当前位置： & 围棋人机对弈五十年：第一代围棋AI是中国教授发明(2) 扫描到手机 10:53:07 & & & 陈志行潜心研发“手谈”3年后，终于在世界比赛中斩获首个围棋人工智能世界冠军。当时的“手谈”以战斗力超强著称，智能水平遥遥领先国际同行。之后“手谈”对弈水平不断进步，在国际性的电脑围棋对弈比赛上连续夺冠，夺得了该时期大部分世界比赛的冠军。当时个人电脑系统刚在世界范围内普及，许多围棋爱好者还专门购买电脑安装“手谈”软件，用作学习围棋和训练的工具，“手谈”软件在世界范围内销售量排名第一。可以说，“手谈”软件的成功在国内掀起了一波围棋人工智能研究的热潮。“蒙特卡洛树”算法开启二代围棋人工智能当如IBM深蓝那样的超级电脑，已经能够击败世界上最好的国际象棋棋手时，围棋软件却仍然无法击败业余围棋高手。但是，从2006年开始，随着应用蒙特卡洛方法的树搜索即蒙特卡洛树搜索和机器学习在围棋上的应用，电脑围棋水平有了突飞猛进的增长，棋力普遍提升到业余高段的水准。围棋的棋子多，组合可能性也多。蒙特卡洛算法是一种基于“随机数”的计算方法，这一方法源于美国在二战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。频率决定概率，围棋对弈软件将最常见的对弈定式及棋形输入其中，从而达到较短时间提高棋力的功效。用通俗的语言解释这种算法：“简单来说，人脑下围棋靠的是逻辑思维，而蒙特卡洛算法就是一个抽样调查的方法。其实就是一个赌博概率式的方法，如果电脑下100盘棋，用这种下法赢了60盘，用另一种下法只赢了50盘，那么，它就会认定第一种下法，而淘汰另一种下法。”蒙特卡洛树搜索算法的出现，可以看作是人工智能取得突破性进展的标志：计算机的思考方式，已经有点接近人类的思维方式了。目前使用蒙特卡洛树搜索的围棋对弈软件有疯石围棋(CrazyStone)、银星围棋(SilverStar)、天顶围棋(ZEN)等，都取得了不错的成绩。2011年8月欧洲围棋大会，电脑围棋软件ZEN在19路盘上被让五子击败日本职业棋手林耕三六段。2012年3月，ZEN被让四子击败了日本超一流棋手武宫正树九段，这是围棋程序首次在被让四子的情况下战胜第一流职业选手。2013年，CrazyStone被让四子击败日本石田芳夫九段，2014年，CrazyStone被让四子击败日本依田纪基九段。可见围棋软件进步迅速，至少比起十年前对弈水平已经提高一大截，受让四子优势明显。 用微信扫描二维码分享至好友和朋友圈 为您推荐：当前位置： >> 四升五暑假讲义 1四升五火箭班暑 假 讲 义2目1. 数的整除性的复习与提高录 3 7 13 19 26 31 41 45 49 52 61 65 702.质数、合数和分解质因数3.
最大公因数、最小公倍数4.同余问题5.奇偶性6.行程问题（一）7.列方程解应用题8.不定方程9.牛吃草问题10.逻辑推理11.抽屉原理12.多边形的面积13.用等量代换求面积31. 数的整除性的复习与提高一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除 或 b 能整除 a，记作 b|a。即 a 是 b 的倍数，而 b 是 a 的约数（因数）。 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ? ”； 因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 二、整除判断方法： 1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。 2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除。 3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。 4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。 5. 能被 7 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。 6. 能被 11 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质： 1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。 2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。 四、基本方法：1、利用整除性解数字谜； 2、求一个数除以另一个数的余数（同余法）； 3、简单验算。 例 1 四位数 7 a 4b 能被 18 整除，要使这个四位数尽可能的小，a 和 b 是什么数字？ 解：18=2×9，并且 2 与 9 互质，根据前面的性质 4，可以分别考虑被 2 和 9 整除. 要被 2 整除，b 只能是 0，2，4，6，8. 再考虑被 9 整除，四个数字的和就要被 9 整除，已有 7+4=11. 如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740； 如果 b=2，只有 a=5，此数是 7542； 如果 b＝4，只有 a＝3，此数是 7344； 如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146； 如果 b＝8，只有 a＝8，此数是 7848. 因此其中最小数是 7146. 根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例 1 就是一个典型. 例 2 一本老账本上记着：72 只桶，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上. 解：把□67.9□写成整数 679，它应被 72 整除.72＝9×8，9 与 8 又互质.按照前面的性质 4，只要分别 考虑 679 被 8 和被 9 整除.从被 8 整除的特征，79 要被 8 整除，因此 b＝2.从 6792 能被 9 整除，按照被 9 整除特 征，各位数字之和+24 能被 9 整除，因此 a＝3. 这笔帐是 367.92 元. 例 3 在 1，2，3，4，5，6 六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现）， 使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小. 解：如果选数字 5，组成数的最后一位数字就必须是 5，这样就不能被偶数 2，4，6 整除，也就是不能 选 2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选 5，而选其他五个数字 1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，4为了能整除 3 和 6，所用的数字之和要能被 3 整除，只能再添上一个 2，16+2＝18 能被 3 整除.为了尽可能小， 又要考虑到最后两位数能被 4 整除.组成的数是 122364. 例 4 四位数 7□4□能被 55 整除，求出所有这样的四位数. 解：55＝5×11，5 与 11 互质，可以分别考虑被 5 与 11 整除. 要被 5 整除，个位数只能是 0 或 5. 再考虑被 11 整除. （7+4）-（百位数字+0）要能被 11 整除，百位数字只能是 0，所得四位数是 7040. （7+4）-（百位数字+5）要能被 11 整除，百位数字只能是 6（零能被所有不等于零的整数整除），所 得四位数是 7645. 满足条件的四位数只有两个：. 例 5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被 11 整除，这样的数中，最大的是哪一个？ ，要使它被 11 整除，要满足 （9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a） 能被 11 整除，也就是 7+b-a 要能被 11 整除，但是 a 与 b 只能是 0，1，2，3，4 中的两个数，只有 b＝ 4，a＝0，满足条件的最大七位数是 9876504. 再介绍另一种解法. 先用各位数字均不相同的最大的七位数除以 11（参见下页除式）. 要满足题目的条件，这个数是 9876543 减 6，或者再减去 11 的倍数中的一个数，使最后两位数字是 0， 1，2，3，4 中的两个数字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是 9876504. 思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？ （答：1023495） 例 6 某个七位数 1993□□□能被 2，3，4，5，6，7，8，9 都整除，那么它的最后三个数字组成的三位 数是多少？ 与上例题一样，有两种解法. 解一：从整除特征考虑. 这个七位数的最后一位数字显然是 0. 另外，只要再分别考虑它能被 9，8，7 整除. 1＋9＋9＋3＝22，要被 9 整除，十位与百位的数字和是 5 或 14，要被 8 整除，最后三位组成的三位数 要能被 8 整除，因此只可能是下面三个数： 90， 其中只有 199320 能被 7 整除，因此所求的三位数是 320. 解二：直接用除式来考虑. 2，3，4，5，6，7，8，9 的最小公倍数是 2520，这个七位数要被 2520 整除. 现在用 1993000 被 2520 来除，具体的除式如下：因为 ＝320，所以 =1993320 能被 2520 整除. 例 7 下面这个 41 位数能被 7 整除，中间方格代表的数字是几？5解：因为 ×7×11×13×37，所以 ×111111 和 ×111111 都能被 7 整除.这样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的 18 位数，也都能被 7 整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被 7 整除，那么只要中间的 55□99 能被 7 整除，原数就能被 7 整除. 把 55□99 拆成两个数的和： 55A00＋B99， 其中□=A+B. 因为 7 丨 55300，7 丨 399，所以□=3+3＝6. 注意，记住 111111 能被 7 整除是很有用的. 例 8 求 645763 除以 7 的余数. 解：可以先去掉 7 的倍数 630000 余 15763，再去掉 14000 还余下 1763，再去掉 1400 余下 363，再去掉 350 余 13，最后得出余数是 6.这个过程可简单地记成 763→→13→6. 