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毕业论文（设计）-数学归纳法在中学数学证明中的应用
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高中数学教学论文 数学归纳法浅谈 新人教版
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　　　　数学归纳法浅谈　　数学归纳法是一种重要的数学思想方法，利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。同时，归纳法在数学研究中发挥了重要的作用，它是有着丰富内涵的思想工具，有着其他方法所不能替代的作用。华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出：“数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。”人类为了把握无限到有限的飞跃，离不开数学归纳法。本文从数学归纳法的理论基础着手，阐述了归纳法的原理及其表现形式，继而分析了归纳步骤的证明思路，提出一些粗略的认识，供大家研究探讨。 　　一、数学归纳法的理论基础 　　数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（f?maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家r.帕斯卡（pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家a德?摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。 　　虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889年意大利数学家皮亚诺（gyeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了浙江外国语学院本科毕业设计（论文）( 2011 届 )题 学 专目： 院： 业：浅谈数学归纳法在数学中的应用 理工学院 数学与应用数学 林顺风 王健 学号：
职称： 职称： 20 11 年 5 月 30 日 讲师学生姓名： 指导教师： 合作导师： 完
成时间： 成 绩：浙江外国语学院本科毕业设计(论文)正文目录摘要 ............................................................................................................................... 1 英文摘要 ....................................................................................................................... 1 1 引言 .................................................................................................................... 2 2 预备知识 ............................................................................................................ 2 2.1 数学猜想、归纳、类比的定义 .............................................................. 2 2.2 数学归纳法的概述 ................................................................................ 3 2.3 数学归纳思想与数学归纳法 .................................................................. 3 3 主要内容 ............................................................................................................ 5 3.1 猜想论证法 .............................................................................................. 5 3.2 类比法的应用 .......................................................................................... 9 3.3 数学归纳思想的应用 ............................................................................ 13 4 总结 .................................................................................................................. 16 参考文献 .............................................................................................................. 17浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用浅谈数学归纳法在数学中的应用理工学院数学与应用数学 林顺风() 指导老师:王健(讲师)摘要:基于近年来在高考中数列比重（约为 13%）出现的阶段性，而数学归纳法作为解决恒 等式、不等式、数的整除性、几何中的计算问题、数列的通项与和等问题的重要手段，其地位 已经不言而喻了.本文着重从猜想、归纳、类比的定义出发来了解数学归纳法过程和思想，从而 将数学归纳法灵活应用于诸多不连续问题和定理的推广等等.同时，对数学猜想的五种常见推导 方法进行了归纳与总结，然后通过先猜想后用数学归纳法证明的方法解决了一些常见问题和高 考中数列与函数结合的难题.关键词:数列,数学归纳法,猜想,归纳.The application of mathematical induction in mathematicsLin Shunfeng Director: Wang Jian（Dept.of Mathematics, Zhe jiang International Studies University, 07 . No.31） Abstract: Since the high occurrence frequencys of number sequence problem in College entrance examination (about 13%), mathematical induction, a important way to solve the problems of identity、 inequality、divisibility、geometric calculation 、sequences general term, has gradually played an important role. In this article, we try to know more abut the idea of mathematical induction by studying its guess, induction and analogy, in order to make the mathematical induction applied widely in discrete problems. Also, we show five usual ways for mathematics conjecture , solve some common questions and some difficulties involving both sequence and fuction.Keywords: sequence, mathematical induction, guess, induce.1浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用1 引言在数学发展过程中,曾经出现了许多形形色色的数学猜想,如:“哥德巴赫猜 想”、“费尔马猜想”、“四色猜想”等等.在猜想和解题的过程中会运用到许多重 要的数学思想方法.尤其是在解决有关数列与函数相结合的问题上,先猜想再用数学 归纳法证明起着尤为重要的作用,是研究、 探讨这类问题的重要桥梁.近年来,许多的 数学爱好者对猜想、 归纳、 类比 ?1 ? 作了大量的努力与研究,并取得了许多重要的成果. 比如陈辉,叶力军学者在类比和归纳――数学发现的重要方法方面；张惠良学者等在 猜想与数学归纳法的应用方面作了很多研究.同时瞿冬鸿学者， 谭佩贞,黄素玲学者等 也在浅谈类比法猜想数学命题方面也作了大量的研究 ? 2 ? . 数学归纳法作为高考考查的重点内容. 在高考中,灵活运用各种数学思想方法, 以“观察---归纳---猜想---证明（数学归纳法） ”为思维模式的问题及解决数列与 函数相结合的实际问题是近年来高考的常用模式.因此， 如何猜想和运用数学归纳法 证明是中学数学教学的一个重点.掌握了猜想的方法就如同掌握启开数学知识大门 的钥匙.2 预备知识2.1 数学猜想、归纳、类比的定义 ?3 ? 定义 1 数学猜想， 是根据一些已知事实和数学知识， 对未知的对象及其关系做出的一种似真的推断.它具有一定的科学性的同时，也具有某种假定性（当然，这样 的假定性命题正确与否，还需通过论证）. 定义 2 归纳作为一种数学思想方法是指通过对特例的分析去引出一般性的推论；主要是通过实验、观察和分析,从而归纳出结论. 定义 3 类比是指分析已知两类事物之间所具有的某些共同特点， 从而推测它们在其他的性质上也可能相同的一种推理方式.2浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用2.2数学归纳法的概述2.2.1常 用 数 学 证 明 方 法 ?4 ?数学是一门非常重视思想方法的学科,常用的数学方法大致有以下几种： 演绎推理――从一般到特殊的推理方法叫做演绎推理，它又称演绎法. 归纳推理――由特殊到一般的推理方法叫做归纳推理， 它又称归纳法.归纳推理通常 分为完全归纳法和不完全归纳法两种. 不完全归纳法――根据某类事物中个别事物具有某种属性， 推出该类事物全体都 具有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法. 完全归纳法――是指通过研究了事物的所有（有限）特殊情况从而得出一般结 论的推理方法，又叫枚举法. 