之中。发现定理与方法常常借助于模型，物理的类比。什么叫证明了一个定理？从这个定理中引用的那些概念固有的原始性质出发，用推理的方法导出一个定理。数学虽然抽象，但是，他们是从现实中来的。（数学是数学家肆意创造的？还是要来源于现实？是为了搞科研而搞科研，为了发paper而paper，还是为了什么，值得思索！）精确性（逻辑的严格性与结论的正确性）这里书上没有明确说明，数学为什么会如此精确？我猜测，这个和形式逻辑的规律有联系：排中律：A要么是B，要么不是B矛盾律：A不能既是B，又不是B同一律：A→A（注：不能偷换概念，混淆概念，或是转移论题或是偷换论题）时空限制律：不能用过去的论证否定当前的论证理由充足律：理由充足之后才可以往下进行论证，否则是不可以的应用广泛A看似最普通的数学概念和结论，都曾经是当时正在萌芽之中的数学的一些很高的成就！B没有数学，现代技术是不可能的C所有科学部门都或多或少的利用着数学。如天文学，物理学，力学。但是在社会学、生物现象那样复杂的现象中，数学不可以像在物理那样揭示诸多规律，是不是因为：社会学领域，不好凝练出模型，或是不能凝练出代表性与简单性都过得去的模型？更为核心的问题2算术数的概念的形成A有些民族甚至还没有大于二或三的数的名称，有些民族虽然可以往下面多数几个数，不过很快就完结了，只不过是“许多”“无数地”B用自己的方式判断出这一个物体集合或是那一个物体集合的大小C数被指明为物体集合的性质，但是还没有当做一个“抽象的数”，如把“手”当做“5”，“整个人”当做“20”.5是什么？“像手上的指头那样多的东西”虽然没有数字“5”，但是能够描述“五个人”“五个地方”。D抽象的数，是一种脱离了具体物体集合的象“黑”“坚硬”等那样本身可以设想的性质。比较各个物体集合，等数性就慢慢地建立起来了于是慢慢地，变成了：数的定义运算呢？通过实践，不断地对物体集合这种等数性的比较，世世代代地进行计算，人们发现了数与数之间的关系例如：印第安人把数字“二十六”说成“我们两个十上面加上六”数的加法：两个或是多个物体集合堆放在一起成为一个总和数的乘法：把两个或三个或更多的相同的集合加起来慢慢地建立起一般规律和数的系统加法交换律：和数与几个被加数的顺序无关数的系统：法文，罗马数字系统算术从实际中来，而不是从纯粹思维中来但是，数并不是天生地就长在坐标轴上的，其像任何抽象的概念一样，没有直接的模型，不能把它表示出来，只能加以思索。（我们只是借助了坐标轴这一个模型，利用可公度线段刻画有理数，然后是默认不可公度线段也位于坐标轴上，用逻辑非的形式来完成这一个操作！）-----------------------------------------2022.11.16--------------------------------------------------------------第三章 解析几何1，绪论在十七世纪前半叶，产生了数学的全新的一支，叫做解析几何，它使平面上的曲线与有两个未知数的代数方程建立了联系。在数学中发生了极为稀有的情景：在一二十年内出现了巨大的、全新的数学分支，并且这数学分支还是以非常简单的、但是一直未受到应有注意的观念为基础的。解析几何在17世纪前半叶出现，决不是偶然的。当欧洲过渡到新的资本主义的生产方式时，有一系列的科学部门需要整个地加以改进。正当伽利略的学说和其他的一些学说开始奠定现代的力学时，在自然科学的所有领域都积累了实验的数据，改善了观察方法，创立了新的理论来代替古老的玄学式的理论。在天文学方面，在先进的学说中间最后得胜的是哥白尼的学说。远洋航行的急骤发展急切地要求着天文学的知识和力学的原理。力学在军事行动中也是必要的。作为圆锥曲线的椭圆和抛物线，它的几何性质早在离开当时将近2000年前的古希腊时代就很详细了；然而它们一直还像在希腊时代那样，只被当作几何学的对象。