如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成： 000→1000→6. 带余除法可以得出下面很有用的结论： 如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除. 例 9 检验下面的加法算式是否正确： 25＝。 分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。如果不等，那么这 个加法算式肯定不正确。上式中，三个加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因 为 0≠1，所以这个算式不正确。 例 10 检验下面的减法算式是否正确： 2。 分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的九余数上加 9，然后再减）应当等 于差的九余数。如果不等，那么这个减法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是 3，减数的九余数是 6，由 （9+3）-6＝6 知，原题等号左边的九余数是 6。等号右边的九余数也是 6。因为 6＝6，所以这个减法运算可能正 确。 值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、减法、乘法（见例 5）运算的结 果是否正确时，如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还 不能确定算式是否正确，因为九余数只有 0，1，2，?，8 九种情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃 九法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。 例 11 检验下面的乘法算式是否正确： 4＝。 分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，那么 这个乘法计算肯定不正确。上式中，被乘数的九余数是 4，乘数的九余数是 6，4×6＝24，24 的九余数是 6。乘 积的九余数是 7。6≠7，所以这个算式不正确。 说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余数为零时，利用弃九法验算除法可 化为用弃九法去验算乘法。例如，检验 3=1517 的正确性，只需检验 3801 的正确性。 [思维拓展] 甲、乙两人进行下面的游戏. 两人先约定一个整数 N.然后，由甲开始，轮流把 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数字之一填入下 面任一个方格中 每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数 能被 N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被 N 整除，就算甲胜. 如果 N 小于 15，当 N 取哪几个数时，乙能取胜？6解：N 取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被 N 整除，乙 不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是 0 或 5 的数，甲就获胜. 上面已经列出乙不能获胜的 N 的取值. 如果 N＝1，很明显乙必获胜. 如果 N＝3 或 9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成 3 的整数倍或 9 的整数倍.因 此，乙必能获胜. 考虑 N＝7，11，13 是本题最困难的情况.注意到 ×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左 往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙 就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被 1001 整除.根据前面讲到的性质 2，这 个六位数，能被 7，11 或 13 整除，乙就能获胜. 综合起来，使乙能获胜的 N 是 1，3，7，9，11，13. 记住，×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.练习1、 32x5y 能同时被 2、3、5 整除，求所有满足条件的五位数。 解：3，32850。 2、 已知 72Ox931y，求满足条件的五位数。 解：39312。提示：注意 x，y 都是小等于 9 的数。 3、 已知五位数 154xy 能被 8 和 9 整除，求 x＋y 的值。 解：8。提示：同样注意 x，y 小等于 9。 4、 求能被 26 整除的六位数 x1991y。 解：，619918。 5、 求能被 33 整除的六位数 x8919y。 解：9195。 6、 王老师为班级买了 28 个价格相同的圆规，共付人民币 1□6.□8 元，已知□处的数字相同，问每个圆 规多少元？ 解：4.51 元。 7、 求同时能够被 9、25、8 整除的七位数 x1992yz。 解：6199200。 8、 如果六位数 1992□□能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 解：90。 9、 个位是 6，而且能被 3 整除的五位数有多少个？ 解：3000 个。（整除性问题中有部分问题与计数问题结合在一起，下面是两个简单的例子，其中后一个例 子中，用到了容斥原理）。 10、 分母是 1001 的最简真分数有多少个？ 解：994 个。72. 质数、合数和分解质因数一．基本概念和知识 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1 不是质数，也不是合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数（因数），那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式： a1 1 N=r? a2 r2 ? a3r 3 ?? an rn ， a 其中1、 2、 3a a ??an 都是合数 N 的质因数， a1&a2&a3&??&an。 且互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。两个不同的质数肯定互质，但两个合数也会互质，比如 4 和 9；还有任意两个连续自然数都是互质的。二、基本方法： 1、熟记 100 以内的所有质数，这是小学数学的基本功： 2、100 以内的质数的特征：都是 6 的倍数前后的数； 3、分解质因数是重要工具，熟练使用； 4、求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×??×(rn+1) 例题 例 1 1～100 这 100 个自然数中有哪些是质数？ 分析与解： 1 既不是质数也不是合数。 2 是质数，留下来，后面凡能被 2 整除的数都是合数，都划去； 3 是质数，留下来，后面凡能被 3 整除的数都是合数，都划去； 类似地，把 5 留下来，后面凡是 5 的倍数的数都划去； 把 7 留下来，后面凡是 7 的倍数的数都划去。 经过以上的筛选，划去的都是合数，余下 26 个数，除 1 外，剩下的 25 个都是质数。这样，我们便得到 了 100 以内的质数表： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 这些质数同学们应当熟记！ 细心的同学可能会注意到，以上只划到 7 的倍数，为什么不继续划去 11，13，?的倍数呢？事实上， 这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如，100 以内 11 的倍数应该是 11×A≤100（其中 A 为整数）， 显然，A 只能取 2，3，4，5，6，7，8，9。因为 4=2 ，6=2×3，8=23，9=3 ，所以 A 必是 2，3，5，7 之一的倍数。由此推知，11 的倍数已全部包含在 2，3，5，7 的倍数中，已在前面划去了。 要判断一个数 N 是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然数 2，3，4，5，6，7，8，?， N-1 去除 N，其中只要有一个自然数能整除 N，N 就是合数，否则就是质数。但这样太麻烦，因为除数太多。能不 能使试除的数少一点呢？由例 1 知，只要用从小到大的质数去除 N 就可以了。例 2 给出的判别方法，可以使试除 的数进一步减少。 例 2 判断 269，437 两个数是合数还是质数。 分析与解：对于一个不太大的数 N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于 N 且最接近 N 的平 2 方数 K ，再写出 K 以内的所有质数。如果这些质数都不能整除 N，那么 N 是质数；如果这些质数中有一个能整除 N，那么 N 是合数。 2 因为 269＜17 =289。17 以内质数有 2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是 9，所以 269 不能被 2，5 整除；2+6+9=17，所以 269 不能被 3 整除。经逐一判断或试除知，这 6 个质数都不能整 除 269，所以 269 是质数。 2 因为 437＜21 =441。21 以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。容易判断 437 不能被 2，3，5，7， 11 整除，用 13，17，19 试除 437，得到 437÷19=23，所以 437 是合数。2 28对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例 2 的方法的优越性。判别 269，用 2～268 中所有的 数试除，要除 267 个数；用 2～268 中的质数试除，要除 41 个数；而用例 2 的方法，只要除 6 个数。 例 3 判断数 1 是质数还是合数？ 分析与解：按照例 2 的方法判别这个 13 位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办 法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于 1 的整数的乘积，那么这个数是合数。 根据整数的意义，这个 13 位数可以写成： 1 =0+11111×（） =00001。 