&>&&>&小学奥数36个讲座总汇(下)
小学奥数36个讲座总汇(下) 投稿：苏佷佸
第13讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=…
萨班斯法案对我国《企业内部控制基本规范》执行影响的思考【摘要】《企业内部控制基本规范》自日起施行，它号称中国版的萨班斯法案，根据执行萨班斯法案404条款的经验和我国企业内部控制的现状，对中国企业如何执行《企业内部控制基本规范》进行思…
江南大学现代远程教育 第二阶段测试卷考试科目:《国际私法》第四章到第八章（总分100分） 时间：90分钟 学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一、单项选择题(每题1分，共10分)1、对于动产物权，我国法律规定…
第13讲 数字谜综合
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．
1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?
【分析与解】
因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．
A显然只能为1，则BCD+EFG=993，
当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有是满足条件的最大乘积；
当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有是满足条件的最小乘积；
它们的差为—=()×759一()×234=1000×（759—234)=525000．
2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是位数字都是5．请写出这4个分数．
【分析与解】
11111,,,,另外4个数的分母个3791133
10?10++++)== ?7?113?3?5?7?11
需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得693+231+77+9=1010．
所以，其余的4个分数是： 3.
请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式．
【分析与解】
×7×7l=4×497，
1111+＝，在等式两边同时乘上，就得1243497
+＝．显然满足题意．
又+=，两边同乘以，就得+＝．显然也满足．
+＝，+＝均满足.
4．小明按照下列算式：
乙组的数口甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?
都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，
；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因
【分析与解】
甲组的前三个数0.625此可以猜想方框内是除号． 现在验算一下：
.625=×==4.05； 3152÷=×=3；
÷=×==3； 7272÷3=.
从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4
乙+1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,*
是错的． 16
，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有312
1.5÷3+1=1，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷+1=3.25．
由此可见，确定的算式*是正确的．
应改为4，2应改为1.5， 1616
=5+=6． 1621616
改正后的两个数的和是6．
表中有两个错误，4
5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上．
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由．
(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
【分析与解】
(1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等．
事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k．
在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次．
因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的．
(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为
而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法．
6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
【分析与解】
表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+,,+11)+a=66+a；
在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+,,11)+4a＝66+4a．
综合以上两式?
?4S?66?a(1)
?5S?66?4a(2)
①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18．
考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+,,+11)-t=5S=90．即4*-t=24，
是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.
表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x，
首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有：
(1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S．
再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S．
综合两个等式?，可得a为6，每条直线上和S为18．
最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其中除了x
出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：
66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1—11间的数且e≠x可知x=7．
即每行相等的和S为18，*所填的数为7．
7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数．
........12345
【分析与解】方法一：=0.142857，=0.285714，＝0.428571，＝0.571428，＝
77777....6
0.714285，＝0.857142。
对应有，，它们依次是、2、3、4、5、6倍．
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意．
所以这个六位数为142857．
方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为.
而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是只能对应为×(2—6)，所以只能是×3得到．即=×3．
于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．
方法三：部分同方法二，=×3．
那么有×10+l=(100000+)×3，解得=42857． 所以这个六位数为142857．
第14讲 植树问题
几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题．
1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】
如下图所示：
2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】
如下图所示：
3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行·
【分析与解】
如下图所示：
4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】
如下图所示：
5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．
【分析与解】
如下图所示：
15讲 计数综合1
将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案．与分数、几何等相关联的计数综合题．
1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【分析与解】
一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．
同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9
．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．
第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．
所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．
2．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?
【分析与解】
我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶．
即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和，,,,,
如果将1、2、3,,,,级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和．
有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法．
3．一个圆上有12个点A1
2，A3，,,，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
【分析与解】我们采用递推的方法．
I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的
一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．
Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1
所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．
共有12种连法．
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下
9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上：
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55种．
所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.
4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不同搭配
的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速．
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?
【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：
这里有4对传动比是相同的：1，
，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以2
共有8挡不同的车速．
5．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?
【分析与解】
分子的取值范围是从1到5．
当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数．
由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件：
①分母大于分子且小于60．
⑦分母不是分子的倍数．
易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个；
当分子为3时，适合条件的分母有38个：
当分子为5时，适合条件的分母有44个；
最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3．所以共有28(=29—1)个．
总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28＝197个．
6．一个正方形的内部有1996
个点，以正方形的4
个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?
【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点,,时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．
不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×4个三角形，需剪3×9刀．
方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．
2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用
剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．
本题中n=1996，所以可剪成
3994个三角形，需剪5989刀．
7．如图15—3，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?
【分析与解】
因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法．
因为C点不能通过，所以C处所标的数字为0．如下图所示：
所以，从A到B满足条件的走法共有120种
8．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，,,，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)
【分析与解】
我们根据最后一封信来计数：
(1)第9封信在上午送给秘书；
于是，T={1，2，3，4，5，6，7，9}
则下午打印的每种可能都是T的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完
了，而未打别的信．集T有8个元素，故有2=256个不同子集(包括空集)．
(2)第9封信在午后才送给秘书．令
S＝{1，2，3，4，5，6，7}，
则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，,,，k．于是不同的顺序总数为：
0×C7+1×C7+2×C7+,,+7×C7=7×2÷2=7×2=448
即下午有448种可能的打印顺序．
所以，下午共有256+448=704种打印的方法．
第16讲 逻辑推理
体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．
1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少?
【分析与解】
每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44?(17?11)?16分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分；
那么第二名只能为12分，此时第四名
于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是
5+5+5+2，4只能是1+1+1+1.