一到开普勒发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，伽利略发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去了，就必须要来计算这些椭圆，要来求出炮弹飞驰时所画出的抛物线了；就必须要来发掘由巴斯卡发现的大气压力随高度而递减的法则了；就必须要来实地算出各种不同物体的体积了，诸如此类不胜枚举。所有这些问题在人类生活中几乎同时地引起了三门全新的数学科学的发展，它们就是：解析几何、微分法和积分法（包括解简单的微分方程）。这三门新的学科从本质上改变了整个数学的面貌。它们的运用使得直到那时还无法解决的问题变得容易解决了。在十七世纪的前半叶，一系列最优秀的数学家已经接近了解析几何的观念，但是只有两位数学家才特别清楚地认识到创立新的数学部门的可能性。其中一位是比埃尔·费尔马，他是法国土鲁兹城的市议会的顾问，世界上最卓越的数学家之一，另外一位是法国著名的哲学家笛卡尔。解析几何的主要创立者无论如何总该推笛卡尔。唯有作为哲学家的笛卡尔，才提出了它的全面推广的问题。笛卡尔发表了长篇的哲学论著“关于下列方法的讨论：为了很好地在科学中指出其精神和发掘真理，并应用于折射光学、气象学和几何学”。这著作的后一部分，以“几何学”命名，发表在1637年，包含着我们现在叫做解析几何的那门数学理论的十分完全的（虽然有些杂乱的）叙述。2，笛卡尔的两个基本的观念笛卡尔想要创造一种办法，以便用来解决所有的几何问题，给出这些问题的所谓一般的解法。笛卡尔的理论以下面两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的观念。坐标观念所谓平面上的点的坐标，笛卡尔是指这个点的横坐标和纵坐标，即这点到这平面上两条取定的互相垂直的直线（坐标轴）的距离（具有对应符号）的数值x和y（参看第二章）。坐标轴的交点，即有坐标（0，0）的点，叫做坐标原点。笛卡尔坐标的引入促成了平面的所谓“算术化”。只要给定一对数x,y就等于在几何上指出一个点，而且反过来也对。把带有两个未知数的任意代数方程与平面上的一条曲线相对比的观念笛卡尔的第二个观念如下。在笛卡尔之前，每当遇到带有两个未知数的代数方程F（x,y）=0时，大家都说问题是不定的，从这个方程无法决定这两个未知数。这是因为其中的一个，例如x可以取任意的数，用这个数代替x，就得到带一个未知数y的方程，一般说来从这个方程可以解出y。然后这个任意取的x连同这样得到的y就满足给定的方程。所以对这种“不定的”方程，人们并不认为是值得关心的。笛卡尔察觉到另一种情况，他设想带两个未知数的方程中的x是点的横坐标，与x对应的y是点的纵坐标。于是，如果让x连续地改变，则对于每个x都可以从方程算出完全确定的y，因此一般地说也就得到了组成一条曲线的点集合。这样一来，对于带有两个变数的每一个代数方程F（x,y）=0，与它对应的是平面上的一条完全确定的曲线，那就是代表了平面上所有那些其坐标满足方程F（x,y）=0的点的集合的曲线。笛卡尔的这种解释开创了整整一门新的科学。解析几何所能解决的主要问题和解析几何的定义解析几何造成了以下种种可能：1，通过计算来解决作图问题2，求由某种几何性质给定的曲线的方程（例如从到两个定点的距离之和是常数这个条件得到椭圆的方程）3，用代数方法证明新的几何定理（例如推导牛顿的直径理论）4，相反地，从几何方面来看代数方程，说明它的代数性质（例如，利用抛物线与圆的交点来解三次、四次方程）因此，解析几何是这样一个数学部门，它在采用了坐标方法的同时，运用代数方法来研究几何对象。3，一些最简单的问题分线段成已知比值的点的坐标 所有的解都直接以现成的数的形状而得到，这样的几何学，这样的科学，怎么能够不恰恰合于那个时代呢？