数学归纳法――数学归纳法是证明与自然数 n 相关的命题的一种方法.2.2.2 数 学 归 纳 法 的 定 义 ?5 ? 数学归纳法: 数学归纳法是一种先通过证明首个例子的正确性,然后再用递推 的方式证明命题正确性的一种方法.常用来证明与自然数 n 有关的命题. 2.3 数学归纳思想与数学归纳法 先从少数的事例中摸索出规律,再通过已有的理论论证这一规律的正确性 ,这 是人们的研究客观法则的常用方法.人们认识客观事物,通常都是由简到繁,由有限 到无限,此过程有质的飞跃,解释这个飞跃现象的原理,就是数学归纳法.随着科技的 进步,计算机技术的日新月异,离散数学在计算机的研究中的地位越来越高.而离散 数学中很多命题的论证,都离不开数学归纳法. 观察下列数字11 ,31 , 41 , 61 , 71 ,101 ,? ? ? ? ? ? .你能找出它们之间的规律吗？通过观察我们发现， 这一列数是从小到大逐一排列的,并且每个数的个位都是 1， 同时每个数都是素数.这就是六个数的共性和规律，由此我们可以看出这是一列“所 有末位数为 1 的从小到大的素数”的数列.因此下一个数是 131，再下一个是 151. 这就是一个数学归纳过程，从一些特殊事例中发现一般规律. 数学归纳法是专门证明与自然数 n 有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳3浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用法，它的证明可分两步，第一步是命题成立的基础(即 n 解决的是延续性问题.在第二步的证明中， “假设 n 起着已知的作用； “当 n? k? k 0 时,结论正确)，第二步时,结论正确”这一归纳假设? k ? 1 时,结论正确”则是求证的目标.在这一步中一般首先 ? k ?1时要通过一定的方法凑出归纳假设里给出的形式，再利用归纳假设，验证当 n 的结论. 下面,给出数学归纳法的基本形式 数学归纳法的基本形式 ?6 ?P ( n ) 是与自然数 n有关的命题，如果1° P ? k 0 ? 成立； 2°假设 P ? k ? 成立 ? k? k 0 ? ，如果也可以推出 P ? k ? 1 ? 成立(归纳)，那么 P ( n ) 对所有大于等于 k 0 的自然数 n 都成立. 实际上，数学归纳法也可以有不少的变通，如 ?7 ? ： （1）不一定要从 n? 1 开始，也就是说数学归纳法的描述还可以改成： n ? k 0的时候，这个命题是正确的，再假设 n 推出 n时，这个命题是正确的，只要能够 ? k （ k ? k 0）? k ? 1 时，这个命题也正确，那么这个命题当 n ? k 0 时都正确.（2）也可以改成“如果当 1 ?n ? k时，命题正确，同时能够推出当 n? k ? 1 时，命题也正确”.同样可以证明对于所有自然数 n 命题都正确. （3）另外，还可以做以下的改变： 当n? 1， ? ? ? ? ? ?， L 时，这个命题都是正确的，并且证明了“假设当 n ? k 2 ? k ?L时，这个命题正确时，当 n 个命题都是正确的.时，这个命题也正确”，那么对于任意的自然数 n ，这具体常用数学归纳法证明的问题：不等式，恒等式，几何中计算问题，数的整 除性，数列的通项与和等.4浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用3 主要内容3.1 猜想论证法 ?8 ? 3.1.1 极限猜想 某些定值问题和最值问题我们可以采用极限猜想法，即把观察对象推向某个极 端，然后求其在这个极端情况下的取值，常有立竿见影的效果. 例 1 六边形 ABCDEF 的六个内角满足 A? B ?C ? D ? E ? F,且 A , B , C , D , E , F成等差数列，求公差 d 的范围. 解：采用极限猜想法，假设 A 即A? 若A? 0 ,则 B ? d，C? 2d,D? 3d,E4 15? 4d , F ? 5dB ? C ? D ? E ? F ? 4 ? , d ? 2 d ? 3 d ? 4 d ? 5 d ? 4?则d??.? B ?C ? D ? E ? F0 ? d ? 4 15则d? 0，由此猜想 验证： B?. ,D? A ? 3d? A?d,C? A ? 2d,E?? A ? 4d4 15,F? A ? 5d,A? 0.所以 6 A ? 15 d? 4?则6A? 4? ? 15 d，即 d?. （1）2 3A ? F ? 5d , B ? F ? 4 d , C ? F ? 3d , D ? F ? 2 d , E ? F ? d , F ??.所以6 F ? 15 d ? 4 ? , 则 6 F ? 4 ? ? 15 d0 ? d ? 4 15即d? 0.（ 2）（1 （ 知： 由 ）， 2）?.3.1.2 图像直观猜想 某些特殊的方程、不等式、复数等问题我们通常可以借助图像直观猜想，由此 可以迅速得出结论. 例 2 方程 b x ? 3? 2x ? 1仅有负根，求 b 的取值范围，并给出解题过程.5浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用yox图 3.1 解：如图 3.1，在同一直角坐标系中分别作出y ? bx ? 3y ? bx ? 3中当 b? 2和b? 6时所对应的两条直线和y ? 2x ? 1的图像，观察图像可知，当直线通过? 2两直线仅在 y ? 2 x ? 3 ? 0 的区域时， 方程仅有负根. 验证：(1)当 x 所以 x? ? 4 b ? 2 1 2 ? ? ? ? 1 2 1 2y 轴的左侧才有交点， 由此可以猜想， b 当时，时,则 bx ,故 ? 2 ?? 3 ? ?2 x ? 1 .b ? 6.? 2 b ? 2(2)当 ? 则?1 2 ?? x ? 0 ? 2 ? 0时, 则 bx ,故 b? 6.? 3 ? 2 x ? 1 ,所以 x ?.b ? 2所以 当 b (3)当 x? ?2时，方程有负根，还应排除方程有正根时的取值范围.? 2 b ? 2 ? 0? 0 时,由 bx ? 3 ? 2 x ? 1 ，则 x ? ? 2 时，方程仅有负根.,故 b? 2.综上所述，当 b3.1.3 归纳性猜想 归纳性猜想是指通过对部分特定对象的研究， 从而归纳整理出对象的共同特征， 最后提出猜想的一种方法.此法在解题中运用地非常广泛， 尤其是在解决与数列相关6浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用的问题. 例 3 已知 x ? 解：分别对 x 当x 当x 当x 当xN, 2位于x ? 5 2x和x ? 6（ x ? 1） 2 x ? 6 7 4 ? 4 3 9 8 ; ;之间，求 x 的所有可能值. 的值：? 1, 2 , 3 , 4x ? 5 2x x ?5 2x x ? 5 2x计算? 3, ? ? 7 4x ? 5 2x x ? 6和?（ x ? 1） 2 ;? 1 时，（ x ? 1） 2 , x ? 6 x ? 6? 2时，4 （ x ? 1） 2 3 （ x ? 1） 2 ,? 3 时，?? 4时，x ?5 2x?98 2 ( x ? 1),x ? 6? 1.观察上式，我们作归纳猜想： (1) 函数f (x) ? x ? 5 2x在x?0时单调递减；? 2(2) 本题有且仅有一解，即 x.验证：只须验证猜想(1)正确即可. 证明: 在定义域（ xf ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?? 0 ）内任取 x 1 ， x 2 ，设 x 1 ? x 2 ? 0x1 ? 5 2 x1 x2 ? 5 2x2 5 ( x 2 ? x1 ) 2 x1 ? x 2，则??? 0,所以 f ? x ? 在 x? 0 时单调递减.x ? 5 2x3? 5 6 ?由于 f ? x ? 单调递减, 所以f (2) ? 2? 5 4 ? 1 .7 5 ， f ( 3 ) ??x ? 6 2 ( x ? 1)4 3；.由于 f ? x ? 单调递减,所以在 x 故本题仅有一解,即 x? 2? 2 ?x ? N? 时,f (x) ?2..3.1.4 类比性猜想 ?9 ? 类比性猜想是指依据已知的两个（或两类）对象在某方面的相似或相同的特点，7浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用从而猜测它们其它方面也具有相似或相同的特点的一种猜想方法.例如立体几何中 某些问题不过是平面几何问题的延伸，我们可以根据一些平面几何知识，猜想立体 几何中可能存在的类似结果. 例 4 在 球 面 上 有 四 个 点 ：SA ? b , SB ? 2 b , SC ? 3 bS , A, B , C且SA , SB , SC两 两 垂 直 ,，求球面面积.解：参考平面几何中，直角圆周角所对弦为直径，作类比性猜想：以 SA , SB , SC 为棱的长方体内接于球面，长方体对角线即为球的直径 d ,由此d ? b ? 4b ? 9b2 2 2?14 b,所以 s? ?d2? 14 ? b2.? OB ? OC ? OS验证：设长方体中心为 O ，则 OA.长方体另外一些顶点到中心 O 的距离都等于对角线长的一半，所以另外一些顶 点也在球面上，从而推出我们的猜想是正确的.3.1.5一般化猜想一般化猜想是指将待解决的特殊问题加以推广，从而提出一个比原命题更加一 般的猜想.如果我们能证明这个一般化猜想成立，那么原命题也就成立了. 例 5 证明 20014001? 4001 ！分析：直接计算出结果显然是不切实际的，我们不妨将其一般化， 因 2001? 4001 ? 1 2 , ( 4001 ? 1 2 )4001所以原命题可改写成? 4001 ! .由此我们提出一般猜想：对任意 n ? 证明：因为 即n ( n ? 1) 2 n ?1 2 ? ) 1 ? 2 ? ??? ? n n 1 nnN , 均有 (nn ?1 2)n? n! .?n1 ? 2 ? ? ? ? ? ?n ?nn!,?nn! ,n ?1 2?n! ,所以 (? n! .8浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用因此， n? 4001时，原命题成立.因此，在解题时我们要敢于猜想，善于猜想，但猜想应有根据，验证须仔细， 猜想的一般化就体现于此. 3.2 类比法的应用 ?10 ? 类比是一种最活跃、最基本的推理形式 ,它有着自身的一些特点: 跳跃性、可 靠程度低. 纵观人类的科技进步发展史 ,人们很快地发现 ,尽管类比法的可靠性不高 ,但 它依然被广泛地应用.许多科学家、发明家,数学家、通过类比法 ,创造出了更多的 新理论 ,发明了许多实用技术与机器 ,并因此不断地推动社会发展.类比法在数学 的发展中也有着很重要的作用.例如， 有人把平面上的勾股定理:c2?b ?c22推广到三维空间上: 在两两垂直的四面体中, 各侧面面积的平方和等于底面面积, 即:D2? A ? B22?C2,我们可以猜想: 是否任意四面体中都有类似的结果.下面将给出平面几何中一些定理在空间四面体上的推广. 余弦定理:对于任意三角形 ABC ,对应三边为 a , b , c ,成立任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积,即a b c2? b ? c ? 