不难得到下表：
由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分．
2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?
4?3?6场，6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 2
由于m是4个连续自然数的和，所以m=2＋3＋4=5＝14或m=3+4+5=18．
如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾．
所以m=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、
【分析与解】
四个队共赛了C42?4、3、2．
则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有
1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名．
即输给第一名的队得4分．
如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条A?B,，表示A胜B,各队用它们的得分来表示．
评注：常见的体育比赛模式
N个队进行淘汰赛，至少要打N?1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；
N个队进行循环赛，一共要打C2
N?N(N?1)场比赛：每个队要打N?1场比赛． 2
循环赛中常见的积分方式：
①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；
核心关系：总积分=2×比赛场次；
②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分；
核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次．
6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分?
【分析与解】
每轮赛3场，最多产生3?3?9分，四轮最多4?9?36分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为36?4?1?32．
前三名得分的和至少为7?8?9?24.
所以后三名的得分的和至多为32?24?8.
第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为4?5?9,这不可能，所以第5名最多得3分，图(
分时的一种可能的赛况图．
显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．
评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况：
4．某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少?
【分析与解】
方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765，
123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5．
因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同．
若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)．
若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724．
如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的．
方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5．
如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾．
如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾．
所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724．
即这个三位数为724．
5．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数．
【分析与解】
本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩．
当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为10－4＝6岁，则4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；
当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足．
于是，最大的男孩为8岁．
6．某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试．
A说：“我得了94分．”
B说：“我在5个人中得分最高．”
C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．”
D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．”
E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．”
问这5个人各得了多少分?
【分析与解】
B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足．
于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分．
所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94．
7．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下：
①每人4发子弹所命中的环数各不相同；
②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：
④甲与丙只有1发环数相同；
⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
问：甲与丙命中的相同环数是几?
【分析与解】
条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之．
第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况；
第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案．
满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：
A.7?6?3?1?17(杯)?甲
?都有1和7；B.7?5?4?1?17(杯)?乙
C.7?5?3?2?17(杯)?
?都有4和5 丙D.6?5?4?2?17(杯)?
从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙．
式A与式D对应为甲和丙．
式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6．
第17讲 赛况分析
赛况分析是一些学校近年考试的热点，我们再给出几例，希望大家在掌握了下面的知识点以后，多多练习．
常见的体育比赛模式：
N个队进行淘汰赛，至少要打N-1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；
N个队进行循环赛，一共要打CN2?N（N-1）场比赛：每个队要打N-1场比赛． 2
循环赛中常见的积分方式：
①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；
核心关系：总积分=2×比赛场次；
②三分制：胜一场得3分，平一场得1分。负一场得0分；
核心关系：总计分=3×比赛场次一1×赛平场次．
2．一次围棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2人，每个人都与其他的9人比赛，每盘胜者得2分，负者得0分，平居各得1分．结果乙队平均得分为5.2分，丙队平均分17分，试求甲队的平均分．
【分析与解】
因为每队的总分均为整数，所以乙队为5人，那么乙队的总为26分．考虑丙队的情况：选手所能得到的最高分为18分，而丙队中的最高不少于17分．
当最高分为18分，次高分至多为16分，第三名至多14分，,,,,，前两名的平均分为17分．
当最高分为17分，次高分至多为17分，第三名至多14分，,,,,，第一名/前两名的平均分为17分．
因为丙队不少于2人，所以丙队2人，则丙队的总分为34分．
所以甲队有10-5-2=3人，总分为C10?2?26?34?30分，所以平均分为30÷3=10分．
4．五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?
【分析与解】
每个队各赛4场，共赛5×4÷2：10场．第三名得7分，与第一名打平，那么剩下的3场，得6分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+／+3+3．
那么，第一名为／+3+1+3+3，第二名为0+／+3+3+3，第三名为1+0+／+3+第四名为0+0+0+／+3，第五名为0+0+0+0+／．
所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0．
6. 有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3分，平者各得1分，负者得0分．现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?