由上式知，111111 和 1000001 都能整除 1，所以 1 是合数。 这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。 例 4：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数。 ∵ 210=2×3×5×7 ∴ 可知这三个数是 5、6、7。 例 5：两个质数的和是 40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把 40 表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵ 17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴ 所求的最大值是 391。 例 6：自然数 是质数，还是合数？为什么？ 解： 是合数。 因为它除了约数 1 和它本身，至少还有约数 3，所以它是一个合数。 例 7：把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数 2、3、5、7 各共有 2 个，所以如把 14（=2×7）放在第一组，那么 7 和 6（=2×3）只能放 在第二组，继而 15（=3×5）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。 ∴ 这五个数可以分为 14 和 15，5、6 和 7 两组。 例 8：有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是 42560。求这三个自 然数。 分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于 4×40=64000，远大于 42560。因此，要 求的三个自然数在 30~40 之间。 6 解：42560=2 ×5×7×19 5 =2 ×（5×7）×（19×2） =32×35×38（合题意） ∴ 要求的三个自然数分别是 32、35 和 38。 例 9：有三个自然数 a、b、c，已知 a×b=6，b×c=15，a×c=10。求 a×b×c 是多少？ 解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。 ∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5) 2 2 2 2 2 2 ∴ a ×b ×c =2 ×3 ×5 2 2 ∴ (a×b×c) =(2×3×5) ∴ a×b×c=2×3×5=30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在例 9 中有 a =2 ,b =3 ,c =5 ，其中 2 =4，3 =9，5 =25，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一 个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。 2 2 2 2 2 2 如：1 =1，2 =4，3 =9，4 =16，?，11 =121，12 =144，?其中 1，4，9，16，?，121，144，?都叫做完全 平方数。 下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。9例：把下列各完全平方数分解质因数。 9，36，144，。 2 2 2 2 4 6 2 2 4 2 解：9=3 36=2 ×3 144=3 ×2 1600=2 ×5 ×5 ×7 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。 反之，如果把一个自然数分解质因数之后 ，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方 数。 2 2 2 2 如上例中，36=6 ，144=12 ，1600=40 ， 。 例 10：一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数，求 a 的最小值与这个完全平方数。 分析 ∵ a 与 1080 的乘积是一个完全平方数。 ∴ 乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。 3 3 解：∵ 1080×a=2 ×3 ×5×a， 3 3 又∵ 1080=2 ×3 ×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。 ∴ a 必含质因数 2、3、5，因此，a 最小为 2×3×5。 ∴ 1080×a=×5=00。 答：a 的最小值为 30，这个完全平方数是 32400。 例 11：360 共有多少个约数？ 3 2 分析 360=2 ×3 ×5 2 2 3 为了求 360 有多少个约数，我们先来看 3 ×5 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以 1、2、2 、2 ， 3 2 2 即得到 2 ×3 ×5（=360）的所有约数。为了求 3 ×5 有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数，然后再把这些 2 2 约数分别乘以 1、3、3 ，即得到 3 ×5 的所有约数。 2 解：记 5 的约数个数为 Y1，3 ×5 的约数个数为 Y2。 3 2 360（=2 ×3 ×5）的约数个数为 Y3。 由上面的分析可知： Y3=4×Y2，Y2=3×Y1， 显然 Y1=2（5 只有 1 和 5 两个约数）。 因此 Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。 所以，360 共有 24 个约数。 2 3 3 2 Y3=4×Y2 中的“4”即为“1、2、2 、2 ”中数的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 360=2 ×3 ×5 2 3 2 中质因数 2 的个数加 1；Y2=3×Y1 中的“3”即为“1、3、3 ”中数的个数，也就是 2 ×3 ×5 中质因数 3 的个数 3 2 加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 2 ×3 ×5 中质因数 5 的个数加 1。因此 Y3=（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）=24。 3 2 对于任何一个合数，用类似于 2 ×3 ×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合 数的约数个数的重要结论： 一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘积。 例 12：求 240 的约数的个数。 4 1 1 解：∵ 240=2 ×3 ×5 ， ∴ 240 的约数的个数是： （4＋1）×（1＋1）×（1＋1）=20 个， ∴ 240 有 20 个约数。 请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？ 例 13 1×2×3×?×100 的末尾有连续多少个零？ 解：24 个。 例 14 1×2×3×?×999×1000 的末尾有连续多少个零？ 解：249 个。 例 15 把若干个自然数 1、2、3?乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的 自然数最小应该是多少？ 解：55。1011习 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有：24、57、63、87 质数有：13、29、41、79 2. 写出两个都是质数的连续自然数。 2和3 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 9 和 15题4. 判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（×） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（×） （3）7 的倍数都是合数。（×） （4）20 以内最大的质数乘以 10 以内最大的奇数，积是 171。（√） （5）只有两个约数的数，一定是质数。（√） （6）两个质数的积，一定是质数。（×） （7）2 是偶数也是合数。（×） （8）1 是最小的自然数，也是最小的质数。（×） （9）除 2 以外，所有的偶数都是合数。（√） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是 7。（√） 5. 在（ ）内填入适当的质数。 10＝（3）＋（7） 10＝（2）×（5） 20＝（2）＋（7）＋（11） 8＝（2）×（2）×（2） 6. 分解质因数。 6556945 65 1365 ? 5 ? 13256 2 28 2 14 72 94 47 94 ? 2 ? 4756 ? 2 ? 2 ? 2 ? 776 135 1055 1352 76 2 38 19 76 ? 2 ? 2 ? 1987 933 27 3 9 3 135 ? 5 ? 3 ? 3 ? 35105 3 21 7105 ? 5 ? 3 ? 7123 87 29 87 ? 3 ? 293 93 31 93 ? 3 ? 317.两个质数的和是 18，积是 65，这两个质数分别是多少？ 这两个质数分别是 3 和 15。 8. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（ 13 和 31 37 和 73 79 和 97 ）。9. 用 10 以内的质数组成一个三位数，使它能同时被 3、5 整除，这个数最小是（375），最大是（735）。 可以这样想：（1）10 以内质数有：2、3、5、7；（2）同时能被 3、5 整除，个位上数只能是 5；这个 三位数各数位之和也必须是 3 的倍数，所以只能用 3 和 7。10、边长为自然数，面积为 105 的形状不同的长方形共有多少种？ 105=1×105=3×35=5×21=7×15 共 4 种 11、五个相邻自然数的乘积是 55440，求这五个自然数。 ×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11 12、自然数 a 乘 338，恰好是自然数 b 的平方。求 a 的最小值以及自然数 b。 