2 bc cos A ；2 22? a ? c ? 2 ac cos B2 2； .2?b ?a22? 2 ba cos C下面,我们给出三角形中的余弦定理在空间四面体中的推广: 定理 1 在任何一四面体中,它的一个面面积的平方等于其它三个面面积的平方和,减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角余弦的积的两倍. 证明: 设三角形 ABD,ACD, BCD,ABC 的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,并且记 S 1 与 S 2 所成的9浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用二面角为 Q 1? 2 , S 1 与 S 3 所成的二面角为 Q 1? 3 ,S1 与 S 4所成的二面角为 Q 1? 4 ,S2与S3所成的二面角为 Q 2 ? 3 , S 2 与 S 4 所成的二面角为 Q 2 ? 4 , S 3 与 S 4 所成的二面角为 Q 3 ? 4 ,则 成立：(S 3 )2? ( S 1 ) ? ( S 2 ) ? ( S 4 ) ? 2 S 1 ? S 2 ? cos Q 1 ? 2 ? 2 S 1 ? S 4 ? cos Q 1 ? 4 ?2 2 22 S 2 ? S 4 ? cos Q 2 ? 4 .证明:如图 3.2AD G H B E C F图 3.2S 3 ? S 1 ? cos Q 1? 3 ? S 2 ? cos Q 2 ? 3 ? S 4 ? cos Q 3 ? 4，(1)将(1)式两边都乘以 S 3 ,得(S 3 )2? S 3 ? S 1 ? cos Q 1 ? 3 ? S 3 ? S 2 ? cos Q 2 ? 3 ? S 3 ? S 4 ? cos Q 3 ? 4? S 1 ? ( S 1 ? S 2 ? cos Q 1 ? 2 、 S 4 ? cos Q 1 ? 4 ) ? S 2 ? ( S 2 ? S 1 ? cos Q 1? 2 ? S 4 ? cos Q 2 ? 4 ) ? ? S 4 ? ? S 4 ? S 1 ? cos Q 1 ? 4 ? S 2 ? cos Q 2 ? 4 ?10浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用? ( S 1 ) ? ( S 2 ) ? ( S 4 ) ? 2 S 1 ? S 2 ? cos Q 1 ? 2 ? 2 S 1 ? S 4 ? cos Q 1 ? 4 ? 2 S 2 ? S 42 2 2? cos Q 2 ? 4 .证毕.同样的,我们可以将三角形中的正弦定理也推广到空间四面体中: 正弦定理: 对于任意三角形 ABC ,对应三边为 a , b , c ,三角形 ABC 外接圆半径为R，成立：a sin A?b sin B?c sin C? 2R.正弦定理在空间四面体中的推广: 定理 2 ?11 ? 四面体 A1 A 2 A 3 A 4 的四个面为 ? i （以下 i? 1, 2 ,3 , 4） ，所对定点为 A i ，其面积依次为 S i 每个面得三角形的外接圆半径为 R i ，每个面得三角形三条边在另外三个面 所在三角形的对应角为 ? ij （ i , （如 ? 14 表示顶点 A 4 所对应的三角形 j ? 1, 2 ,3 , 4 , 且 i ? j ），则成立： A1 A 2 A 3 角 A 1 的度数）S 1 ? R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 ? S 3 ? R32?S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24 ? S4 ? R42sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R 4证明：如图 3.311浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用A1A2A4A3图 3.3 四面体 A1 A 2 A 3 A 4 的底面为 S 1 ，则 S 1A 2 A 3 ? 2 R 4 sin ? 14? 1 2 A 2 A 3 ? A 2 A 4 ? sin ? A 4 A 2 A 3 由题中所设，有， A2 A4? 2 R 3 sin ? 13 ，A3 A4 2 R1 2 R 2 sin ? 12 2 R1 R2 R1A 3 A 4 ? 2 R 2 sin ? 121 2， sin? A4 A2 A3 ???sin ? 12.? S1 ?A 2 A 3 ? A 2 A 4 ? sin ? A 4 A 2 A 3?1 22 R 4 sin ? 14 ? 2 R 3 sin ? 13 ?R2 R1sin ? 12?2R2 R3R4 R1sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14.等式两边都乘以R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 S 1 ? R1,得2sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14? 2 R1 R 2 R 3 R4.同理可得：S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24? 2 R1 R 2 R 3 R4；12浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用S 3 ? R32sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34 S4 ? R42? 2 R1 R 2 R 3 R 4；sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R4.即：S 1 ? R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 ? S 3 ? R32?S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24 ? S4 ? R42sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R 43.3 数学归纳思想的应用 ?13 ? 基于以上对数学归纳法理论介绍，下面我们给出数学归纳法的实际应用.1 ? ? 1 a n ?1 1 n ?1 ? 2? 1 an(1)、 设正整数列 ? a n ? 满足： 2 a? 4， 且对于任何 n ? ? ? ， 2 ? 有1 a n ?1?an 1 n.(i)求 a 1 , a 3 ； (ii)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n .2 1 ? 2 ? ? 2? ?a a2 a2 ? 解：(i)当 n ? 1 时，则 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2? 1 ? a1 a2 a1 ?，又因为 a 2? 4，解得 当n2 3? a1 ?8 7且 ? a n ? 为正整数列，则 a1?9? 1.?2时,同理可得 a 32.2(ii)由(i)知 行验证.a 1 ? 1, a 2 ? 4 ? 2 , a 3 ? 9 ? 3.由此我们可以猜想： a n? n2，然后再进13浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用证明： ①当 n? 1 时， a 1 ? 1 ? 1? k2成立，? k2②假设 n（k? 2）时， a k成立，则当 n? k ? 1 时，1 ? ? 1 a n ?1 1 n ?11 a k ?1k2 2由条件 2 ?1 a n ?1?an 1 n? 2?1 an化简得：2?? 1 1 ? 1 ? k ? k ? 1? ? 2 ? ?? 2? 2 a k ?1 ? k ?kk ? k ? k ? 1?2.??k? 1?k ? k ?1? a k ?1 ?k ?1.??k? 1? ?2?k? 1?32k ?1? a k ?1 ? ? k ? 1 ? ?21 k ?1，因为当 k?2时，2k33? 1 ? ( k ? 1)2? k ? k ? 1 ?( k ? 2 ) ? 0 ，? 0 ? ( k ? 1)? k? 1.所以?k? 1?32k ?1? ? 0 ,1 ? ，1 k ?12因为 k? 1 ? 1 ，则? ? 0 ,1 ? .2由 a k ? 1 ? ? ? ，所以 ? kan ? n2? 1 ? ? a k ?1 ? ? k ? 1 ?.故 a k ? 1? ? k ? 1?2，即 n? k ?1时，成立. 由(i)(ii)知，对任意的 n ? ? ? ， a n? n2.（2） 、设实数 q 满足 q 又如果 lim S 2 nn? ?? 1 ,数列 ?a n ? 满足： a 1 ? 2 , a 2 ? 0 , a n ? a n ? 1 ? ? q , 求 a n 表达式，n? 3 ,求 q的取值范围.解：因为 a1? 2, a 2 ? 0, 则 a1 ? a 2 ? ? q ,14浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用因为 q? 0, 即 a 2 ? ?an a n?2q 2?, 所以 a n ? a n ? 1 ? ? q , a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? qnn ?1.两式相除，得 于是，1 q,即 a n ? 2? q ? an .a 1 ? 2 , a 3 ? 2 q ,? ? ? ? ?? , a 2 k ?1 ? 2 qa2 ? 1 2 q, a4 ? ? 1 22k ?1；1 2 qkq , ? ? ? ? ?? , a 2 k ? ?.综合①②，猜想通项公式为 a n? 2 ?2q ? ? ? 1 ?? q ? 2 ?n ?1当 n ? 2 k ? 1时 ( k ? N )n 2当 n ? 2 k时 (k ? N )下面用数学归纳法证明：1?1(1)当 n (2)设 n? 1, 2 时, a 1 ? 2 q2? 2， a 2 ? ?k ?11 22q2? ?1 2q,猜想成立，? 2 k ? 1 时， a 2 k ?1 ? 2 ? q，则 nk? 2 k ? 1 时， ? 2 k ? 1 成立时，可推知 n ? 2 k ? 1 也由于 a 2 k ? 1 成立. 设n 则n? 2k? q ? a 2 k ?1 ，所以 a 2 k ? 1 ? 2 ? q即当 n时，所以 a 2 k? ?1 2?q ,k? 2k ? 2时，由于 a 2 k ? 21 2 ?qk ?1? q ? a 2k, 成立，可推知 n? 2k ? 2所以 a 2 k ? 2? ?， ,这说明 n ? 2 k也成立.综上所述，对一切自然数 n ,猜想都成立.? 2 ?2q ? ? ? 1 ?? q ? 2 ?n ?1这样所求通项公式为 a n当 n ? 