【分析与解】 最高分为3×4=12，而赛完后5支队伍的最高分为C5×3=30分，因为出现2分，所以5个连续的偶数，可能是0、2、4、6、8；2、4、6、8、10．
但是，2+4+6+8+10=30分，而还有些比赛没有进行，所以只能是0、2、4、6、8．
甲：1+0+1+1+～，乙：3+1+～，丙：1+～，丁：1+～，戊：～
所以，只能是戊为0分．
①当乙为8分时，只能是3+／+1+1+3，因为丙、丁在我们看来完全等价，当丁为6分时1+1+～+1+3，此时丙只能是4分，只能是1+1+～+1+1，而这时戊一定有得分．所以不满足．
②当乙为6分时，只能是3+／+0+0+3，当丙为8分时1+3+／+1+3，此时丁只能是4分，但是只能是
1+3+1+／+～，超过4分．所以不满足．
③当乙为4分时，只能是3+／+l+0+～，当丁为8分时l+3+1+／+3，此时丙只能为6分，为1+1+／+l+3．满足．
所以，乙的得分为4．
8．五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．已知：(1)4
队获得了冠军；(2)B队、C队和D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D队战胜了A队．请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况．
【分析与解】 根据已知条件可以画出如下赛况图：
因为每场比赛2个队共得2分，所以5个队的总分为C5×2=20分．
(1)当B、C、D均得2分，而A最多得到6分，E最少得到20-2×3-6=8分，超过A，而A是冠军，所以不满足；
(2)当B、C、D均得3分，此时E的得分最少为20-
3×3-6=5分，所以此时只能是A得6分，B、C、D均得3分，E得5分．于是，A的另外三场均是A胜
于是只能一场平，另外的2场为胜．由条件3知，E不可能与C平，所以只能是与B或D打平． ①当E与D平，有，有如左下图的赛况表．
②当E与B平，有，有如右上图的赛况表．
(3)当B、C、D均得4分，因为C只能平一场得到1分，而其他情况，要么得到2分，要么不得分，所以不可能；
(4)当B、C、D均得5分，那么只能是A得5分，E得0分，不满足．
综上所述，有2种赛况表满足，
第18讲 方程与方程组1
二元、三元一次方程组的代入与加减消元法．各种可通过列方程与方程组解的应用题，求解时要恰当地选取未知数，以便于将已知条件转化为方程．
1．一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数 约简后是1．那么原来的分数是多少? 5
a，则分子、分母都减去19为122?a【分析与解】
方法一：设这个分数为
a?19a?191==,即5a-95=103-a,解得a?33,则122-33=89．所以原来的分数(122?a)?19103?a5
aa?19，那么原来这个分数为，并且有5a5a?19
33=122, 19，解得。=14．所以原来的分数是． 89
方法二：设这个分数为变化后为(a?19?)a(?5
2．有两堆棋子，A堆有黑子350和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占50％，B堆中黑子占75％，那么要从B堆中拿到A堆黑子多少个?白子多少个?
【分析与解】
要使A堆中黑、白子一样多，从B堆中拿到A堆的黑子应比白子多150个，设从B堆中拿白子x个，则拿黑子(x+150)个．
400?(x?15).=75％, 解得x=25. 所以要拿黑子25+150=175个．白子25个 400?100?(2x?150)
3．A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％．它们混合在一起得到了纯酒精的含量为38．5％,的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升．那么其中的A种酒精有多少升?
【分析与解】 设c种酒精x升，则B种酒精戈x+3升，A种酒精ll-x-(x+3) 升.有：[11-x-(x+3)] +4％+( x +3)×36％+ x×35％=11×38．5％解得x =0.5．
其中A种酒精为11-2x-3=7(升)．
4.校早晨6：00开校门，晚上6：40关校门。下午有位同学问老师现在的时间，老师说：从开校门到现在时间的11加上现在到关校门时间的，就是现在的时间．那么现在的时间是下午几点? 34
【分析与解】
设现在为下午x点．那么上午6：00距下午x点为6+x小时；下午x点距下午6：40
为62?x小时． 3
11?2??(6?x)??6?x??x，解得x=4．
所以现在的时间为下午4点． 34?3?
5．如图18—2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a．图18-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍．求这个自然数．
【分析与解】
由题意知???8a?7??8?1???8?1??17?2a??17?4,整理得512a+457=578a+259，即66a=198，a=3．
于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．
6．一堆彩色球，有红、黄两种颜色．首先数出的50个球中有49个红球；以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已经数出的球中红球不少于90％，那么这堆球的数目最多只能有多少个?
【分析与解】
方法一 ：首先数出的50个球中，红球占49÷50×100％=98％．以后每次数出的球中，红球占7÷8×100％=87．5％． 取得次数越多，红球在所取的所有球中的百分数将越低．设取得x次后，红球恰占90％．共取球50+8z，红球为49+7x．
(49+7x)÷(50+8x)×100％=90％，解得x=20，所以最多可取20次，此时这堆球的数目最多只能有50+8×20=210个．
方法二：设,除了开始数出的50个球，以后数了n次，那么,共有红球49+7n，共有球50+8n,有49?7n?90％，即49+7n?45+7．2n,解得n?20，所以n的最大值20. 50?8n
则这堆球的数目最多只能有50+8×20：210个．
7.有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29
23，2l和17．这4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?
【分析与解】
设这些人中的年龄从大到小依次为x、y、z、w，
①+②+③十④得：2(x+y+z+w)=90，
则 x?y?z?w
3=15,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,⑤
①-⑤得：2
3x?14 , x=21；
④-⑤得：2
所以最大年龄与最小年龄的差为x?w =21—3=18(岁)．
第19讲 方程与方程组2
一般的，把含有未知数的等式称为方程
将含有未知数的个数称为“元”，如：x+y=2就是一个二元方程，而两个含有2个未知数的方程合1
在一起，就组成了二元方程组，3x?4y?6.5就是一个二元一次方程组．
把未知数的最高次数称为“次”，如x2?y2??25就是一个二元二次方程．
如果方程组的个数等于未知数的个数，我们就称这个方程为适定方程；
如果方程组的个数少于未知数的个数，我们就称这个方程为不定方程；一般的不定方程没有确定解．
方程的基本性质：
1．方程两边同时加上或减去某个数，等号仍然成立；
2．方程两边同时乘以或除以某个非零数，等号仍然成立．
在解方程中最常用的一种技巧是移项，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫移项．如3x+12=18，可以将12移项为3x=18-12．
通过“代人”消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方法叫做代入消元
法，简称代人法；
通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组减少一元来解的方
法叫做加减消元法，简称加减法
1．若石是自然数，且满足105?x?6，试求x的值． 4x?1
【分析与解】4x-1必须是105的约数，105=3×5×7，当4x-1=7时，x=2：当4x-1=15时，x=4；当4x-1=3时，x=1；当4x-1=35时，x=9．
所以只能是105÷(4×9-1)=9-6，即x=9．
ax?2y?2?1?
