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于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域 第I 区, 第II 区, 第III 区. 由于I 区和III 区中(无穷位势问题见讨论i,), 为使方程成立, 这两个区域中的波函数必须为零—— &.doc45页
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§第三章 一维问题
§3.1 一维定态的一些特例
1, 一维方势阱问题,Landau 与Pauli的矛盾
《无限深方势阱》
这是本章第一个例题,也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论,甚至导致严重误解:“量子力学的数学是错的”。
研究一维方程,其中位势为
于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域:第I区,第II区,第III区。由于I区和III区中(无穷位势问题见讨论i,),为使方程成立,这两个区域中的波函数必须为零 ?? 即有边界条件。说明微观粒子即便具有波动性,也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行, 3.1b
有时,这里的边界条件被简单地写作[ 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷,详见下面讨论v的脚注。]。但由于对阱外情况未作规定,这种提法是含混的。参见下面有关讨论。
显然,在第II区内方程通解为这里出现两个待定系数、和一个待定参数(它的数值将决定阱中粒子的能量)。为了确定它们,利用两个边界条件(加上总几率归一条件,一共也是三个),即
由此得,。最后,阱中粒子的能级和波函数分别为
这虽然是一个最简单的例子,鉴于存在不少观点分歧,需要作一些讨论说明:
i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为
第一,介质中势能不可能真是无限大;
第二,势函数也不可能是严格的阶跃。
容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为,可将近似认作无限高的条件是:,是问题中涉及的最大能量。同时,设势函数两端显著上升的尺度为,波函数有显著变化的尺度为,可认作阶跃变化的条件为。因此,对很大的高激发态情况,势函数将难以被模型化为无限深方阱。此外
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