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不规则四棱锥外接球的体积怎么求`有什么公式
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先求其直径，直径为四棱柱的异面对角线
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扫描下载二维码四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABC是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA垂直平面ABCD，PA=5，_答案_百度高考
数学 球的体积和表面积...
四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABC是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA垂直平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．
第-1小题正确答案及相关解析扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
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求正四棱锥外接球体积正四棱锥底面边长与侧棱长皆为a,则此四棱锥的外接球体积为?
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正四棱锥正好可以内嵌于一个以他边为面对角线的正方形,可以很容易得出正四棱锥的立体中心与这个正方形重合,从而得到正四棱锥外接圆的半径（即立体中心到正四棱锥的顶点,这在正方形上等于变长的√3/2倍）r=√2/2*√3/2*a=a√6/4V圆=4/3* π*r*r*r=√6/8*π*a*a*a
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球课时作业（附答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
球课时作业（附答案）
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文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M &课时提升作业(十四)球&一、(每小题3分，共18分)1.(;济源高一检测)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A.3πa2&&&B.6πa2&&&C.12πa2&&&D.24πa2【解题指南】该球的直径等于长方体的对角线长.【解析】选B.由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的对角线长为 = a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的对角线，所以2R= a.所以S球=4πR2=6πa2.2.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　)A.1倍&&&&B.2倍&&&&C.3倍&&&&D.4倍【解题指南】可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论.【解析】选C.半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为 π×(3x)3，其余两个球的体积之和为 πx3+ π×(2x)3，所以 π×(3x)3÷ =3.【变式训练】(;佛山高一检测)两个球的表面积之比是1∶16，则这两个球的体积之比为________.【解析】由球的表面积公式S=4πR2和体积公式V= πR3，有 = ，所以 =1∶64.答案：1∶643.(;西安高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2 ，则四面体A-B1CD1的外接球的体积为(　　)&A.32π&&&&B.36π&&&&C.16 π&&&&D.108π【解析】选B.因为四面体A-B1CD1是由面对角线组成的正四面体，所以其外接球为正方体的外接球，半径为正方体的对角线的一半，即R= =3，则外接球的体积为 ×33π=36π.4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为(　　)A. &&&&B. &&&&C. &&&&D. 【解析】选B.依题可以构造一个正方体，其对角线就是外接球的直径.设侧棱长为a，球半径为r.因为r=1，所以 a=2，则a= .
5.已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则(　　)&A.以上四个图形都是正确的B.只有(2)(4)是正确的C.只有(4)是错误的D.只有(1)(2)是正确的【解析】选C.棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，过棱锥任何三个顶点的截面都不过球心.6.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是&π，那么这个三棱柱的体积是(　　)A.96 &&&B.16 &&&C.24 &&&D.48 【解析】选D.由 πR3= π，所以R=2.所以正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a，则 • a=2，所以a=4 .所以V= &#&# .二、题(每小题4分，共12分)7.(;上海高一检测)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=1，AB=BC=2，则球O的表面积为________.&【解析】由题知：△SAC，△SAB，△SBC均为直角三角形，O是SC的中点，从而OB=OA= SC=OS=OC= ，所以球O的表面积为9π.答案：9π8.(;新课标全国卷Ⅰ改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________.【解题指南】正方体容器上底面截球得小圆的直径为正方体的棱长，结合截面图形，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球半径的方程，求出球半径，再利用V= πR3求出球的体积.【解析】设球的半径为R，由勾股定理可知，R2=(R-2)2+42，解得R=5，所以球的体积V= πR3= π×53= (cm3).答案： cm39.(;福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________.【解题指南】只要清楚一个结论，外接球的直径就是正方体的对角线.【解析】球是棱长为2的正方体的外接球，则球的直径2R= =2 ，所以球的表面积为S=4πR2=12π.答案：12π【变式训练】(;新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.【解题指南】利用正四棱锥的性质，求得OA的长，即可得球的表面积.【解析】设正四棱锥的高为h，则 ×( )2h= ，解得高h= ，则底面正方形的对角线长为 × = ，所以OA= = ，所以球的表面积为4π•( )2=24π.答案：24π三、解答题(每小题10分，共20分)10.(;江津高一检测)一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.