2．小吴和小林两人解方程组， 7x?by?1?2?
由手小吴看错了方程①中的a而得到方程组的解为??x?4
y?9,小林看错了方程②中的b而得到的解为?x?3y?8,如果按正确的a、b计算，试求出原方程组的解．
【分析与解】
因为小吴同学没有看错②，所以y?9是符合②的解，有4×7-b×9=1，解得b=3；1? 《九章算术》第八卷“方程”刘徽注:程,课程也.群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.并列为行,故谓方程.
因为小林同学没有看错①，所以?
?x?3y?8是符合①的解，有a×3-2×8=2，解得a=6； 6x?2y?2
即原方程组为7x?3y?1解得
3．解方程组： ?x?1y?2
?x1?x2?x3?x2?x3?x4??x?x?1x1?x2?x3?x4???x?x?2005
【分析与解】这是一个高达2005元的一次方程组，必须从中发现规律才求出来未知数的值． 由
x1?x2?x3?x2所以x3?x1;
x3?x2?x3?x4所以 x2?x4
x3?x4?x5?x4,所以x3?x5;x5?x4=x5?x6,所以x4=x6
于是有x3?x1=x5=??x2005,
x2?x4?x6= ?=
x2004令x1?A
那么有 B?2005
所以B?1002 ?A?B?1?A?1003
即?x1?x3?x5=x7?x=x4?x6=x8???x
4．一只小虫从A爬到B处．如果它的速度每分钟增加1米，可提前15分钟到达．如果它的速度每分钟再增加2米，则又可提前15分钟到达．那么A处到B处之间的路程是多少米?
【分析与解】设小虫的速度为名x米／分钟，从A到B所需时间为Y分钟，那么有：
?(1?x)(y?15)?xy(3?x)(y?30)?xy,化简为?y?15x?15y?10x?30,解得x?3,y?60所以A、B地相距3×60=180米．
5．若干学生搬一堆砖，若每人搬五块，则剩下20块未搬走；若每人搬9则最后一名学生只搬6块，那么学生共有多少人?
【分析与解】设有n个学生．根据砖的数量可得到方程
nk?20?9n?(9?6)即n(9?6)=23因为23是质数，所以n与(9-K中一个是23，另一个是1．所以只能是n=23
评注：在这道题中，K仅是一个过渡变量，借用9-K?9，求得n=23．
第20讲 列方程解应用题
列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法．而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题．方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃．
下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力．
1．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的
人拿走3个和余下的
几个人? 11，第二人拿走2个和余下的，第三991，,,,,，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给9
1x个鸡蛋，那么第一人拿了1?(x?1)9【分析与解】
设原有个鸡蛋，第二人拿了
1?811?8??2???(x?1)?2?个鸡蛋．1?(x?1)?2???(x?1)?2? 9?999?9??
解得x?64，则第一人拿了1?1?(64?1)?8个鸡蛋，所以共有64÷8＝8人. 9
即共有64个鸡蛋，分给8个人．
2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家．有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的?
【分析与解】设此人在步行x分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“１”，汽车从家到单位需要y分钟．
由家到单位的总路程为y，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在x分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要x－44分钟．
而汽车是从5：00-y从家出发，在4：00+x达到相遇点．所以行驶x?y-60分钟．
x?44?(x?y?60)?y，有2x?104?0,x?52．
所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的．
3．一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对
A．请问有多少学生只答对B?
【分析与解】设不只答对A的为x人，仅答对B的为y人，没有答对A但答对B与C的为z人．
解得：?3，
x=7时，y、z都是正整数，所以x?7,y?6,z?2。
故只答对B的有6人．
4．河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R
需5小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时? 2
【分析与解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：
且有1+y、 1—y、y均不为0．
①-②得by11?y?，即b? ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,④ 1?y22y
3(1?y2)a?2y?3，即a?③-①得 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,21?y2y
由②、④、⑤得
2?(1?y)?a?b?1?y
2y?(4?3y)，即5y?4?3y.
于是，y?12.由②得a?b?5115
2?(1?2)?4.
2)?152小时.
即题中所述情况下从R到Q再到P需15
第21讲 行程与工程
运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．
1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且
E至C的距离是B至C距离的小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米? 1．当5
【分析与解】
BE是BC的41，
CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就55
是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：
另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．
小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．
因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷??6?=18(分钟)． ?1??4?
因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．
从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；
从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；
A至D全程长是(36+54)×65+30×=11.5千米． 6060
3米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰8
2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是
点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?
【分析与解】
33×4=即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点． 82
圆半径乘以4后，跳16次到A点．
依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．
1000次跳完后圆周长是1×2=128米．
3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?
【分析与解】
方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49． 7
2549米，兔跑米． 259
狗追上猫一圈需300÷(-1)= 单位时间，
兔追上猫一圈需300÷(-1)= 单位时间．
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 42
与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大 42
设单位时间内猫跑1米，则狗跑公约数,即??5,625??.5．
,?24,2?42??
上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了 49=23437.5米，兔跑了8437.5×=16537．5米． 259
152521::，它们的最大公约数为 352125方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同． 所以猫、狗、兔的速度比为
1?,25,21?,,???,21,253?5?5?7. ??5，那么狗的速度为??625 353?5?5??7
211??441．
，则兔的速度为253?5?5?7
于是狗每跑300÷(625-225)= 单位时追上猫； 4
兔每跑300÷(441-225)= 单位时追上猫． 18
即设猫的速度为
75?325??3,25?75?，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇．
而?,??2?418?4,182
5=8437.5米，狗跑了×625=23437.5米，兔跑了×441=16537.5米． 222
75 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为2
在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．
于是狗每跑300÷(625-225) ×625=
兔每跑300÷(441-225)×441=1875米追上猫； 41225米追上猫； 2
而?，,, ,??424,2??