4，由一次和二次方程所表示的曲线的研究一次方程通过一个或是两个已知点的直线的方程笛卡尔关于二次方程的结果【由此可以看到，笛卡尔用了全新的坐标观念，把几何与代数连接起来，迸发出无与伦比的科学威力！】5，解三次和四次代数方程的笛卡尔方法把三次和四次方程变换成没有 x^3 项的四次方程 我们来证明，解三次和四次的任意方程可以化成解下列形状的方程： x^{4}+px^{2}+qx+r=0. 用圆与抛物线 y=x^2 的交点来解三次与四次方程从笛卡尔的时代到今天，解析几何经历了有助于数学各部门的漫长的发展道路。我们在本章以后各节里将要试着追寻这路程上最重要的各个阶段。首先应该指出，无穷小分析的发明者就已运用了笛卡尔的方法。不管是关于曲线的切线或法线（切线在切点处的垂直线）的问题，还是关于函数的极大或极小的问题，假如几何地来讨论它的话，或是关于曲线在其一点处的曲率半径的问题等等，首先都要用笛卡尔的方法来讨论这曲线的方程，然后还得求出切线的方程，法线的方程，等等。所以无穷小分析、微分法和积分法没有解析几何的预先发展是难以想象的。6，牛顿关于直径的普遍理论第一个把解析几何向前推进了一步的是牛顿。在1704年，他讨论了三次曲线（即由带两个未知数的三次代数方程表示的曲线）的理论，在这个工作中，牛顿顺便得出优美的关于“直径”（对应于已知方向的割线）的普遍理论。下面就要来说明它。n次曲线的直径证明过程7，椭圆、双曲线和抛物线在这一节和下一节我们要来讨论二次曲线。首先研究一般的二次方程，然后讨论它的一些最简单的特例。以坐标原点为中心的圆的方程椭圆的方程和椭圆的焦点性质行星的运动规律【牛顿是如何从惯性定律、加速度与作用力成正比的定律和万有引力定律推得行星的运动情况？】惯性椭圆惯性椭圆的应用双曲线和它的焦点性质抛物线和它的准线抛物线的切线性质椭圆和双曲线的准线圆锥截线抛物线作为与平方成正比的图像和双曲线作为反比的图像8，把一般的二次方程化成标准形状欧拉所作的解析几何的第一个系统的叙述1748年在欧拉的《分析引论》里出现了解析几何发展中的重要一步，在该书的第二卷里，在其他事物之间，先给出的是归于函数论和分析其他部分的东西，但是也叙述了平面上的解析几何，附有二次曲线的详细的研究，非常接近于今天解析几何教科书中的叙述，而且还研究了高阶曲线。这是现代字义下的第一本解析几何教程。把方程化成标准形状的观念坐标变换的公式把任意的二次方程转化成9种标准形状中的一种9，用三个数规定力、速度和加速度.向量理论紧接着欧拉以后，拉格朗日做出了重要的一步。1788年拉格朗日在他著的《解析力学》里把力、速度和加速度算术化了，完全像笛卡尔把点算术化一样。拉格朗日引入他的书中的这个观念，后来以所谓向量理论的形式出现，是在物理、力学和技术中的极重要的助手。空间中的直角坐标 拉格朗日引入的力、速度和加速度的算术化向量代数数量乘积和它的性质两个方向之间的角10，空间解析几何平面的方程和直线的方程带三个变数的一般的二次方程和它的十七个标准形状椭圆面双曲面和二次锥面抛物面单叶双曲面的直母线二次方程研究的总结11，仿射变换和正交变换解析几何下一步重要的发展是在其中（而且一般地在几何学中）引入变换理论。这需要详细说明一下为什么。平面向着直线的压缩椭圆是圆经过压缩的结果解更加复杂问题的例子一般的仿射变换仿射变换的最重要的应用仿射变换的公式正交变换12，不变量理论不变量观念.带两个变数的二次方程的不变量.【在这里我注意到，这三个基本的不变量，第一个是“迹”，第二个是二维“行列式”，第三个是三维“行列式”；前两个都好理解，问题是第三个，第三个仿佛是把数域单独作为一项也拿出来讨论了！】13，射影几何14，洛伦兹变换结束语各种坐标张朝阳：利用极坐标从守恒定律推导出行星运动方程多维解析几何和无穷维解析几何.代数几何}