2 k ? 1时 ( k ? N )n 2.当 n ? 2 k时 (k ? N )那么 S 2 n? ? a1 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2 n ? 1 ? ? ? a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a 2 n ?? 2 1? q ? q?2? ??? ? qn ?1? ? 2 ?q ? q12? ??? ? qn??2 (1 ? q )n1? q?1 2?q (1 ? q )n(1 ? q )? (1? qn1? q)(4? q 2).15浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用由于 q? 1 ,因为 lim qn? ?n? 0 , 故 lim S 2 n ? (n? ?1 1? q)(4? q 2)，依题意知 因为 q4?q 2 (1 ? q )? 3,解得 q?2 5， （1）? 1,? ?1 ? q ? 0且?1 ?q ? 0， （2） 或0? q ? 2 5由（1）（2）知： ? 1 ? ， （3） 、证明: ? sin 证 明 :(i) 当 k 立. (ii)当 kkq ? 0k ?1.xdx ? ?1 ksinx cos x ?k ?1 k? sink?2xdx(k ? z )1?1 1?1时 , ? sinxdx? ? cos x ? C ? ? sin1?1x cos x ?? sin1? 2xdx显然成? n 时，有 ? sinnxdx ? ?n ?11 nsinn ?1x cos x ?nn ?1 n? sinn?2xdx，则（iii）当 k? n ? 1 时， ? sindx ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin? ? sinnxd cos xx cos x ?? cosxd sin xn ?1nnx cos x ? n ? sin x cos x ? n ? sinx cos x ? n ? sinnx cos2xdx2nn ?1x (1 ? sinx ) dxn ?1nn ?1dx ? n ? sinn ?1xdx?? sinn ?1xdx ? ?1 n ?1sinx cos x ?? sin n ?1nxdx.综上，命题得证.4 总结猜想、归纳、类比等数学思想方法的掌握是中学数学学习的重要内容，是初等 数学与高等数学之间的桥梁.在运用猜想解题的过程中出现最频繁的方法就是归纳 与类比，而如何猜想则成为解决问题的关键所在，正确地猜想结论是解题的重点.对 于数列与函数结合问题很多考生都感到困难较大，是由于求解数列通项公式或一些16浙江外国语学院本科毕业论文?浅谈数学归纳法在中学数学中的应用证明题时常常需要渗透多种数学思想方法，尤其是在一些综合性相对比较强的数列 问题中，求解过程往往方法不一、技巧性较强，需要我们对具体问题进行具体分析. 这种延伸不是机械的重复与叠加的过程，而是对课程意义重建与提升的创造过程.本 文的猜想、归纳及类比的应用比较简单，举例还不够全面，方法也比较单一，技巧 性不强.希望读者根据自己的实际情况,对其进行拓展和深化.本文首先归纳总结中学 数学中三种常见的数学思想的定义及其处理方法，然后给出直观猜想、归纳猜想等 猜想的五种方法及其应用，再给出求解数列的通项公式或证明的，应用以上数学思 想方法，最后将几种思想融入其中进行简单的分析. 希望读者根据自身知识水平通过实践，真正掌握数学归纳法精髓所在！ 参考文献[1] 冯一鸣．归纳与类比――数学发现的重要方法[J]．北川教育学院学报，1994， ：19-23． （2） [2] 张志淼．数学学习与数学思想方法[M]．郑州：郑州大学出版社，―137． [3] 陈辉，叶力军．类比和归纳――数学发现的重要方法[J]．杭州师范学院学报, 2001， ： （2） 45-49． [4] CAJOR I F. Origin of the name“Mathematical Induction” [J].Amer Math Monthly, ):4352451 . [5] 刘叶斌．数学解题的猜想策略[J]．张家口师专学报,2009， ：106-109． （3） [6] 吕孝亮.关于数学归纳法德基础研究.山东省淄博市天鸿书业公司,2008. [7] 陈美珍. 数学归纳法在离散数学中的应用. 湖北城市建设职业技术学院,2004. [8] 张惠良．提出数学猜想到一些途径[J]．数学教学研究，2005， ：13-15． （3） [9] 谭佩贞,黄素玲．浅谈类比法猜想数学命题[J]．南宁师范高等专科学校学报，1999， ： （2） 48-52． [10] 袁希娟 ,龚耘．浅谈类比法[J]．河北理工学院学报(社会科学版),2003， ：32-38． （1） [11] 王列大.三维空间的正弦定理.浙江省宁波六中. [12] 梁宗巨. 数学家传略辞典[M ] .济南；山东教育出版社, 1989 . [13] A[德国]恩格尔著，舒武昌,冯志刚译．解决问题的策略[M]．上海：机械工业上海教育出 版社，―290．17浙江外国语学院本科毕业设计(论文)过程管理材料目1 2 3 4 5 6 7 8 9录???????????1 ??????????3浙江外国语学院本科毕业设计(论文)任务书 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)文献综述浙江外国语学院本科毕业设计(论文)开题报告 ??????????13 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)外文翻译 ??????????18 浙江外国学院本科毕业设计(论文)指导记录 ???????????28 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)中期检查表 ?????????30 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)答辩资格审查表 ???????32 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)答辩记录 ??????????33 浙江外国语学院本科毕业设计(论文)评审表 ???????????35浙江外国语学院本科毕业设计(论文)任务书学 院 理工学院 林顺风 王健 专业 学号 职称 职称 数学与应用数学
讲师学生姓名 指导教师 合作导师一、论文题目：浅谈数学归纳法在数学中的应用 二、论文的研究内容和任务要求 研究内容: 1.正弦定理与余弦定理在多维情况下的推广； 2.数学归纳法在初等数学与高等数学中的应用. 任务要求: 1. 理解数学归纳的定义即证明过程，正弦定理，余弦定理； 2. 对正，余弦定理进行进一步推广，加深对数学归纳思想理解； 3.对数学归纳法进行应用.1本科毕业设计（论文） 任务书三、进度安排 11.1.20 ― ― ― ― 广泛查阅资料，确定研究内容； 撰写开题报告； 根据研究内容，整理文献资料,写好文献综述； 完成论文初稿，与指导教师交流；翻译外文文献； 根据指导教师的修改意见对论文初稿进行修改和完善, 确定论文文稿；准备论文答辩； ― 根据答辩情况论文作最后修改完善，最终确定论文文稿.四、主要参考资料[1] 张志淼．数学学习与数学思想方法[M]．郑州：郑州大学出版社，―137． [2] A[德国]恩格尔著，舒武昌,冯志刚译．解决问题的策略[M]．上海：机械工业上海教育出 版社，―290． [3] 谭佩贞,黄素玲．浅谈类比法猜想数学命题[J]．南宁师范高等专科学校学报，1999， ： （2） 48-52． [4] 梁宗巨. 数学家传略辞典[M ] .济南；山东教育出版社, 1989 . [5] 陈显强． 浅谈归纳法和类比法在数学中的应用[J]． 广东电视大学学报， 1999， ： （2） 23-27． [6] 陈辉，叶力军．类比和归纳――数学发现的重要方法[J]．杭州师范学院学报, 2001， ： （2） 45-49． [7] 张惠良．提出数学猜想到一些途径[J]．数学教学研究，2005， ：13-15． （3） [8] 冯一鸣． 归纳与类比――数学发现的重要方法[J]． 北川教育学院学报， 1994， ： （2） 19-23． [9] 刘叶斌．数学解题的猜想策略[J]．张家口师专学报,2009， ：106-109． （3）指导教师签名学生签名系主任签名2010 年12 月10 日2浙江外国语学院本科毕业设计(论文)文献综述学 院 理工学院 林顺风 王健 专业 学号 职称 职称 浅谈数学归纳法在数学中的应用 数学与应用数学
讲师学生姓名 指导教师 合作导师 论文题目文献综述 1、数学归纳法的历史 1、毛罗利科的创始工作与帕斯卡的贡献 毛罗利科(F. Maurolico ,)是意大利数学家、天文学家和工程师.1575 年在威尼斯出版了他著作《算术》[1] 和许多数学史家一样,德国数学家和数学史家康托尔(M. B. Canto r, )在他的最重要著作《学史演讲》 (1892)卷 2 第 749 页中,误以为法国数学家帕 斯卡是数学归纳法的发明者.为此,他在有关数学自然科学数学的杂志中作了纠正, 他说,华卡(G. Vacca)先生告诉我, 意大利的毛罗利科在其 1575 年出版《算术》中描 述并使用了数学归纳法. 毛罗利科在他的《算术》卷 1 中,首先定义了各种不同的数,如,偶数、奇数、三 角数、平方数等等,并把它列成下表(这里略去了与本文无关的部分):在同一横行的数毛罗利科称之为同行数,而任一个数都可称为下一行中任一数 的前行数,任一数都可称前一行中任一数的随后数.例如,他称(第 2 列的)偶数 6 是第 4 列中的“15”的前行数. 命题 VI “每一个整数加上它的前行数等于同行奇数”例如,第一列的“整数 6” 加上它的前行数“5”,与“6”同行的奇数 11. 命题 XV “前 n 个奇数的和等于第 n 个平方数”,用现代符号写出来就是:1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2 n ? 1）? n （23为了保证从 n 到 n ? 1 的论证,他引进了命题 XIII :“每一个平方数加上随后的奇 数等于随后的平方数”.例如,第 4 个平方数 4 2 (即表的第 5 列中的第 4 个数 16)加上 第 5 个奇数 9 (在第 3 列)等于下一个(即第 5 个)平方数 25. 数学史家康托尔以及当代美国著名的数学史家克莱因(M. Kline)都认为帕斯卡 是从毛罗利科得知这一方法的[2].事实是,在 1889 年巴黎出版的《帕斯卡全集》第 3 卷中,帕斯卡曾用笔名阿莫斯?狄东威尔(Amos Dettonville)致卡尔卡维(P. de Carcavi,)的信中, 帕斯卡曾提到毛罗利科 《算术》 中如下定理的证明: “第 n 个三角数的两倍减去 n 等于 n 2 ”,帕斯卡说,“用毛罗利科的话说,这是容易 的.” 因此,帕斯卡是读过毛罗利科的《算术》的,因而对于毛罗利科的数学归纳法 也是了解的. 下面是帕斯卡在他的名著 《算术三角形》[3](1665)中应用数学归纳法的两个 重要例子. 如下表所示,为帕斯卡给出的算术三角形.每一条斜线称为“基线”.