4．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?
【分析与解】
如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间1；20乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：
?11??11??5?20?:?4?20??3:4 ????
而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．
因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．
4=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米； 4?3?3
所以甲需要时间为()×60=19.2分钟 520
于是，甲步行的距离为2×
环形两周的最短时间为19.2分钟．
参考方案如下：甲先步行0.8
千米，再骑车3.2千米；
乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ；
丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．
5．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?
【分析与解】
晴天时，一队、二队的工作效率分别为11111和，一队比二队的工作效率高-=；
雨天时，一队、二队的工作效率分别为
一队高1113×(1-40%)=和×(1-10%)=,这时二队的工作效率比-=. 由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的60100
111×3+×5=，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天. 12202
6．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．那么第一个观众到达的时间是8时几分?
【分析与解】
由题意可得两个等式，如下：
(开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9
(开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5×(每个入口每分钟进的1人数)×5
①-②得:4分钟内到的人数=2×(每个人口每分钟进的人数),,,,③
从而有:每个入口每分钟进的人数=2×(每分钟进的人数),,,,④
代入②得，开门前排队人数=25×2-5=45分钟内到的人数．
因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的．
7．甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?
【分析与解】
设第一天的每个仓库的工作量为“1”，
那么甲、乙、丙的合作工作效率为?
以第二天两个仓库的工作总量为?111?=1，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所????1×16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2． 41882于是甲工作了16小时只完成了16×=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，则丙需10555
21工作÷=6(小时). 515
丙在A仓库做了6小时．
第22讲 复杂工程问题
本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．
1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?
【分析与解】
开始时甲队拿到=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为＝2：3；
甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为
()：()=18：17；
设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天完成任务．
有(2×4+4x)：(3×4+3x)=18：17，化简为216+54x=136+68x，解得x?
于是共有工程量为4?5?7?40. 740?60, 7
所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
2. 规定两人轮流做一个工程，
要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?
【分析与解】
即甲工作2小时，相当与乙1小时．
所以，乙单独工作需9.8?5?5?2?7.3小时．
3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用
作一天，则比原计划多用1天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工21天．已知甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做这件工3
作，完成工作要用多少天?
【分析与解】
我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．
通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；
但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2
验证第一种可能不成立(详细过程略)
再看第二种可能：
即丙工作1天，甲只需要工作
天．代入第3种情况知： 2
即甲工作1天，乙需要工作
,于是乙工作效率为 43
因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为
443412??,丙工作效率为??.
于是，一个周期内他们完成的工程量为
1??4?个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成． ?4?434343?
所以第二种可能是正确的．
于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：
??4天． 4399
而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．
于是，甲、乙、丙合作这件工程需4
4．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满?
【分析与解】
方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为x，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为x?5.
有工作效率之间的关系：
21122x?2??,通分为?,化简为x2?1?x2?2x?35,解得x?35. xx?5x?7x(x?5)(x?7)
所以，不打开出水孔需x?5?30分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为60?30?30 分钟．
视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为：
那么打开三个出水孔的工作效率为
?82.5分钟 105
方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管65?60?5分钟的进水量；在打
所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为30?1?
开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管72?60?12分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多72?65?7分钟.
因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管12?5?2?2分钟的进水量 因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．
那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水5?7?35分钟，也就是说，进水， 进水65?35?30分钟后，水面达到小孔高度．
因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要30?30?(1?
?3)?82.5分钟． 7
第23讲 运用比例求解行程问题
本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系．
1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?
【分析与解】
我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10
于是．甲：乙：丙=26：25：20．
于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20?25=500，速度差相当于26-25=l；
于是，追击时间为500?1=500分钟．
2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)
【分析与解】
第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车
111；所以客车速度为?3?；
?；货车的速度为?2=；货车先出发2小时，于是行走了?2?；于是剩下的路程为1?
??小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13还需要的时间为
的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5=
3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，,,,,，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?
【分析与解】
因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍．
那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：
10，1，0.1，0.01，0.001，,,,,是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+,,=在乌龟行走
，也就是说兔子只是9
米之前追不上．等乌龟在米之后，兔子就在它的前面了． 99
在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．
第24讲 应用题综合
较为复杂的以成本与利润、溶液的浓度等为内容的分数与百分数应用题．要利用整数知识，或进行分类讨论的综合性和差倍分问题．
1．某店原来将一批苹果按100％的利润(即利润是成本的100％)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38％的利润重新定价，这样出售了其中的40％．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2％．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?
【分析与解】
第二次降价的利润是：
(30.2％-40％×38％)÷(1-40％)=25％，
价格是原定价的(1+25％)÷(1+100％)=62.5％.
2．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10％，买三件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售．那么买三件的顾客有多少人?
【分析与解】
3×(1-20％)+1×100％=340％=4×85％，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85％．
由于买2件的，每件价格是原定价的1-10％=90％，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于
3×(2×90％)+2×(3×80％)=12×85％．
所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．
于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件．共买76件，所以后一种
)÷(-)=25(人)． 2523
其中买二件的有：25×=15(人)．
前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有8÷2=4(人)．
于是买三件的有33-15-4=14(人)．
3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5％，乙容器中的纯酒精含量为25％．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?