338=2×13×13 a 取 2 a×338=2×2×13×13 b=2×13=26 13、 求 10500 的约数共有多少个？ 2 3 10500=2 ×5 ×3×7 故其约数个数是 （2+1）×（3+1）×（1+1）×（1+1）=48 个 14、现有 1，3，5，7 四个数字,用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？ 11，13，17，31，37，53，71，73； 15、a，b，c 都是质数，a＞b＞c，且 a×b+c=88，求 a，b，c。 17，5，3 提示：c 小于 9，否则 a×b+c＞88。对 c=2，3，5，7 四种情况逐一试算。 16、A 是一个质数，而且 A+6，A+8，A+12，A+14 都是质数。试求出一个满足要求的质数 A。 5。 提示： A+6，A+8，A+12，A+14 分别与 A+1，A+3，A+2，A+4 除以 5 的余数相同。因 为自然数除以 5 只有整除、余 1、余 2、余 3、余 4 五种情况，原来的四个数都是大于 5 的质数，不应被 5 整除， 只能是余 1、余 2、余 3、余 4，所以 A=5。133. 最大公因数、最小公倍数一、基础知识： 约数和倍数： 如果一个自然数 a 能被自然数 b 整除，那么称 a 为 b 的倍数，b 为 a 的约数。 最大公约数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公 约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数 a1，a2，?，an 的最大公 约数通常用符号（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。 最小公倍数： 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公 倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数 a1，a2，?，an 的最小公 倍数通常用符号[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 二、基本性质的性质： 1、 两个数都除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。 5、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 6、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 三、基本方法： 1、写出一个数的约数的方法：成对写出； 2、求最大公约数基本方法： 1）、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来； 2）、短除法：先找公有的约数，然后相乘； 3）、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数； 3、求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法。 ☆从两个数的最大公约数出发分析： 如果 d 是 a、b 的公约数，这 dOa，dOb。则 d 的质因子应是 a 和 b 的公有的，而 a、b 所有公有的质因子 构成的数即为最大公约数。 那么不难由质因子的互相归属关系得到下面的性质： 如果 c 是 a、b 的公约数，d 是 a、b 的最大公约数，则 c 是 d 的约数DDD[性质 1] 不难对最小公倍数也做类似分析， 则如果 m 是 a、 的最小公倍数， m 的质因子恰好包括了 a、 的质因子。 b 则 b 例 1 、用辗转相除法求（）。 答：19。 例 2、育才中学初一（3）班有男同学 27 人，女同学 18 人，全班同学去划船（每条船不超过 6 人），要保 证每条船上男、女同学都分别相等，至少应该租几条船？ 解：（27，18） = 9（条） 答：至少要租 9 条船。 例 3、 有 320 个苹果，240 个橘子，200 个梨，用这些水果最多可分成多少份同样的礼物？ 在每份礼物中， 苹果、橘子、梨各有多少个？ 答：最多可分成 40 份同样的礼物每份礼发挥中有 8 个苹果，6 个橘子，5 个梨。 例 4、某车站有开往甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔 15 分钟开出一辆，到乙地的汽车每隔 20 分 钟开出一辆，到丙地的汽车每隔 50 分钟开出一辆。如果三种车的头班车都在早 6 时开出，那么，最近在什么时 间开往这三地的汽车又一次同时从该站发车？ 答：11 时。 例 5、加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个14工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配 几个工人？ 分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数，要求三道工序“至少”要多 少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。 〔3，10，5〕=5×3×2=30 ∴ 各道工序均应加工 30 个零件。 30÷3=10（人） 30÷10=3（人） 30÷5= 6 （人） 答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少要分配 6 人。 例 6、有一个数在 700 到 800 之间，用 15、18 和 24 去除。都不能整除。如果给这个数加 1，就能同时被 15， 18 和 24 整除。这个数是 。 解：这数加上 1，是 15，18，24 的公倍数，因而是它们的最小公倍数[15，18，24]=360 的倍数。由于这个 数加个 1 在 701 到 801 之间，所以这个数是 2×360-1=719。 例 7、有一盒糖，如果按每 4 块一堆分开，结果多出 1 块；按每 5 块一堆分开，也多出 1 块；按每 6 块一堆 分开，还是多出 1 块。问：这盒糖至少有多少块？ 解：如果从何种拿走一块糖，那么剩下的糖分别按 4 块、5 块、6 块一堆分开，都是正好分完，即拿走一块 后，剩下的块数，一定是 4、5、6 的公约数。由于题目的要求至少有多少块糖，所以应该是 4、5、6 的最小公倍 数再加 1。也就是说这盒糖至少有 61 块。 例 8、在被除数小于 100 的条件下，在方格中填上适当的数。解：60÷14 = 4??4 ，60÷11 = 5??5 ，60÷9 = 6??6例 9、四个连续自然数的最小公倍数是 5460，这四个数的和是多少？例 10、两个数的最大公约数是 15，最小公倍数是 450，求这两个数的所有可能。 解：15，450 30，225 15，150 75，90 例 11 用 60 元钱可以买一级茶叶 144 克，或买二级茶叶 180 克，或买三级茶叶 240 克。现将这三种茶叶分 别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解： 因为 144 克一级茶叶、 180 克二级茶叶、 240 克三级茶叶都是 60 元， 分装后每袋的价格相等， 所以 144 克一级茶叶、180 克二级茶叶、240 克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是 144，180，240 的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144，180，240 的最大公约数。所以 （144， 180， 240） =2×2×3=12， 即每 60 元的茶叶分装成 12 袋， 每袋的价格最低是 60÷12=5 （元） 。 为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。 例 12 用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？ 分析与解：因为 498，450，414 除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。 498-450=48，450-414=36，498-414=84。 所求数是（48，36，84）=12。 例 13 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一 的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是 1111，它们的公约数一定是 1111 的约数。因为 15×11，它的约数只能是 1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是 1111，所以三个自然数都小于 不可能是三个自然数的公约数，而 101 是可能的，比如取三个数为 101，101 和 909。所以所求数是 101。 例 14 在一个 30×24 的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个 格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成 6 份，即分成 6×6 个相同的矩形，那么每个 矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个） 小方格组成。 6×6 的简化图中， 在 对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过 5 个格点 （见 左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的 5×4 个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。 例 15 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分 30 秒。三人同时从起点出 发，最少需多长时间才能再次在起点相会？ 分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需 60 秒、75 秒和 90 秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数， 所以需要的时间应是 60，75，90 的公倍数。所求时间为[60，75，90]=900（秒）=15（分）。 