例如第 6 条 基线为 1,5,10, 10,5,1.帕斯卡给出一个命题 XII ②:“在算术三角形的同一条基线上的两个相邻系数中较高的与较低的比等于从 较高的系数〔在该基线上〕向上方数起的系数个数与从较低的系数〔在该基线上〕 向下数起的系数个数之比”. 用现代的组合符号来表示, 第 n 条基线的各数顺次是1， n , C n , C n ,? ? ?, C n2 3 r ?1, C n ,? ? ?, C nrn?2, n ,14相邻两项 C nr ?1 与 C nr 中较高的系数是 C nr ,较低的系数是 C nr ?1 . 在此基线上, C nr 向上 数起共有 n ? r? 1 项,从 C nr ?1 向下数起共有 r 项,于是帕斯卡的这一命题可表示为C n： C nr r ?1? ( n ? r ? 1)： r此命题最早是由意大利数学家卡尔达诺(G. Cardano,)在 1570 年 获得的,后来大约在 1600 年由英国数学家布里格斯(H.Briggs,)以及 1636 年由法国数学家费尔马(P.deFermat,)再次获得它,帕斯卡在这个 命题上的重要贡献是他使用了清晰明确的数学归纳法证明了这个命题.他说: “虽然这种比例有无穷多种情形,但我将给出一个简短的基于下面两个引理 的证明: 引理 1. 显而易见,这种比例适合于第二条基线. 引理 2. 如果这种比例在任一条基线上是正确的,那么在下一条基线上也必定 是正确的. 不难看出,帕斯卡的两个引理相当于当今使用的数学归纳法的奠基步骤与递 推步骤, 他的数学归纳法与现代的数学归纳法已没有什么不同了. 第 二 个 例 子 是 赌 徒 分 赌 本 问 题 . 性 好 赌 博 的 法 国 学 者 梅 雷 (A.G.C. Mere,)向帕斯卡提出这样一个问题: 水平相同的两个赌徒 A 和 B, 在赌 博中的某时刻,A 还需 a 点获胜,B 还需 b 点获胜.此时两赌徒中止赌博,应如何分赌 本? 这个问题的提出与解决标志了概率论的开始.帕斯卡的结论是:B与 A 应按 ?a ?1C a ? b ?1r与 ?a ? b ?1C a ? b ?1r之比来分赌本. 换句话说, B 应分得整个赌r?0r?a本的?Cr?0a ?1a ? b ?1 r a ? b ?1/?Cr?0r a ? b ?1(1)2、沃利斯的归纳法与伯努利的改进 英国数学家沃利斯(J. Wallis,)是 17 世纪最富有创造性的数学家 之 一 .1656 年 在 牛 津 出 版 了 他 的 重 要 著 作 《 无 穷 算 术 》 (Arithmetica Infinitorum ).在此书中,为了找出平方数 0、1、4、9、?的和与 n 2 ( n ? 1) 之比的 一般规律,他写出 6 个关系式, 以便观察检验.下面是其中的前 3 个:0 ?1 1?1 ? 1 2 ? 3 6 ? 1 3 ? 1 6 0 ?1? 4 4? 4? 4 5 12 1 3 1 12 1 3 0 ?1? 4 ? 9 9?9?9?9 14 36 1 , 1 , 7 18 1 , 1 24 1 3 , 1 30 1 18 , 1 36，???，????他观察在所有 6 个特例中,这比值都大于 ,而差数分别为与6 12 18平方数的个数相关.他认为用 6 个特例所得到的规律可以用于 n 大于 6 的情形.他 把这种方法叫做归纳法. 沃利斯的归纳法既带来了称赞也引起了各种批评.29 年后,他本人曾说,费尔 马“责备我的归纳法证明,并且想改进它,?.我把归纳法看作是一种很好的研究方 法,它常常引导我们易于发现一般规律.”[4]5另一批评来自雅各布?伯努利(J.Bernoulli,).1686 年在德国莱比 锡出版的 《学艺》 (Actaeruditorum )中,指出沃利斯方法的问题并引入从 n 到 n+1 的论证着手改进这个方法.在他去世后(1713 年)出版的巨著 《猜度术》(Ars Conjectandi)里,他写进一个更详细的对沃利斯的方法的批评,并应用从 n 到 n+1 的论证来证明二项式定理.因此,雅可比?伯努利应作为数学作纳法的另一发明者. 这段历史向人们昭示了:归纳法,由于它的不完全性而导致了数学归纳法,这 是归纳法与数学归纳法的认识论上的联系,因而也造成了它们之间的历史性联系. 3、数学归纳法各种名称及其历史 无论是毛罗利科还是帕斯卡,也无论是伯努利还是其后的数学家们,虽然都在 不断地使用数学归纳法,但在很长的时期内并没有给他们的方法以任何名称.只是 由于沃利斯以及雅各布?伯努利的工作,才引进了“归纳法” 这一名称, 并在两 种截然不同的意义上应用于数学: (1)以特例获得一般结论的沃利斯方式;(2)指定 从 n 到 n+1 的论证. 并且影响了其后的数学家们,使这种混用状态大约持续了 140 年.例如,19 世纪上半叶,英国的数学家皮科克(G. Peacock,)在他的《代 数学》(Treatise on Algebra, 剑桥,1830)的排列与组合部分,谈到“构成的规律 用归纳法延伸到任意数”,是从“预测”意义上以沃利斯方式使用 “归纳法”的. 后来,他又将从 n 到 n+ 1 的论证称之为 “证明归纳法” (demonstrative induction). 在 名 称 上 迈 出 重 要 一 步 的 是 英 国 数 学 家 德 摩 根 (A.deMorgan,) ,1838 年 在 伦 敦 出 版 的 《 小 百 科 全 书 》 (Penny Cyclopedia)中,德摩根在他的条目“归纳法(数学)”里建议使用 “逐次归纳法” (Succesive induction),但在该条目的最后他偶然地使用了术语“数学归纳法”, 这是我们所能看到这一术语的最早一次使用. 皮 科 克 和 德 摩 根的 名称 后 来 为 英 国 数学 家托 德 亨 特 (I.Todhunter,)的 《代数》 (1866 年第 4 版)所采用并因而得到广泛传播. 他在该书中介 绍这种证明方法时, 使用了两个名称:“数学归纳法” 和 “证明归纳法” , 但 该章的题目却用的是前者. 这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(W.S.J evons,)的 《逻 辑初等教程》 (Elementary Lessons in Logic,1882)以及菲科林(J.Ficklin)的 《完全代数》(Complete A lgebra,1874)所使用, 后者宣称是受惠于托德亨特. 随 着时间的推移, 后来的通用教科书的作者们, 例如英国教育家、 数学家克里斯托 尔(G. chrys2tal, )的 《代数》 第 2 卷以及霍尔(H. S . Hall)和 纳特(S . R. Knight)合著的 《代数》 (1898)、 奥尔迪斯(W.S.A ldis)的 《代 数教科书》 (Textbook of A lgebra,1887)等都只用 “数学归纳法” 而不再使 用 “证明归纳法” . 由此看来,“数学归纳法” 的名称, 是由英国的数学家创立并由英国的教科 书作者们加以普遍采用, 而使之广泛流行的. 在欧洲大陆,也使用 “数学归纳法” 的名称, 但不普遍.德国数学家戴德金 (J. W. R. Dedek ind,)在他的著作 《数的意义》 (Was Sind und was sollen die Zahlen,1887)的第 59 节和第 80 节中使用“完全归纳法”(Vollst andige Induction).法国大数学家庞加莱(J. H. Po incare,)不限于用一个固 定名称. 例如,他曾使用过 “递归法证明” (démonstration par récurence)、 “递归推理” ( raisonnement par récurrence)等名称.后来 20 世纪的一位学者 丹齐克(T. Dantzig)在他的 《数,科学的语言》 (1938)中宣称, “数学归纳法” 与6“完全归纳法” 都是误用, 只有 “递归推理” 可以接受. 这是因为“归纳法” 这个词会给这个方法带来完全错误的理解.现代美国数学家、数学教育家波利亚 (G.Polya,)曾这样评论“数学归纳法”这一名称的: “归纳法是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的过程. 它用于所有 科学甚至数学. 数学归纳法则仅在数学中用以证明某类定理. 从名称上看, 二者 有联系,这点毋宁是不幸的. 因为二者在逻辑方面的联系极少. 不过两者之间还 有某种实际联系; 我们常把两种方法一起使用. ” 波利亚进一步又说道: “上述过程是常用的, 它应该有个名字. 我们可以叫它 ‘从 n 到 n+ 1 的证 明’ 或简单些 ‘过渡到下一个整数’ .遗憾地是, 大家所接受的专业术语却是 ‘数 学归纳法’.这是随便起的. 我们所必须证明的精确推断可来自任何来源, 从逻辑 观点看来,来源如何, 无关紧要. 现在,在许多情况下,?其来源是归纳, 推论是 用实验方式找到的, 因此, 证明象是归纳的一种数学补充;这是对上述名称的一 点解释”. 波利亚对数学归纳法的这段解释, 既符合历史事实,也沟通了归纳法与数学 归纳法之间的认识论上的联系.特别地,揭示了数学归纳法的递归推理的本质. 如 果“数学归纳法”这一名称能启发我们想到与“归纳法”的这种实际联系的话,那 么这个名称的“误用”就化为一种提示作用. 2、预备知识 1、数学猜想、归纳、类比以及数学归纳法的定义 定义 1 数学猜想，是根据一些已知事实和数学知识，对未知的对象及其关系作出的一种似真的推断。它具有一定的科学性同时，也具有某种假定性（当然， 这样到假定性命题正确与否，还需通过论证）。其中猜想论证法分为： （1）极限猜想法，即把观察对象推向某个极端，然后求其在这个极端情况下 的取值. （2）图像直观猜想 （3）归纳性猜想是指通过对部分特定对象的研究，从而归纳整理出对象的共 同特征，最后提出猜想的一种方法. （4）类比性猜想是指依据已知的两个（或两类）对象在某方面的相似或相同 的特点，从而猜测它们其它方面也具有相似或相同的特点的一种猜想方法. （5）一般化猜想是指将待解决的特殊问题加以推广，从而提出一个比原命题 更加一般的猜想. 定义 2 归纳作为一种数学思想方法是指通过对特例的分析去引出一般性的推论；主要是通过实验、观察和分析,从而归纳出结论. 定义 3 类比是指分析已知两类事物之间所具有的某些共同特点， 从而推测它7们在其他的性质上也可能相同的一种推理方式. 类比是一种最活跃、最基本的推理形式 ,它有着自身的一些特点: 跳跃性、 可靠程度低. 纵观人类的科技进步发展史 ,人们很快地发现 ,尽管类比法的可靠性不高 , 但它依然被广泛地应用.许多科学家、发明家,数学家、通过类比法 ,创造出了更 多的新理论 ,发明了许多实用技术与机器 ,并因此不断地推动社会发展.类比法 在数学的发展中也有着很重要的作用. 数学归纳法的定义 数学归纳法: 数学归纳法是一种先通过证明首个例子的正确性,然后再用递 推的方式证明命题正确性的一种方法。常用来证明与自然数 n 有关的命题. 2、常 用 数 学 证 明 方 法 数学是一门非常重视思想方法的学科,常用的数学方法大致有以下几种： 演绎推理――从一般到特殊的推理方法叫做演绎推理，它又称演绎法. 归纳推理――由特殊到一般的推理方法叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理 通常分为完全归纳法和不完全归纳法两种. 