【分析与解】
设最后甲容器有溶液x立方分米，那么乙容器有溶液(11+15-x)立方分米．
有62.5％×x+25％×(26-x)=11，解得x=12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米．
而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15÷(1-25％)：20立方分米.
而乙容器最后只含有14立方分米的溶液，较第二次操作前减少了20-14=6立方分米，这6立方分米倒给了甲容器.
即第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米.
4．1994年我国粮食总产量达到4500亿千克，年人均375千克．据估测，我国现有耕地1.39亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵．平原地区平均产量已超过每公顷4000千克，若按现有的潜力，到2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵地区产量增加二成是很有把握的．同时在20世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过10％．请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均400千克吗?
试简要说明理由．
【分析与解】
山地、丘陵地区耕地为1.39÷2≈0.70亿公顷，那么平原地区耕地为1.39-0.70=0.69亿公顷，因此平原地区耕地到2030年产量为:×1.7=4692(亿千克)；
山地、丘陵地区的产量为：(×0.69)×1.2=2088(亿千克)；
粮食总产量为80(亿千克)．
而人口不超过12.7×1.1≈16.9(亿)，按年人均400千克计算．共需400×16.9=6760(亿千克)．
所以，完全可以自给自足．
5．要生产基种产品100吨，需用A种原料200吨，B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种(指B，C，D，E中的一种)原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨?
【分析与解】
我们知道题中情况下，生产产品100吨，需原料190吨。
生产产品100吨，需A种原料200吨，200?190，所以剩下的另一种原料应是生产100吨，需原料小于190吨的，B、C、D、E中只有E是生产100吨产品。只需180吨(180?190)，所以另一种原料为E，
设A原料用了x吨，那么E原料用了19-x吨，即可生产产品10吨：
+(19-x)×=10,解得x=10．
即A原料用了10吨，而E原料用了19-10=9吨．
6．有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144．其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克?
【分析与解】
在已称出的五个数中，其中有两队之和，恰好是四人体重之和是243千克，因此没有称过的两人体重之和为243-125=118(千克)．
设四人的体重从小到大排列是a、b、c、d，那么一定是a+b=99，a+c：=113．
因为有两种可能情况：a+d=118，b+c=125；
或b+c=118．a+d=125．
因为99与113都是奇数，b=99-a，c=113-a，所以b与c都是奇数，或者b与c都是偶数，于是b+c一定是偶数，这样就确定了b+c=118．
a、b、c三数之和为：(99+113+118)÷2=165．
b、c中较重的人体重是c，
c=(a+b+c)-(a+b)=165-99=66(千克)．
没有一起称过的两人中，较重者的体重是66千克．
补充选讲问题
1、A、B、C四个整数，满足A+B+C=2001，而且1<A<B<C，这四个整数两两求和得到六个数，把这6个数按从小到大排列起来，恰好构成一个等差数列
请问：A、B、C分别为多少?
【试题分析】
我们注意到：
①1+A<1+B<1+C<A+B<A+C<B+C
②1+A<1+B<A+B<1+C<A+C<B+C这两种情况有可能成立．
先看①1+A<l+B<l+C<A+B<A+C<B+C
(A-1)：(B-1)：(C-1)=2：3：4，A+B+C=2001
A-1+B-l+C-1=1998．
=444，A=444+1=445；
=1998×+l=667；C=1998×+l=889．
2?3?42?3?4
于是A-l=1998×
再看②l+A<l+B<A+B<1+C<A+C<B+C
(A-1)：(B-1)：(C-1)=1：2：4，A+B+C=2001．
A-1+B-1+C-1=1998．
于是A-1=1998×
，A不是整数，所以不满足．
于是A为445，B为667，C为889．
7．甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10点离开考场，同时午饭．但甲说：“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的．”乙说：“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”．求考试开始和午饭开始的时间．
【分析与解】
由题中条件知，午饭前2小时，考试开始后1.5小时，早者为10点；于是，有两种情况：
第一种情况：午饭开始前2小时较早，为10点，有午饭(10+2=)12点开始， 而考试开始后1.5小时应超过10时，即考试开始的时间在8点30分以后；
那么午饭前2.5小时为12-2.5为9点30分，而考试开始后1小时在9点30分后，所以，晚者为考试开始后1小时，为10点，所以10-1=9点开始考试的；
第二种情况：考试开始后1.5小时较早，为10点，有10-1.5为8点30分开始考试，午饭前2小时超过10点，则午饭应在12点以后；
那么午饭前2.5小时应在9点30
分之后，而考试后1小时为9点30分，有午饭前2.5小时为晚者，为10点，所以午饭是在10+2.5即12点30分开始的．
综合这两种情况，有下表
第25讲 数论综合2
进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．
1．算式14是几进位制数的乘法?
【分析与解】
注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．
因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有50＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．
【分析与解】
有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]
，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解． 19
345为原方程的解．
进一步计算有0，1，
小于96，即[x]小于
3．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．
【分析与解】
设这个四位数为?m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ①
每位数字均加3，并且没有进位，为
?n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,②
有②－①得：3333=n
－m）(n+m)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,③
将3333分解质因数，有×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m＞n－m，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：
如上表，只有满足，即原来这个四位数为1156．
表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．
【分析与解】
设有??，化简有(a－6)(b－6)=6=2×2×3×3，
评注：形如
?? (t为己知常数)的解法及解的个数． ABt
?? (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A－t)×(B－t)= t2； ABt
我们t将分解质因数后，再令(A－t)其中一个为t的一个约数(A－t)=a，那么A=a+t，则Ba
(t为已知常数)，
所以，一般公式为? (a为t的一个约数)； t2
设t的约数有x个，则A、B有
组(调换顺序算一种)． 2
注意有一组解A、B相等，就是?.