例 16 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现 在是小明的 7 倍，说明他们的年龄差是 6 的倍数；同理，他们的年龄差也是 5，4，3，2，1 的倍数。由此推知， 他们的年龄差是 6，5，4，3，2 的公倍数。 [6，5，4，3，2]=60， 爷爷和小明的年龄差是 60 的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是 60 岁。所以现在 小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。 接下来讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求 18 与 12 的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把 18 与 12 的最大公约数与最小公倍数相 乘，那么 （18，12）×[18，12] =（2×3）×（2×3×3×2） =（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。16也就是说，18 与 12 的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于 18 与 12 的乘积。当把 18，12 换成其 它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论： 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即， （a，b）×[a，b]=a×b。 例 17 两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是 18，求另一个自然数。 解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。 例 18 两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以 7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是 1，最小公倍数是 30。这两个自然数的和是 11，求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是 1×30=30，和是 11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6， 由上式知，两个因数的和是 11 的只有 5×6，且 5 与 6 互质。因此改变后的两个数是 5 和 6，故原来的 两个自然数是 7×5=35 和 7×6=42。 例 19 已知 a 与 b，a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍数是 120，求 a，b，c。 分析与解：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是[12，15]=60 的倍数。 3 再由[a，b，c]=120 知， a 只能是 60 或 120。[a，c]=15，说明 c 没有质因数 2，又因为[a，b，c]=120=2 ×3× 5，所以 c=15。 因为 a 是 c 的倍数，所以求 a，b 的问题可以简化为：“a 是 60 或 120，（a，b）=12，[a，b]=120，求 a，b。” 当 a=60 时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24； 当 a=120 时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。 所以 a，b，c 为 60，24，15 或 120，12，15。练习学生__________ 一、填空 1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）． 2、36 和 60 相同的质因数有 （ ） ，它们的积是 （ ） ，也就是 36 和 60 的 （ ） ． 3、（ ）的两个数，叫做互质数． 4、自然数 a 除以自然数 b，商是 15，那么 a 和 b 的最大公因数是（ ）． 二、判断（对的打“√”，错的打“×” ）． 1、互质数是没有公约数的两个数． （ ） 2、成为互质数的两个数，一定是质数． （ ） 3、只要两个数是合数，那么这两个数就不能成为互质数． （ ） 4、两个自然数分别除以它们的最大公因数，商是互质数． （ ） 三、解答题： 1． 五个连续自然数的和能分别被 2、3、4、5、6 整除，求这样的最小的一组数。 [2、3、4、5、6]＝60 60÷5＝12?五个连续自然数的中间数 ∴这五个连续的自然数为：10，11，12，13，14 答：这样的最小一组数是：10，11，12，13，14。 2． 把 14、33、35、30、75、39、143、169 这八个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积 相等。1733＝3×11 30＝2×3×5 75＝3×5×5 39＝3×13 169＝13×13 35＝5×7 169×33×14×75＝39×143×30×35 ????.30×35 ???14×75 3．甲、乙两个数的最小公倍数使 90，乙丙两数的最小公倍数使 105，甲丙两数的最小公倍数是 126。那么， 甲数是多少？ ∵甲乙的最小公倍数 90 和甲丙的最小公倍数 126 中都含有甲数， ∴排除乙丙的最小公倍数可求出甲。 （90，126）＝18 答：甲数是 18。 4．一堆桔子，如果按 10 个或 8 个或 7 个一小堆地分，都多一个。这堆桔子至少有多少个？ [10、9、8、7]＝＋1＝2521（个） 答：这堆桔子至少有 2521 个。 5． 有三根木条，第一根地长度是第二根的 3 倍，是第三根的一半。第三根比第二根长 280 厘米，把这三根 木条锯成尽可能长，并且每根都相等的小段，不能有剩余。一共可锯成多少段？ 把第二根木条长度看成是 1 份，则第一根木条长度是 3 份，第三根木条长度是 6 份。 280÷（6－1）＝56（厘米）?第二根 （56，168，336）＝56 56×3＝168（厘米）????第二根 . . . 56×6＝336（厘米）??第三根 . . . 1段 3段 6段 1＋3＋6＝10（段） 答：一共可锯成 10 段。 6． 6.两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多少？ 根据：两个数的最大公因数×最小公倍数＝这两个数的积 4×252÷28=36 答：另一个数是 36 7． 已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约数是 31.求这两个自然数。 根据：两个数÷最小公倍数后所得的商互质，所以两个数的积÷31÷31 的商就是两个互质的数的 积 =6=1×6 =2×3 所以，这两个数分别是：31，186 或 62，93 8． 已知两个自然数的和是 54，并且它们的最小公倍数与最大公约数之间的差为 114，求这两个数。 最小公倍数与最大公约数是倍数关系，所以他们的差也是最大公约数的倍数 同样，两个数的和也是最大公约数的倍数 所以，他们的最大公约数应该是 54 和 114 的公约数 （54，114）=6 54÷6=9 （这应该是两个数除以最大公约数的商的和，这两个商要互质） 114÷6=19 19+1=20 （这是最小公倍数除以最大公约数的商， 这是两个数除以最大公约数的商 的积） 分析得，两个数除以最大公约数的商分别是 4，5.所以这两个数分别是 24，30. 9． 将一块长 3.57 米、宽 1.05 米、高 0.84 米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的 边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余） 解： 首先将单位换算成厘米，长 357 厘米、宽 105 厘米、高 84 厘米。 要用料最省且小木块的体积总和最大，就是没有损耗，最好的情况是长、宽、高正好是小正方体 的边长的倍数。 这样，我们就可以求长、宽、高的最大公约数来作为小正方体的边长。 （357，105，84）=21（厘米） 答：正方体的边长是 21 厘米时，用料最省且小木块的体积总和最大。14＝2×7 143＝11×131810. 写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但其中任意两个数都不互质。 6，10，15 或 10，12，15 或 10，15，18194. 同余问题在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是 7 时 30 分，再过 52 小时是几 时几分？我们知道一天是 24 小时， ，也就是说 52 小时里包含两个整天再加上 4 小时，这样就在 7 时 30 分的基础上加上 4 小时，就是 11 时 30 分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37 和 44 同除以 7，余数都是 2，把除数 7 称作“模 7”，37、44 对于模 7 同余。 记作： （mod7） “ ”读作同余。 一般地， 两个整数 a 和 b， 除以大于 1 的自然数 m 所得的余数相同， 就称 a、 对于模 m 同余， b 记作： 2. 同余的性质 （1） （2）若 （3）若 （4）若 性） （称为同余的可乘性） （5）若 如果 那么 （ 的差一定能被 k 整除） ，则 ，n 为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： （每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） ，那么 ， ， ，则 ，则 （这称作同余的对称性） （这称为同余的传递性） （ ）（这称为同余的可加性、可减这是为什么呢？k 也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。20例 1. 用 412、133 和 257 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是 a，因为 412、133 和 257 除以 a 所得的余数相同，所以 ，，说明 a 是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的 最大公约数。所以 a 最大是 31。 例 2. 