【解析】(1)当截面在球心的同侧时，球的轴截面如图所示，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.因为π&#=49π，所以O2B=7cm.因为π&#=400π，所以O1A=20cm.设OO1=xcm，则OO2=(x+9)cm.在Rt△OO1A中，R2=x2+202，在Rt△OO2B中，R2=(x+9)2+72，所以x2+202=72+(x+9)2，解得x=15，所以R2=x2+202=252，所以R=25cm.(2)当截面位于球的两侧时，球的轴截面如图所示&由已知，类似于(1)得，x2+202=72+(9-x)2.解出x=-15，舍去.所以S球=4πR2=2500πcm2.11.已知正四面体的棱长为a，求它的外接球的半径及外接球的体积.【解析】如图，设SO1是正四面体S-ABC的高，则外接球的球心O在SO1上.设外接球半径为R.因为正四面体的棱长为a，O1为正△ABC的中心，所以AO1= × a= a，SO1= = = a.在Rt△OO1A中，R2=A +O =A +(SO1-R)2.即R2= + ，解得R= a，所以所求外接球体积V球= πR3= πa3.【一题多解】如图，如图，设SO1是正四面体S-ABC的高，则外接球的球心O在SO1上，设外接球的半径为R，因为正四面体的棱长为a，O1为正三角形ABC的中心，所以AO1=&× a= a.延长SO1与球面交于点M，则SM为球的直径，所以SM=2R，在Rt△SAO1中，SO1= = = a.在Rt△SAM中，SA2=SO1×SM.所以SM= = = a.即2R= a，所以R= a，V球= πR3= πa3.&一、(每小题4分，共16分)1.(;焦作高一检测)一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)A. &&&&B. &&&&C. &&&&D. 【解析】选A.由表面积面积相等得到正方体的棱长a和球的半径r的关系a= r，再由体积公式求得体积比为 .2.(;驻马店高一检测)一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为(　　)A.4∶9&&&B.9∶4&&&C.4∶27&&&D.27∶4【解题指南】设球的半径为r，圆锥的高为h，根据体积相等，可得到r，h的关系.【解析】选A.设球的半径为r，圆锥的高为h，则 π(3r)2h= πr3，可得h∶r=4∶9.【举一反三】本题在体积相等的前提下，条件改为圆锥的底面半径与球的半径相等，求圆锥的高与半径的比.【解析】设球的半径为r，圆锥的高为h，则 πr2h= πr3，可得h∶r=4∶1.3.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为(　　)A. &&&B. &&&C. &&&D. 【解析】选C.由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，如图所示，设SD=x，则DC=4-x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD.在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD=BD=x.又因为SC为直径，所以∠SBC=∠SAC=90°，所以∠DBC=∠DAC=45°，所以在△BDC中，BD=4-x，所以x=4-x，解得x=2，所以AD=BD=2，所以△ABD为正三角形，所以V= S△ABD×4= .4.(;辽宁高考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为(　　)A. &&&&&&&&B.2 C. &&&&&&&&D.3 【解题指南】对于简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中.【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心O和三棱柱的侧棱中点的大圆面，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形，其外接圆的圆心O′为其斜边BC的中点，连接OA，OO′，O′A，由勾股定理得，OA2=O′O2+O′A2.其中OA=R，OO′= AA1=6，O′A= BC= ，所以球O的半径为OA=R= = .二、题(每小题5分，共10分)5.(;新课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.【解析】因为α截球O所得截面的面积为π，所以截面α的半径为1.设球的半径为R，则AH= ，BH= ，由勾股定理得12+ =R2，解得R2= .所以球O的表面积为4πR2= π.答案： π6.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________.【解析】设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有 ×4π =π ，即r2= r1，所以O1O2= = ，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1，h2，则 = = .答案： 三、解答题(每小题12分，共24分)7.(;蚌埠高一检测)在正四面体ABCD中(AB=BC=CD=DA=AC=BD=a)，球O是内切球，求球O的表面积.【解析】取DB中点P，连接PA，PC，OA，OB，OC，OD，设VABCD的高为h，球O的半径为r，则VABCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-BCD+VO-ACD.即 × h=4× × r，又h= a，所以r= a.则S=4πr2= a2.【拓展延伸】处理多面体之间或多面体与球之间的切接关系问题时，常用的两种转化方法(1)转化为平面图形之间的内切或外接关系.(2)利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法.8.有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径是r的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥形容器中取出后，水面高是多少？【解题指南】容器的容积等于球的体积与水的体积之和，取出球后，水在容器内形成小圆锥的截面仍是正三角形.【解析】如图作出轴截面，&因容器的轴截面是一个正三角形，根据切线的性质知当球在容器内时，水面的深度为3r，水面半径为 r，则容器内水的体积为：V=V圆锥-V球= π•( r)2•3r- πr3= πr3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为 ，从而容器内水的体积为：V′= π• •h= πh3，由V=V′，所以h= r.【变式训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内有两球互相外切，并且第一个球与过A点的三个面相切，第二个球与过C1点的三个面相切.(1)求两球半径之和.(2)两球半径各为多少时，两球体积之和最小？&【解析】(1)如图，AA1C1C为过球心的对角面，AC1= .&设两球半径分别为R，r，则有R+r+ (R+r)= ，所以R+r= .(2)设两球的体积之和为V，则V= π(R3+r3)= π(R+r)(R2-Rr+r2)= π× .所以当R=r= 时，V有最小值. 文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M
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