不完全归纳法――根据某类事物中个别事物具有某种属性，推出该类事物全体 都具有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法. 完全归纳法――是指通过研究了事物的所有（有限）特殊情况从而得出一般 结论的推理方法，又叫枚举法. 数学归纳法――数学归纳法是证明与自然数 n 相关的命题的一种方法. 3、正弦定理与余弦定理 正弦定理：对于任意三角形 ABC ,对应三边为 a , b , c ,三角形 ABC 外接圆半径 为 R ，成立：a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2R.余弦定理：对于任意三角形 ABC ,对应三边为 a , b , c ,成立任何一边的平方等 于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积 ,即a2? b ? c ? 2 bc cos A ;2 28b c22? a22? c ? 2 ac cos B2 2;?b ?a? 2 ba cos C .3、正、余弦定理的推广 （1）余弦定理的推广 在任何一四面体中,它的一个面面积的平方等于其它三个面面积的平方和, 减去这三个面中每两个面的面积与它们所夹二面角余弦的积的两倍. 证明: 设三角形 ABD,ACD, BCD,ABC 的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,并且记 S 1 与 S 2 所成 的二面角为 Q 1? 2 , S 1 与 S 3 所成的二面角为 Q 1? 3 ,S1 与 S 4所成的二面角为 Q 1? 4 ,S2与 S 3 所成的二面角为 Q 2 ? 3 , S 2 与 S 4 所成的二面角为 Q 2 ? 4 , S 3 与 S 4 所成的二面角为Q 3 ? 4 ,则成立(S 3 )2? ( S 1 ) ? ( S 2 ) ? ( S 4 ) ? 2 * S 1 * S 2 * cos Q 1 ? 2 ? 2 * S 1 * S 4 * cos Q 1 ? 4 ?2 2 22 * S 2 * S 4 * cos Q 2 ? 4 .证明:如图 3.29AD G H B E C F图 3.2S 3 ? S 1 * cos Q 1? 3 ? S 2 * cos Q 2 ? 3 ? S 4 * cos Q 3 ? 4,(1)将(1)式两边都乘以 S 3 ,得(S 3 )2? S 3 * S 1 * cos Q 1 ? 3 ? S 3 * S 2 * cos Q 2 ? 3 ? S 3 * S 4 * cos Q 3 ? 4? S 1 * ( S 1 ? S 2 * cos Q1? 2 ? S 4 * cos Q1? 4 ) ? S 2 * ( S 2 ? S 1 * cos Q1? 2 ? S 4 * cos Q 2 ? 4 ) ? S 4 * ? S 4 ? S 1 * cos Q1 ? 4 ? S 2 * cos Q 2 ? 4 ?? ( S 1 ) ? ( S 2 ) ? ( S 4 ) ? 2 * S 1 * S 2 * cos Q 1 ? 2 ? 2 * S 1 * S 4 * cos Q 1? 4 ? 2 * S 2 * S 42 2 2* cos Q 2 ? 4 .证毕. （2）正弦定理的推广 四面体 A1 A 2 A 3 A 4 的四个面为 ? i （以下 i? 1, 2 ,3 , 4） ，所对定点为 A i ，其面积依次为 S i 每个面得三角形的外接圆半径为 R i ，每个面得三角形三条边在另外三个面 所在三角形的对应角为 ? ij （ i , （如 ? 14 表示顶点 A 4 所对应的三角 j ? 1, 2 ,3 , 4 , 且 i ? j ）形 A1 A 2 A 3 角 A 1 的度数） ，则成立：10S 1 ? R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 ? S 3 ? R32?S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24 ? S4 ? R42sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R 4证明：如图 3.3A1A2A4A3图 3.3 四面体 A1 A 2 A 3 A 4 的底面为 S 1 ， S 1 则 有 A 2 A3? 2 R 4 sin ? 14? 1 2 A 2 A 3 ? A 2 A 4 ? sin ? A 4 A 2 A 3由题中所设，， A2 A4 ， sin? 2 R 3 sin ? 13 ，A3 A4 2 R1 2 R 2 sin ? 12 2 R1 R2 R1A 3 A 4 ? 2 R 2 sin ? 121 2? A4 A2 A3 ???sin ? 12.? S1 ?A 2 A 3 ? A 2 A 4 ? sin ? A 4 A 2 A 3?1 22 R 4 sin ? 14 ? 2 R 3 sin ? 13 ?R2 R1sin ? 12?2R2 R3R4 R1sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14.11等式两边都乘以R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 S 1 ? R12,得sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14? 2 R1 R 2 R 3 R4.同理可得：S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24 S 3 ? R32? 2 R1 R 2 R 3 R4；sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34 S4 ? R42? 2 R1 R 2 R 3 R 4 ；sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R4.即：S 1 ? R12sin ? 12 sin ? 13 sin ? 14 ? S 3 ? R32?S2 ? R22sin ? 21 sin ? 23 sin ? 24 ? S4 ? R42sin ? 31 sin ? 32 sin ? 34sin ? 41 sin ? 42 sin ? 43? 2 R1 R 2 R 3 R 4参考文献[1] 张志淼．数学学习与数学思想方法[M]．郑州：郑州大学出版社，2006： 102―137． [2] A[德国]恩格尔著，舒武昌,冯志刚译．解决问题的策略[M]．上海：机械工业 上海教育出版社，―290． [3] 谭佩贞,黄素玲．浅谈类比法猜想数学命题[J]．南宁师范高等专科学校学报， 1999， （2） ：48-52． [4] 陈显强． 浅谈归纳法和类比法在数学中的应用[J]． 广东电视大学学报， 1999， （2） ：23-27． [5] 陈辉， 叶力军． 类比和归纳――数学发现的重要方法[J]． 杭州师范学院学报,122001， （2） ：45-49． [6] 张惠良．提出数学猜想到一些途径[J]．数学教学研究，2005， （3） ：13-15． [7] 梁宗巨. 数学家传略辞典[M ] .济南:山东教育出版社, 1989 . [8] KL I N EM. Mathematical Though t from Ancient to Mordern Times [M].New York: Oxford Univ Press 1972. [9] EDWARDS F. Passcal’s Arithmetical Triangle [M ] . New York: Oxford Univ Press,1987 . [10] CAJOR I F. Origin of the name“Mathematical Induction” [J].Amer Math Monthly, ):4352451 .13浙江外国语学院本科毕业设计(论文)开题报告学 院 理工学院 林顺风 王健 专业 学号 职称 职称 浅谈数学归纳法在数学中的应用 数学与应用数学
讲师学生姓名 指导教师 合作导师 论文题目一、选题背景和意义 数学归纳法可以说是贯穿了整个数学的始终，就像我们大家所熟知的奇数与偶 数的定义，合数与质数，等腰三角形与等边三角形定义，等差数列与等比数列的定 义等等都是由归纳与类比得出来的，在看近几年的高考题时，我看到了几乎每个省 每一年的高考题都会涉及用数学归纳法证明或是求解数列的问题.而我们读师范类 院校的同学们毕业以后很有可能成为教师，作为教师的职责就是为学生们服务，我 想初中的教师就应该研究中考题，高中的教师应该研究高考题，要是以后我们成了 一名高中教师，我们就必须去把握高考动向，透彻把握高考考点，研究数学归纳法 一方面可以为高考服务. 对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活 和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可 以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当 然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自 然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.二、国内外研究现状、发展动态 对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了 详尽的论述.例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数 学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机” ，从而加深了 对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也 有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识.文中还指出了数学归纳法 与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行 系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数 学归纳法曾被称为“逐次归纳法”“完全归纳法” 、 ，后来被称为“数学归纳法” ，既 区别于逻辑上的“完全归纳法” ，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性.在 此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述. 