除以 19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以 19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例 3. 有一个 1997 位数，它的每个数位都是 2， 是几？ 分析与解答： 这个数除以 13，商是有规律的。 这个数除以 13，商的第 100 位是几？最后余数商是 170940 六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第 4 个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第 100 位是 9。 余数是几呢？则21所以商的个位数字应是“170940”中的第 4 个，商应是 9，相应的余数是 5。 例 4. 除以 7，余数是几？ 分析与解答：例 5. 一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 1，这个自然数最小是几？ 分析：假设这个自然数为 a 那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。 如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题： 一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 2，那么，这个自然数若减去 2，便同时是 3，5，7 的倍数， 这样的自然数有： 105，210，315，?? 分别被 3，5，7 除余 2 的数是 2，107，212，317，?? 最小的自然数是 2。 回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？ 稍加变式，可以写成：这样同时是 3，5，7 倍数的数有 105，210，315，?? 那么同时被 3，5，7 余 8 的数有： 8，113，218，323，?? 其中最小的自然数为 8。 例 6.在求 被 7 除的余数时，小明这样做： 所以余数是 522刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？ 分析与解答： 看了下面的算式，你就会明白的。小明用的这种方法， 有比较广泛的应用， 常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时， 常常“拼 凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。 例 7. 除以 3 的余数是几？为什么？ 分析与解答： 在上式的加项中， 数是几。 由于 显然可以被 3 整除，因此只须计算 被 3 除余因此由此可知， 只须计算 由于 ，所以被 3 除的余数， 它又等于被 3 除的余数。所以余数是 1练习1、有一个大于 1 的整数，它除 ,967 得到相同的余数（不为 0），那么这个整数是多少？ 解：由上面的结论，所求整数应能整除 967， 的两两之差，即 01=7×11×13 =3×11 4=2×11×47 这个整数是这三个差的公约数 11. 答：这个整数是 11. 2.求 2008 的最小同余数. 解：可以先去掉 7 的倍数 1400 余 608，再去掉 560 还余下 48，再去掉 42 最后余下 6.这个过程可简单地记成： →48→6.从这几个数我们可以看出，它们除以 7 都余 6. 答：2008 除以 7 的余数是 6. 3.有一个大于 1 的整数，它除 ,967 得到相同的余数（不为 0），那么这个整数是多少？23解：由上面的结论，所求整数应能整除 967， 的两两之差，即 01=7×11×13 =3×11 4=2×11×47 这个整数是这三个差的公约数 11. 答：这个整数是 11. 4、669977 除以 3 的余数是多少？ 解：? 3 933=?669977 ? 11 （ mod 3）余数是 1 5. 数 除以整数 n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求 n. 解：根据余数相同，所求的数应能整除 2001 与 2232 的差，即 1=3×7×11 由此我们知道 n 可能是 3 或 7 或 11，究竟哪个符全合条件呢，这我们得认真对待，千万不能手懒.只要试一 试即可，得 7 和 11、21、33、77 都符合条件. 答：n 是 7 或 11 或 21 或 33 或 77 或 231. 6.用一个自然数去除 715 和 903 所得余数相同，且商相差 4.求这个数. 解：根据两个数除以同一个数余数相同的特点，我们可以得到 903 -715 的差能被这个数整除，又因为所得的商 相差 4，也就是 903 -715 的差除以这个数应该得 4，要求这个数，即可用（903-715）÷4=47，即所求的数为 47. 答：这个数是 47. 此类题可以归结为：甲乙两个数除以一个相同的数，余数相同，且商相差 n(n&1)，则这个相同的数为（甲-乙） ÷n. 7、分别求 1111??????1 除以 7，6，3 的余数 ? ?? ? ?1994个11）? 7 1111111994 ? 6 ? 332余2?所求余数就是11 ? 7的余数42）从高位到低位的商对应的余数是：5，3，1，5，3，1，5，3，1。。工 1993 个。1993 ? 3 ? 664余1 ， 故余数是 5 3）能被 3 整除的数，数位上数字的和是 3 的倍数，数位上数字的和是 1994，11??????1 ? 1994 ? 2 （ mod 3），所以余数是 2 ? ?? ? ?1994个18、 利用同余的性质求下列各题的余数。437 ? 309 ?1993 除以 74521 除以 11224 被 61 除316 除以 199、求 47 ? 52 ? 279 的末位数字。35 81 244735 ? 5281 ? 27924 ? 74?20?3 ? 24?20?1 ? 94?5? 4 （ mod 10） ? 73 ? 21 ? 94 ? 3 ? 2 ?1 ? 52410、 把 1 至 1996 这 1996 个自然数依次写下来，得一多位数 112??，试 求这一多位数除以 9 的余数． 分析：从前面我们学习被 9 整除的特征知道，一个数的各个数位上的数字之和能被 9 整除，这个数必能被 9 整 除．所以一个数除以 9 的余数，与这个数的各个数位上的数字之和除以 9 的余数正好相等．这样问题转化为求 1 至 1996 这 1996 个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以 9 所得的余数即为所求． 解：将 0 至 1999 这 2000 个整数一头一尾分成如下 1000 组：（0，1999），（l，1998），（2，1997），（3， 1996），??，（997，1002），（998，1001），（999，1000）．以上每一组的两数之和都是 1999，并且 每一组两数相加时都不进位，这样 1 至 1999 这 1999 个自然数的所有数字之和等于： （1＋9＋9+9）×而 1997 至 1999 这 3 个自然数所有数字之和为：1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81 所以从 1 至 1996 这 1996 个自然所有数字之和为:1922?1 所以 ?? 除以 9 的余数是 1． 另外：因为依次写出的任意连续 9 个自然数所组成的位数一定能被 9 整除．而 1 至 1996 共有 1996 个连续 的自然数，且 ?7，最后 7 个自然数为 ，1992，?1996，这 7 个数的所有数字之和 为：1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋?+6=154154÷9=17?1 所以 ?? 这个多位数被 9 除余 1． 为什么依次写出任意连续 9 个自然数所组成的多位数一定能被 9 整除呢？这是因为任意连续的 9 个自然数 各数位上的数字之和除以 9 的余数，必是 0，1，2，?，7，8 这 9 个数，而各数位上的数字之和除以 9 的余数，25就等于这 9 个数之和 0+1+2+?+8 除以 9 的余数，由于 0＋1＋2+?＋8=36 能被 9 整除，所以任意连续的 9 个自然数各数位上的数字之和必能被 9 整除，因此任意连续 9 个自然数所组成的多位数必能被 9 整除．265. 奇偶性整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类： （1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，? （2）不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，? 整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差 1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能 被 2 整除，所以偶数可以表示为 2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整除，所以奇数可以表示为 2n+1 的形式，其中 n 为整数。 每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质： （1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反 过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇 一偶。 （2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是 偶数。 （3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。 （4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积 就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那 么所有的因数都是奇数。 （5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定 不能被偶数整除。 （6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。 2 n 2 2 因为（2n） =4 2=4×n ，所以（2n） 能被 4 整除； 因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2 除以 4 余 1。 （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。 （8）如果一个整数有奇数个约数（包括 1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数 有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。 有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有， 例如 染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。 例 1 下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+?+。 分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断 出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加 数中的偶数无关。1～1998 中共有 999 个奇数，999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇 数。 例 2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。 分析与解：等号左端共有 9 个数参加加、减运算，其中有 5 个奇数，4 个偶数。5 个奇数的和或差仍是 奇数，4 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。 例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那 么，这两个五位数的和能不能等于 99999？ 分析与解：假设这两个五位数的和等于 99999，则有下式：27其中组成两个加数的 5 个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个 位数是 9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于 9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也 都等于 9。所以组成两个加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。 另一方面，因为组成两个加数的 5 个数码完全相同，所以组成两个加数的 10 个数码之和，等于组成第 一个加数的 5 个数码之和的 2 倍，是偶数。 奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于 99999，所以假设不成立，即这两个数的和不 能等于 99999。 例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶 数？请说明理由。 分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手 1 次，对于乙也是握手 1 次，两人握 手次数的和是 2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。 把聚会的人分成两类：A 类是握手次数是偶数的人，B 类是握手次数是奇数的人。 A 类中每人握手的次数都是偶数，所以 A 类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是 偶数，偶数-偶数=偶数，所以 B 类人握手的总次数也是偶数。 握奇数次手的那部分人即 B 类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数， 那么因为 “奇数个奇数之和是 奇数”，所以得到 B 类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以 B 类人即握过奇数次手的人数是偶 数。 例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有 50 道试题。评分标准是：答对一道给 3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？ 分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每 道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有 50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人 的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。 例 1 用 0～9 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最 大是多少？ 分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。 这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。 要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放 5，6，7，8， 9，而个位上放 0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。 要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个 奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个 位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶 数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换 5 与 4 的位置。满足题设要求的五个两位数的十位 上的数码是 4， 7， 9， 6， 8， 个位上的数码是 0， 2， 5， 1， 3， 所求这五个数的和是 （4+6+7+8+9） ×10+ （0+1+2+3+5） =351。 例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否经过若干次翻转，使得 7 只杯子全 部杯口朝下？ 分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性， 就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有 7 只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为 5 只，仍是奇数； 再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类 似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数 0。也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下。 例 3 有 m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使 杯口全部朝上吗？ 分析与解：当 m 是奇数时，（m-1）是偶数。由例 2 的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多 少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是 奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。28当 m 是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从 m= 4 的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上， ∩表示杯口朝下，每次翻转 3 只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：由上表看出，只要翻转 4 次，并且依次保持第 1，2，3，4 只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一 只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于 m 只杯子，当 m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只 杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转 m 次，并且依次保持第 1，2，?， m 只杯子不动，这样在 m 次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。 综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当 m 是奇数时，无论翻转多少次，m 只杯子不可能全部改 变初始状态；当 m 是偶数时，翻转 m 次，可以使 m 只杯子全部改变初始状态。 例 4 一本论文集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是 1，2，3，?，15 页。如果将这些文章按某 种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？ 分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一 面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的， 即排版奇数页的文章， 第一面是奇数页码， 最后一面也是奇数页码， 而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。 一篇有偶数页的文章， 它的第一面和最后一面所在的页码的 奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另 一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。 