中考中的一次函数应用题求解策略
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1& 试题概述
一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。
一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。
一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。
2& 试题例析
2.1方案设计问题
⑴物资调运
例1.（2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。
（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：
运往D县的费用（元/吨）
运往E县的费用（元/吨）
为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。
⑴直接用一元一次方程求解。运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨，设运往E县m吨，则运往D县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）
⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A地运往D的赈灾物资为x吨，可将相应数量关系列表如下：
A地（100吨）
B（100吨）
D县（180吨）
x（220元/吨）
=120-x（200元/吨）
60（200元/吨）
E县（100吨）
100-x（250/吨元）
100-20-（100-x）
=x-20（220元/吨）
20（210元/吨）
表格说明：①A、B、C、D、E各地后括号中的数字为调运量或需求量；
②表格中含x的式子或数字，表示对应地点调运数量；
③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。
&&&& 确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。②B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。故：
& 解得& &∴40＜x≤45&&& ∵x为整数
∴x的取值为41，42，43，44，45&&& 则这批救灾物资的运送方案有五种。
方案一：A县救灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；
&&&&&&& B县救灾物资运往D县79吨，运往E县21吨。&& （其余方案略）
⑶设运送这批赈灾物资的总费用为y，由⑵中表格可知：
y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20
&=-10x+60800
∵y随x增大而减小，且40＜x≤45，x为整数，
∴当x=41时，y有最大值。
该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+（元）
求解物资调运问题的一般策略：
⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；
⑵根据表格中量的关系写函数式；
⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；
⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。
物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。
⑵方案比较
例2.（2008年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）
方案二：购买方式如图2所示。
解答下列问题：
⑴方案一中，y与x的函数关系式为&&&&&&&&&&&&&& ；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为&&&&&&&&&&&& ，当x＞100时，y与x的函数关系式为&&&&&&&&&&&& 。
⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。
⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？
解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。
⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y2=100x（0≤x≤100）；当x＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x＞100）。
⑵购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。
当y1=y2时，60x+00，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。
当y1＞y2时，解得x＜400，则当100＜x＜400时，选择方案二，总费用最省；
当y1＜y2时，解得x＞400，则当x＞400时，选择方案一，总费用最省。
⑶分两种情况讨论：（用方程求解）
①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＜100）张，则乙买700-m张。
100m+60（700-m）+& 解得m=150（不合题意，舍去）
②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＞100）张，则乙买700-m张
80m+2000+60（700-m）+& 解得m=200，700-m=500
求解方案比较问题的一般策略：
⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。
⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。
⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。
方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。
2.2分段函数问题
⑴分段价格
例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．
（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
（2）求的值，并写出当x＞10时，与之间的函数关系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
解析：（1）当时，有．将，代入，得．
用8吨水应收水费（元）．
（2）当x＞10时，有． 将，代入，
得&& ∴．&&&& 故当x＞10时，．
所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．
设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，
则&&&&& 解之，得
故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．
解分段价格问题的一般策略：
⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。
⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。
⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。
⑵几何图形中的动点
例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
&&&&&& & （图①）&&&&& & （图②）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （图③）&&&
（1）s与之间的函数关系式是：&&&&&&&&&&&&&&&&&& ；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ；P点出发&&&&&&&& 秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.
解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=(t≥0) &(2)由图象③，M纵坐标为0变为1，则路径为：M→D→A→N， 10秒
&(3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；
当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1；
当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．（补全图象略．）
求解几何图形中的动点问题一般策略：
⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。
⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。
⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。
2.3数形结合由“形”求式
⑴单个函数图象
例5.（2008年南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为&&&&&&&& km；
（2）请解释图中点的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
解析：（1）900； （2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．
设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得
&&&&&&&&& 解得
所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．
自变量的取值范围是．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把代入，得．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．
单个函数图象求“式”的一般策略：
⑴单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。
⑵要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。
⑶用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。
⑵多个函数图象
例6　（2008年泰州第28题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米)、(千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2分）
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。
解析：本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。
（1）由图象可知：AB段发生故障。时间为4.9-3=1.9 （小时）&&&&&
(2)要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。即要求出B点的纵坐标。点B在线段BD上，且横坐标为4.9。只需求出BD所在直线的解析式即可。C是BD、EF交点，C点的横坐标为6，求出直线EF的解析式，则可得到C点坐标。从而求出BD解析式，得到B点纵坐标。
&设直线EF的解析式为乙=kx+b∵点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上
∴&& 解得& ∴直线EF的解析式是y乙=80X-100
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6―100=380&&&& ∴点C的坐标是（6，380）
设直线BD的解析式为y甲 = mx+n
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上
∴&&& 解得& ∴BD的解析式是y甲=100X -220&&
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270）
∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。
（3）符合约定
由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。
在点B处有y乙―y甲=80×4.9―100―（100×4.9&―220）=22千米＜25千米
在点D有y甲―y乙=100×7―220―（80×7―100）=20千米＜25千米
∴按图像所表示的走法符合约定
多个函数图象求式问题的一般策略：
⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。
⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。
2.4多变量及其最值问题
例7（2008年泰安第25题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：（元）
（2）由题意可设与的函数关系为&&& 将代入上式
得&& ∴&& ∴种植亩数与政府补贴的函数关系为
同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为
（3）由题意
∴当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．
解多个变量及其最值问题的一般策略：
⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。
⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。
⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。
作者简介：宋毓彬，男，44岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章70多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
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求解数学题
某学生政治、语文、数学、英语、自然 五科的平均成绩是89分。政治、数学两科的平均成绩是91.5分，语文、英语两科的平均成绩是84分，政治、英语两科的平均成绩是86分，且英语比语文多10分。该生这五科的综合成绩是多少分？
提问者采纳
俊狼猎英团队为您解答 五科总分：89×5=445，政、数总分：91.5×2=183，政、英总分：86×2=172∴自然分数：445-183-168=94分，∵语、英总分：84×2=168，英语比语文多10分，∴语分数：(168-10)÷2=79分，英分数：79+10=89分，政治分数：2×86-89=83分，数学分数：183-83=100分。 综合成绩必须有一个比例，如：语、数、英各占30%，政治、自然各占5%，那么综合成绩为：30%(79+100+89)+5%(94+83)=89.25分。
来自团队：
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语文英语两科平均84,且英语比语文多10分则语文=(84*2-10)/2=79英语=79+10=89政治英语平均86分则政治=86*2-89=83政治数学平均分为91.5分则数学=91.5*2-83=100五科平均为89则自然为89*5-79-89-83-100=94所以学生政治、语文、数学、英语、自然 五科分别为83分,79分,100分,89分,94分
综上，该生这五科的综合成绩是445分
因为语文、英语两科的平均成绩是84分且英语比语文多10分，所以英语89分，语文79分。又因为政治、英语两科的平均成绩是86分，所以政治83分。又因为政治、数学两科的平均成绩是91.5，所以数学100分。又因为五科的平均成绩是89分。所以自然94分。
语文英语两科平均84,且英语比语文多10分则语文=(84*2-10)/2=79英语=79+10=89政治英语平均86分则政治=86*2-89=83政治数学平均分为91.5分则数学=91.5*2-83=100五科平均为89则自然为89*5-79-89-83-100=94所以学生政治、语文、数学、英语、自然 五科分别为83分,79分,100分,89分,94分
该生这五科的综合成绩是多少分？
综合成绩应该是指一个班的吧，个人应该只有平均成绩！按平均成绩算吧！
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