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第 I 型 和第 H 型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法 的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法 的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步14本科毕业设计（论文）开题报告开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地 了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种 形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇 论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述. 邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》 ，主要针对 教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并 简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.文中提到了不完全归纳法，但未作深入 论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联 的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中 学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾.”①即使是现在的中 学教材也还是没有改进这些. 齐智华在((’ ’数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测” 的教学纲目， 给出了作者编选猜测习题的原则， 并进行了实例说明.文中讲述了 “教 猜测”和“教证明”的同等重要性，用作者自身的实践说明:教猜测对所有层次的 学生都具有普遍意义.此文以教学纲目的形式，给出了先由归纳猜测结论，再由数 学归纳法进行证明的思维方法，但没有展开论述. 除以上这些论文以外，还有数量不少的文章从数学归纳法教学的细微处着眼， 举例说明了学生在学习数学归纳法过程中常见的错误，并进行了剖析。一些论著也 提到了数学归纳法，把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述.例如，徐利治先生 著的《徐利治论数学方法学》中，收集了以下几篇文章，从归纳与猜想的角度说明 了数学归纳法教学的重要性，它们是《数学家是怎样思考和解决问题的》《流与源 、 ―不容忽视的创作源泉》《浅谈数学方法学》《漫谈学数学》等.李文林著的《数 、 、 学史概论》中，也阐述了数学归纳法的理论.此外，华罗庚著的《数学归纳法》 、洪 波著的《怎样应用数学归纳法》 、G?波利亚的《怎样解题》《数学与猜想》《数学 、 、 中的归纳法与类比法》等著作，大多从理论方面论述了数学归纳法和归纳法在数学 教学中的重要性和价值. 我国的数学期刊或数理杂志， 《数学教育学报》 如 、 《数学通于及》 、 《数学通讯》 、 《中学数学教学参考》《数学教学》等，刊载的相关文章大都从各个角度具体阐述 、 了数学归纳法教学中常见的问题，但少有从整体上进行系统论述的.本文将对数学 归纳法进行较为完整的系统论述.15本科毕业设计（论文）开题报告三、研究的内容及可行性分析 研究的内容： 1.正弦定理与余弦定理在多维情况下的推广. 2.数学归纳法在初等数学与高等数学中的应用. 可行性分析： 首先，通过查阅相关的文献资料，对于正、余弦定理的推广我们已经有了充分 了解。 其次，对于数学归纳法，也已经有了充分的了解。这将有助于我对正、余弦定 理做进一步的推广。 最后，对于论文相关知识的咨询途径已经具备.16本科毕业设计（论文）开题报告四、论文拟解决的关键问题及难点 论文拟解决的关键问题： 1. 正弦定理与余弦定理在多维情况下的推广. 2. 数学归纳法在初等数学与高等数学中的应用. 难点： 由于对于正、余弦定理的推广已经有许多学者研究过，所以要对它做进一步 的研究，有一定的难度.五、研究方法与技术路线 对于正、余弦定理进一步推广，将从以下几个方面进行研究： 1.从数学归纳法的定义以及证明方法出发 2.从改变定理的条件方面出发 3.从数学归纳法的实际应用出发. 对于数学归纳法主要从应用的角度出发，而对于正、余弦定理注意从其结论出发. 六、论文的进度安排 11.1.20 ― ― ― ― 广泛查阅资料，确定研究内容； 撰写开题报告； 根据研究内容，整理文献资料,写好文献综述； 完成论文初稿，与指导教师交流；翻译外文文献； 根据指导教师的修改意见对论文初稿进行修改和完善, 确定论文文稿；准备论文答辩； ― 稿. 根据答辩情况论文作最后修改完善，最终确定论文文17本科毕业设计（论文）开题报告七、主要参考文献 [1] 张志淼．数学学习与数学思想方法[M]．郑州：郑州大学出版社，2006： 102―137． [2] A[德国]恩格尔著，舒武昌,冯志刚译．解决问题的策略[M]．上海：机械工业 上海教育出版社，―290． [3] 谭佩贞,黄素玲．浅谈类比法猜想数学命题[J]．南宁师范高等专科学校学报， 1999， （2） ：48-52． [4] 陈显强． 浅谈归纳法和类比法在数学中的应用[J]． 广东电视大学学报， 1999， （2） ：23-27． [5] 陈辉， 叶力军． 类比和归纳――数学发现的重要方法[J]． 杭州师范学院学报, 2001， （2） ：45-49． [6] 张惠良．提出数学猜想到一些途径[J]．数学教学研究，2005， （3） ：13-15． [7] 梁宗巨. 数学家传略辞典[M ] .济南:山东教育出版社, 1989 . [8] KL I N EM. Mathematical Though t from Ancient to Mordern Times [M].New York: Oxford Univ Press 1972. [9] EDWARDS F. Passcal’s Arithmetical Triangle [M ] . New York: Oxford Univ Press,1987 . [10] CAJOR I F. Origin of the name“Mathematical Induction” [J].Amer Math Monthly, ):4352451 . 八、指导教师意见 该生前期准备较充分，相关文献较充实，选题有一定意义，同意该论文的撰 写.签名： 九、开题审查小组意见 符合要求，同意开题.2011 年 1 月 13 日开题审查小组组长签名：2011 年 1 月 20 日18浙江外国语学院本科毕业设计(论文)外文翻译译文：数学归纳法的原理数学归纳法代表了强有力的用于检验命题的数学原理,它在某种程度上取决于 正整数.例如： (a)1 ? 2 ? 3 ? ???? n ? n (1 ? n ) 2(b) 如果 A1 ? ? ? A K 是 n ? n 的矩阵，那么( A1 A 2 ? ? ? A K )T? AKT? ? ? A 2 A1TT(c) 如果 x 1 , x 2 , x 3? ? ? 是方程 Ax ? 0 的解，那么对于任意的正整数 m, 有 x1? ? ? ? ? xm也是方程 Ax ? 0 的解.. 上述这些命题对所有的正整数都成立，命题中的 n , 例如，命题（a）中，让 n ? 5 ，那么1? 2 ? 3? 4 ? 5 ? 5 ? 1 ? 5） （ 2k和 m 表示正整数.经计算两边都等于15，显然成立 像命题(a),(b),(c)在它们用数学归纳法证明之前都是不经意间被发现.举一个这 样的例子：化简 ABC （)T第一步：把 AB 看成是一个矩阵（ ABC )T? (( AB ) C )T45页的定理1.49：（ AB ） ? B AT T T两次运用定理1.49可得:（ ABC )T? (( AB ) C )T? C ( AB )TT?C B AT TT19本科毕业设计（论文）外文翻译上面说的这些材料出自另外的课本中，页面编号和定理中的数字不一定相同， 但是定理本质却是一样的. 下面观察转置变换是如何作用于两个或三个的矩阵乘积的：（ AB ） ? B AT T T( ABC )T? C B AT TT，容易猜想: 对任意正整数 k 都有( A1 A 2 ? ? ? A K )T? AKT? ? ? A 2 A1TT。命题(c)可以直接得到，命题(a)的证明过程在大学代数课程中会涉及，这里就不 再复述了. 我们现在来讨论一下来证实这些命题对任意的正整数都成立.数学归纳法的原理 如果一个涉及到的正整数的命题可以满足下面的条件： (i)当 k ? 1 时，这个命题是正确的（若 k ? 1 时这个命题是错的，我们可以用 k ? 2 代替 k ? 1 ）. (ii)如果“当 n ? k 时，这个命题是正确的” ，可以推出“当 n ? k ? 1 时，这个 命题也正确” ，那么我们就可以说对于任意的正整数 k ，这个命题都正确. 这个原理通常可以简化为： 设 Pk 是关于正整数 k 的一个命题，如果： (i) (ii)P1 是正确的； Pk 是正确的? Pk ?1 也是正确的； 那么， Pk 关于任意的正整数 k 都成立. 例如，我们用数学归纳法证明命题(a) (a)1 ? 2 ? 3 ? ???? n ? n (1 ? n ) 220本科毕业设计（论文）外文翻译1?（1 ? 1） 1 2,所以这个命题在 n? 1 时，是正确的.（注意:当 n ? 1 时，上式就是将 1 ? 2 ? ? ? ? ? n 减少到一项，即 1 ） 假设当 n ? k 时，命题(a)成立，也就是说1 ? 2 ? ???? k ? k (1 ? k ) 2在这个条件下，当 n? k ? 1 时，在上式的基础上，左右两边都添加 k ? 1 ，我们有:k ( k ? 1） ? ( k ? 1) 2 21 ? 2 ? ? ? ? ? k ? ( k ? 1) ?= 即( k ? 1 )( k ? 2 )1 ? 2 ? ? ? ? ? k ? ( k ? 1) ?( k ? 1 ) ?( k ? 1 ) ? 1 ? 2这个就是 n ? k ? 1 时，命题(a)的形式. 我们现在用数学归纳法的原理证明了命题(a)对于所有的正整数 n 都成立. 现在我们来验证命题(b): (b)( A1 A 2 ? ? ? A K )T? AKT? ? ? A 2 A1TTk ? 1,TA1? A1Tk ? 2,T( A1 A 2 )? A 2 A1TT假设( A1 A 2 ? ? ? A K )T? AKT? ? ? A 2 A1TT对于任意的 n ? n 矩阵 A1 , A 2 ,? ? ?, A K 都成立， 那么要证：( A1 A 2 ? ? ? A K A K ? 1 )T? A K ?1 A KTT? ? ? A 2 A1TT21本科毕业设计（论文）外文翻译将括号里面的乘积视为两个矩阵 A1 A 2 ? ? ? A K 和 A K ?1 的乘积，由定理 1.49，(( A1 A 2 ? ? ? A K ) A K ?1 )T? A K ?1 ( A KTTT? ? ? A 2 A1 )TT根据假设，最后一个表述等价于 A K T 因此，( A1 A 2 ? ? ? A K A K ? 