5．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；,,,,；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?
【分析与解】
记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，,,,,
则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，,,，标有1993的是1+2+3+,,+号．
1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993．
那么n=1+2+3+,,+k=
，即n=k(k+1). 2
当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解；
当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解；
当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；
当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118；
随着n的增大，k也增大．
所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118．
6.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的所有这样的三位数．
【分析与解】
设这个三位数为，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么?3?，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，
则+3=，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)= 必须有进位，所以c只能为7，8，9．
一一验，如下表：
?b?c)，则a+b+c=9，而c+33
验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足． 所以，原来的三位数为207，117或108．
7．将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．
【分析与解】
先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质．
依次类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾.
即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数．
第26讲 进位制问题
本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．
但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．
说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．
1．在几进制中有4×13=100．
【分析与解】
我们利用尾数分析来求解这个问题：
不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．
也就是说已经将12全部进到上一位．
所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．
但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．
我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52 < 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．
所以，n只能是6．
2．在三进制中的数，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
【分析与解】
我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．
注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．
于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：
所以，首位为5．
评注：若原为n进制的数，转化为n进制，则从右往左数每k个数一组化为n进制．
如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．
()2=(2415)8．
3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?
【分析与解】
(abc)6=a×6＋b×6+c=36a+6b+c；
(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．
所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；
因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．
所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7：
但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0
所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2．
于是，35a=15+80×2；a=5．
于是(abc)6 =(552)6=5×6+5×6+2=212．
所以．这个三位数在十进制中为212．
4．设1987可以在b进制中写成三位数，且x?y?z=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及
?(xyz)b?b2x?by?z?1987①
【分析与解】
?x?y?z?1?9?8?7②
①-②得：(b2-1)x+(b-1)y=1987-25．
则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962，
即(b-1)[(b+1)x+y]=1962．
所以，1962是(b-1)的倍数．
当b-1=9时，b=10，显然不满足；
当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，
,?(不满足),......则?所以，?
y?9y?29y?9???
显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足．
于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．
5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、
D的和为多少?
【分析与解】
于是，我们知道n=4，所以为4进制，
则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．
6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数.
【分析与解】
我们现把1024转化为二进制：
于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况．
并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如?111...10000...0?????????
=111...10111...1?????????????????则，
5个或以上0?2?9个1?2?9个1?2
* * * * * * * * * *?????????????可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1．
10个位置??
于是为C10?C10?C10?C10?C10 =
10?910?9?8?710?9?8?7?6?510?9?8?7?6?5?4?3
＋＋＋＋1 21?2?3?41?2?3?4?5?61?2?3?4?5?6?7?8
=45+210+210+45+1=511
于是，小于1024的“坏数”有511个.
???3?3...?3?1?7．计算：?3???????26的余数． ?2003个3?
【分析与解】
???????3?3...?3?1??0?1?????????????????3?=??1000...?=??222...2?
?3?3...?3?1?÷26=?222...226=(222)3所以，?3?????????÷(222)3
(222)3整除(222)3，7,,,,2，所以余(22)3=8．
所以余数为8．
8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、
5，那这样的三位数一共有多少个?
【分析与解】
我们设(3ab)10=(4cd)9=(5ef)8；
我们知道(4cd)9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×9～5×9-1，也就是324～406；
还知道(5ef)8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×8～6×8-1，也就是320～383；
又知道(3ab)10 在(300)10～(399)10之间．
所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.
9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．
①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天?
②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?
【分析与解】
①我们注意到
前若干天的和
2<天为1，前2天为2，前3天是2，所以前11天为2，前12天是2,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.
每天 前若干天的和 改写为2进制
8 16 10000
16 32 100000
32 64 1000000
+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天．
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．
我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分．
如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
显然有{x}<1．
O?{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)．
?81?2?????的和．
??...?????????????
?1981?1?+??；81?1?+?1981?1?
????2006?????
【分析与解】
我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律: 最后一项为1981不难得到，再看?
=?+?? ?06??
??+?1981?1?+??+??
+=1981=????????????????
?1981?1?+??+?1981?1?+??
?2006????2006????
?1981?1?+??的和为整数,
?2006????2006??
?1981?1?+??的和也为整数,但是我们知道0?{}+{y}<2；在此题中显然≠
?1981?1?+??=1
?1981?1?+??=0；
?2006????2006??
这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和
所以为+990+．
4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10
【分析与解】
我们注意到x不超过10，x不能小于5；
所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x}
当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足；
当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=；
当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=；
当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=；
当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0．
所以有x=6，7，8，9，10．
当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}=
6．r满足?r?
??19??20??21?91??=546．求[100r]的值?
?r??r??...?r????????100??100??100??100?
【分析与解】
显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：
2091、,,、均小于l， 100100
又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[r]=7，
则设有t个[r+
]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100
解得t=38．
所以有38项整数部分为7．
<8，即 r+<8．
r+?8，即 r+?8
于是，100[r+]<8×100．
100r+56<800，100r<744；100r+57?800，100r?743．
于是，[100r]=743
第28讲 数论综合3
具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．
2. 有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?