1 )T? ? ? A 2 A1 .? (( A1 A 2 ? ? ? A K ) A K ? 1 )T? A K ?1 ( A KTT? ? ? A 2 A1 ) ? A K ? 1 A KTTTT? ? ? A 2 A1TT这样，根据归纳法，命题(b)对于任意的正整数 m 都成立.(用这样的步骤来证明命题 (b)显得比较繁琐.) 下面，我们仅仅用必要的步骤来证明命题(c)： 如果 x 1 是方程 Ax 假设：x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x k? 0 的一个解，于是 Ax 1 ? 0，即 m? 1 时，命题(c)正确.是方程 Ax? 0 的解，也就是说 A ( x 1 ? x 2 ? ? ? ? x k ) ? 0 ，根据定理1.4.1dA ( x 1 ? x 2 ? ? ? ? x k ? x k ?1 ) ? A ( x 1 ? x 2 ? ? ? ? x k ) ? A ( x k ?1 )由条件 x k ?1 是方程的解，根据假设上式右边就是 0 ? 0 .因此， x1 ? 方程 Ax? 0 的解.所以，命题(c)对于所有的正整数都成立.x 2 ? ? ? ? x k ? x k ? 1 也是现在给出本文的最后一个例子： 假设 A 和 B 是 n ? n 的矩阵，可交换，要证明A B ? BAk k对于任意的正整数 k 都成立。k ? 1 ，即求证 A B ? BA1 1（也可以写成 AB? BA） ，? BA由于 A 和 B 是可交换的，所以 AB 假设：A B ? BAk k。22本科毕业设计（论文）外文翻译那么Ak ?1B ? AA ） B ? A ( A B ) ? A ( BA （k k k k ?1k) ? ( AB ) Ak? ( BA ) Ak? B （ AA ）? BA通过归纳法知道， A k B? BAk对于每一个正整数 k 都成立.在第一次接触数学归纳法的时候，有一些人对它抱有怀疑.它有时候看起来什 么事情都没有做就敢断言所给的命题对于任意的正整数 k 都成立。这里有一个论据 来支持数学归纳法原理的正确性：Pk是与正整数 k 有关的命题，假设：P1 是正确的；Pki) ii)也是正确的；? Pk ?1 是正确的 也就是说 Pk 对于所有的正整数 k 都是正确的。否则的话，存在一些整数，使得Pk是错误的.如果是后者，假设 P17 是错误的，那么 P16 也是错的，因为如果 P16 是正确的? P17 是正确的.但是由于 P16 是错误的，同样讨论可以得到 P15 是错误的。同理P14 是错误的， P13 也是错误的.经过17 步，我们可以得到 P1 是错误的，这与假设 i)矛盾.（类似的，如果 Pk 对于其他的正整数 k 是错误的，那么经过 k 步，可以得到矛 盾）所以， Pk 一定对于所有的正整数 k 都成立.23本科毕业设计（论文）外文翻译原文：24本科毕业设计（论文）外文翻译25本科毕业设计（论文）外文翻译26本科毕业设计（论文）外文翻译27本科毕业设计（论文）外文翻译学院理工学院专业数学与应用数学28学生姓名 指导教师 合作导师 论文题目 第 1 次指导记录林顺风 王健学号 职称 职称 讲师浅谈数学归纳法在数学中的应用关于毕业论文的选题，在数学系办公室，经过与王老师的讨论初步选定写关于中 学数学的内容，并要求我在寒假期间，查阅相关文献.学生签名： 第 2 次指导记录指导教师签名：2011 年 1 月 10 日上交开题报告,准备外文翻译.学生签名：指导教师签名：2011 年 3 月 20 日浙江外国语学院本科毕业设计(论文)指导记录29本科毕业设计（论文）指导记录第3次指导记录在数学系办公室，将论文的提纲交与王老师，经过王老师的审核.学生签名： 第 4 次指导记录指导教师签名：2011 年 4 月 10 日向王老师上交外文翻译等中期检查作品.学生签名： 第 5 次指导记录指导教师签名：2011 年 5 月 9 日向王老师上交毕业论文初稿，王老师向我提出修改意见.学生签名：指导教师签名：302011 年 5 月 16 日浙江外国语学院本科毕业设计(论文)中期检查表检查日期： 学生姓名 论文题目 目 前 已 完 成 任 务 2011 林顺风 年 3 月 20 日 专业 数学与应用数学 学号 浅谈数学归纳法在数学中的应用目前本人已阅读完相关的文献资料以及完成了相应的外文资料翻译，对于数 学归纳法有了充分的了解，同时也总结和发现了运用数学归纳法对一些定理进行 推广的方法.是否符合任务书要求进度 是尚 对于正、余弦定理的推广尚需要做进一步的归纳总结. 须 完 成 的 任 务 能否按期完成任务 是 存 在 的 问 题 拟 采 取 的 办 法 1. 对于数学归纳思想缺乏自己独到的见解； 2. 对于一些定理的高级推广高还未展开.存 在 的 问 题 和 解 决 办 法1.对于数学归纳法及其相应的数学归纳思想需进一步阅读， 使对于数学归 纳法了解更为全面. 2.再收集一些关数学归纳法应用方面的文献资料， 使关于数学归纳法的优 势能有更全面的了解. 3.在充分了解数学归纳思想的基础上，着手正、余弦定理的推广.指 导 教 师 意 见符合进度要求，中期任务基本完成良好.指导教师签名：31浙江外国语学院本科毕业设计(论文)作品(实物)验收单学 院 理工学院 林顺风 专业 学号 数学与应用数学
学生姓名 论文题目 一、作品（实物）说明浅谈数学归纳法在数学中的应用二、支撑材料（测试报告及作品照片等）三、指导教师评语指导教师签名：验收人签名：20年月日32浙江外国语学院本科毕业设计(论文)答辩资格审查表学 院 理工学院 林顺风 专业 学号 数学与应用数学 学生姓名 论文题目浅谈数学归纳法在数学中的应用完成 有 有 有 有 篇数毕业设计（论文）完成情况√ √ √ √ √未完成 无 无 无 无字数 字数 字数 字数12600字 6000字 3100字 3400字规 范 检 查文献综述（5000 字以上） 开题报告（3000 字以上） 外文翻译（3000 字以上） 中、英文摘要 参考文献（10 篇以上）13 篇指导教师意见：林顺风同学的论文及相关材料已经完成，可以进行答辩.指导教师签名：2011 年 5 月 20 日33浙江外国语学院本科毕业设计(论文)答辩记录指导教师 学生姓名 论文题目 王健 林顺风 职称 专业 讲师 合作导师、 职称 学号 数学与应用数学浅谈数学归纳法在数学中的应用 答辩组成员组长 成员 成员梅雪峰陈晏职称 职称 职称教授 副教授成员 成员 成员史美华职称 职称 职称教授 讲师 李亚辉李亚辉 答辩记录人答辩时间 陈述：2011 年 05 月 26 日陈述、提问及回答情况记录：首先，数学归纳法的选题背景及意义 数学归纳法贯穿了整个数学的始终，对于解决不等式与等式证明问题，以及数 列与函数相结合的问题等有着举足轻重的作用，所以即使已有许多学者对其做了一 定的归纳总结，还是有必要对其做进一步的研究. 再次，介绍数学归纳法的研究现状 在展开研究之前，阅读了有关的文献资料，并对他们的研究方向进行了总结. 主要从以下几个方面展开： 1. 对数学归纳法的解读 2. 关于正、余弦定理的推广 3. 关于数学归纳法的应用 最后，介绍本文的结构 本文共分为四部分：一，引言：简单介绍数学归纳法的历史及研究现状.二， 预备知识：罗列数学猜想、类比、归纳以及数学归纳法的定义及其基本形式. 三,主要内容：运用数学猜想、类比解决一些高考中的常见问题并对正、余弦 定理进行推广.四，数学归纳思想的应用. 本文的亮点在于对数学归纳法进行归纳总结并运用数学归纳思想对正、余弦定 理进行推广.34本科毕业设计（论文）答辩记录陈述、提问及回答情况记录（续） ： 提问：你所做的论文工作有何意义？ 答：数学归纳法贯穿了整个数学的始终,用来证明与自然数 n 有关的命题.对于 数学归纳法的研究，可以更好地解决许多问题,如不等式，恒等式，几何中计算问 题，数的整除性，数列的通项与和等问题. 提问：在这篇论文中你做了什么工作？ 答：首先对数学归纳思想进行归纳总结并且历年来出现的高考题得结论做了一 般化的推广,同时运用数学归纳思想对正、余弦定理进行推广. 提问：这篇论文所推广的结论是你自己的吗？ 答：我查阅的文献和相关书籍中都没有本文所推广的结论，是我自己根据数学 归纳思想并从平面中的正、余弦定理的形式中受到启发而推广的结论.35浙江外国语学院本科毕业设计(论文)评审表学 院 理工学院 林顺风 王健 专业 学号 职称 职称 浅谈数学归纳法在数学中的应用 基于近年来在高考中数列比重（约为 13%）出现的阶段性，而数学 归纳法作为解决恒等式、不等式、数的整除性、几何中的计算问题、数 摘 列的通项与和等问题的重要手段， 其地位已经不言而喻了.本文着重从猜 想、归纳、类比的定义出发来了解数学归纳法过程和思想，从而将数学 归纳法灵活应用于诸多不连续问题和定理的推广等等.同时， 对数学猜想 要 的五种常见推导方法进行了归纳与总结，然后通过先猜想后用数学归纳 法证明的方法解决了一些常见问题和高考中数列与函数结合的难题. 数学与应用数学
讲师 学生姓名 指导教师 合作导师 论文题目本文主要对正、余弦定理进行了推广,得出了一个较好的结果,具有 导 师 点 评 一定的应用价值.本文并且对数学归纳思想进行应用. 本论文提供的相关材料规范，完全符合毕业论文的要求，能正确回 答问题.导师签名： 选题难度中是否结合立项课题否 无总分 百分制是否有成果（实物作品或公开发表的论文、论著及获奖作品）文献检索、开题报 设计（实验）方案、研基本概念、基本 分析、解决问题 对论文工作的 理论的应用能力 能 力 及 实 际 动 态度及表现 及文字表述 30 分 23 手能力 15 分 13 10 分 7 79指标 告、综述能力及外 究方案（方法）的科学 分值 文翻译 性、合理性及创新能力25 分 20 分 16指导教 师评分2036本科毕业设计（论文）评审表（学生姓名：林顺风学号： ）指标 分值 同行专 家评分选题 指导教师资格、执 文献检索、 外文翻译 学术水平 行计划进度等情况；综述能力 质量与字数 与实际动 评语客观、公正 与字数 手能力 10 分 10 分 10 分 10 分 25 分综合应用基本 文字表 规范 理论与基本技 述与图 要求 总 分 能的能力 表质量 百分制 25 分 5分 5分同 行 专 家 意 见 专家（签名） 指标 分值 答辩小 组评分选题 10 分 基本理论 与学术水平 30 分 文字表述、论文结构层次及 基 本技能的应用与创新能力 25 分 分析、解决问题能 力与实际动手能力 25 分20年月日规 要 范 求与 图 质 表 量 5分答辩能力 总分 及表现 百分制 5分7 评语：2421202478学 院 答 辩 小 组 意 见论文选题具有一定的理论与实际意义，格式规范，文理通顺，答辩过程叙述清楚，回答 问题正确， 通过论文写作训练， 作者对相关课题有清楚的了解.论文部分内容有一定创新.答辩小组组长（签名） 学 院 答 辩 委 员 会 意 见2011 年 5 月 28 日同意答辩小组意见成绩中等 2011 年 5 月 28 日答辩委员会主任（签章） ：备注：1．此表 1 式 2 份，1 份归入学生档案，1 份归入学生论文材料。 2．毕业设计（论文）成绩分优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级。37
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