【分析与解】
设这三个自然数为A，B，C，且A=a×b，B=b×c,C=c×a，当a、b、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数a、b、c应尽可能的取较小值，显然当a、b、c为2、3、5时最小，有A=2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10．
于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．
4. 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，,,，16这16个整数中，有“好数”多少对?
【分析与解】
设这两个数为a、b，且a<b，有ab=k×(a+b)，即
当k=2时，有
111??. abk
?a?3?a?4111
??，即(a-2)×(b-2)=22=4，有?，但是要求a≠b．所以只,?ab2?b?6?b?4
当k=3时，有
?a?4?a?6111
??，即(a-3)×(b-3)=32=9，有?，但是要求a≠b．所以只,?ab3?b?12?b?6
逐个验证k的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.
6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，
8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?
【分析与解】
当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；
而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：
此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，
显然当N取l时，乙一定获胜；
当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；
当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．
于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．
8. 已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组?
【分析与解】
300=12×52，是a、b的倍数，而12是a、b的最大公约数，所以a、b有5种可能，即
由于a、b中总有一个为12，则c=2×3×5，其中x可以取0、1、2中的任意一个，y可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数a、b、c共有5×3×2=30组．
10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?
【分析与解】
设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．
依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子，,,，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有3N=2(3
a枚棋子，在第
1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(3
a-1)+枚棋子，所以
a-1)+1+39a=310a-1．
N=3a-1=59049a-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=(7×8435+4) a-1=7×，所以4a-1必须是7的倍数．
当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13,是7的倍数．
所以．圆周上还有23枚棋子．
12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，,,，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?
【分析与解】
显然A的个位数字不能为偶数，不然500,000A的后6位为000,000；
而A的个位数字也不能为5
，不然200，000A的后6位为000，000．
于是A的个位数字只能为1，3，7，9．
对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数t?，使得t×A≡111,111(mod 1,000,000).
如果存在t?>500,000,使得t×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的值.(说明见评注)
当t=999,999,有A=888,889时, tA=888,888,111,111,显然满足上面的条件. 所以888,889即为所求的A.
评注：如果存在t? >500，000，使得t×A≡111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即为题中所求的值．
这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得B×A=111，111(mod 1,000，000)，那么有(t×A-B ×A)=0(mod 1，000，000)，即(t-B)×A≡0(mod 1，000，000)．因为A不含有质因数2、5，所以(t-B)为1，000，000的倍数，t-B?1，000，000，那么t>1，000，000，与t为六位数矛盾．
也就是说不存在小于等于500，000的t，使得tA的后六位为111，111，那么也不可能使得tA的后6位相同．
14.已知m，n，k为自然数，m ? n ?k，n2+2-2是100的倍数,求m + n - k后的最小值．
【分析与解】
方法一：首先注意到100=2×5．
如果n=k，那么2是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k?1.
2m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k+1)被2整除,所以k?2.
设a=m-k，b=n-k，则a?b，且都是整数．
2+2-1被5整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．
不难看出2+2-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13．
而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立．
还需证明在a+b?10时，2+2-l不可能被25整除．
a?3时，2+2-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足2
25整除的要求．
因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．
方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣(2
+2n-2k=2k(2m-k+2n-k-1)因为2m-k+2n-k-l,所以k最小为2．
+2n-k-1)，令m-k=x, n-k=y
+2y≡l(mod 25)
因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，
或者是x=4P+3，y=4Q+3．
(1)x=4p+2，y=4q+1时
当x=2，y=1，于是2m+2n-2k=24+23-22=20不是100的倍数；
当x=6，y=l，于是2m+2n-2k=28+23-22=260不是100的倍数；
当x=10，y=l，于是2m+2n-2k=212+23-22=4100是 l00的倍数；
(2)x=4P+3，y=4Q+3
当x=3，y=3，于是2m+2n-2k=25+25-22=60不是l00的倍数；
当x=7，y=3，于是2m
+2n-2k=29+25-22=540不是l00的倍数：
其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．
第29讲 数论综合4
主要是“小升初”综合素质测试中较难的数论问题．
1．任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?
【分析与解】
将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P除以Q的商中．显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7．
记P÷Q=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7．
两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7．当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被7×7整除，也可能其中一个数是7×7的倍数，而另一个不是．于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1．
类似的分析，R中最多包含一个质因数5．
在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2．
在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数．此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数．即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7．
综上所述，R的最大值是2×3×5×7=40320．事实上，对于9个连续正整数560，561，,,，568，P除以Q所得到的商恰是40320．
2．老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：
(1)三个数都变成12？
(2)三个数变成23、15、19？
【分析与解】
如果两个数都加上2，那么它们的差不变；如果两个数都减去1，那么它们的差也不变； 如果一个数加上2，一个数减去1，那么它们的差增大或减小3．所以，不管怎样，它们的差增大或减小3的倍数．也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以3的余数是不变的．
21与7的差除以3的余数为2；21与8的差除以3的余数为1；7与8的差除以3的余数为1． （1)三个数都变成12，那么它们的差除以3的余数都是0，显然与开始给出的三个数之间差的余数有变化，所以不满足；
(2)三个数变成23、15、19，它们之间差除以3的余数依次为： 23与15的差除以3的余数为2； 23与19的差除以3的余数为1； 15与19的差除以3的余数为1．也就是说与开始给出的三个数之间差的余数没变化，所以满足．
3．对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数．
(1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4；
第13讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=…
第13讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=…
第13讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题．典型问题1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=…
本文由()首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：}