以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。 题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。 首先考虑有偶数页的文章， 只要这样的第一篇文章的第一面排 在奇数页码上（如第 1 页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有 7 篇这样的文 章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇 的第一面排在奇数页码上，如此等等。在 8 篇奇数页的文章中，有 4 篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有 7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。 例 5 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的 黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内； 若摸出的两枚棋子异色， 则把其中白棋子放回大盒内。 问： 从大盒内摸了 1999 次棋子后， 大盒内还剩几枚棋子？ 它们都是什么颜色？ 分析与解：大盒内装有黑、白棋子共 01（枚）。 因为每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子，所以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，还剩 （枚）棋子。 从大盒内每次摸 2 枚棋子有以下两种情况： （1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色， 这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。 （2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚 黑棋子。 综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原 来大盒内有 1000 枚即偶数枚黑棋子，摸了 1999 次，即改变了 1999 次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒 内只剩下 2 枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。 例 6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，? 到这串数的第 1000 个数为止，共有多少个偶数？ 分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。 1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，?29这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的 奇偶性： 奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，?? 容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。 ??1，这串数的前 1000 个数有 333 组又 1 个数，每组的三个数中有 1 个偶数，并且是第 3 个数，所以这串数到第 1000 个数时，共有 333 个偶数。练习1.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22？ 2.任意交换一个三位数的数字， 得一个新的三位数， 一位同学将原三位数与新的三位数相加， 和是 999。 这位同学的计算有没有错？ 3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第 一行的方格内， 乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里， 然后计算出所有同一列的两个数的差 （大 数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。 问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？ 5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道加 5 分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？ 6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理 由。7.红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有 1999 名学生包场看这两场电影，那 么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？ 8.在 11，111，，?这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？ 9.一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1，2，3，?，17 页。这 17 个故事有各种编排法，但无 论怎样编排，故事正文都从第 1 页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故 事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？ 10.桌子上放着 6 只杯子，其中 3 只杯口朝上，3 只杯口朝下。如果每次翻转 5 只杯子，那么至少翻转多少 次，才能使 6 只杯子都杯口朝上？ 11.70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的 最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，?问：最右边的一个数是奇数还是偶数？ 12.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还 是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100。”今天发放 的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？ 13.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到 88，66，99。 问：原来写的三个整数能否是 1，3，5？ 14.将 888 件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？30答案：1.对。提示：因为平方数能被 4 整除或除以 4 余 1，而形如 111?11 的数除以 4 的余数与 11 除以 4 的余数相同，余 3，所以不是 平方数。 2.5 个。提示：与例 4 类似分析可知，先排 9 个奇数页的故事，其中有 5 个从奇数页开始，再排 8 个偶数页的故事，都是从偶 数页码开始。 3.3 次。提示：见下表。4.偶数。 提示：这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，? 这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，?? 从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23??1，第 70 个数是第 24 组数的第一个数，是偶数。 5.偶数。 提示：号码总和等于 100 加上小明号码的 2 倍。 6.不能。 提示：如果原来写的是 1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。 7.偶数。 提示：如果是奇数，那么分到奇数件礼品的小朋友得到的礼品总数是奇数，而分到偶数件礼品的小朋友得到的礼品总数是 偶数，于是得出所有礼品总数是奇数，与 888 件礼品矛盾。8 五个奇数的和不可能等于 22。9.与例 3 类似，这位同学计算有错误。 10.甲胜。 提示：七个整数中，奇、偶数的个数肯定不等，如果奇（偶）数多，那么至少有一列的两个数都是奇（偶）数，这列的差 是偶数，七个差中有一个偶数，七个差之积必是偶数，所以甲胜。 11.偶数。 提示：因为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。又因为写了偶数封信的人写信的总数是偶数，所以写了奇数封 信的人写信的总数也是偶数。因为只有偶数个奇数之和是偶数，所以写奇数封信的人数是偶数。 12.奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。 13.不可能。 提示：假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5 条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个 红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现了矛盾。 所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。 14.提示： 如果每个座位上、 下午坐的都是同一个学校的学生， 那么每个学校来看电影的学生数应当是偶数， 与每所学校有 1999 名学生来看电影矛盾。这个矛盾说明必有上、下午坐的是不同学校的学生的座位。316. 行程问题 行程问题（一）相遇问题 1、基本关系式：速度×时间＝路程 ； 路程÷速度和＝时间 ；路程÷时间＝速度和 2、中点问题 例：李明从甲地到乙地，每小时行 5 千米，王勇从乙地到甲地每小时行 4 千米，两人同时出发，在离甲乙两 地中点 1 千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米？ 解题关键：谁走的路程多?多了多少?见图 1×2÷（5－4）＝2（小时）??相遇问题 （5＋4）×2＝18（千米）??两地路程 答：甲乙两地相距 18 千米。 练与讲：甲乙两人上午 8 时于东村到西村去，甲每小时比乙快 6 千米，中午 12 时甲到西村后立即原路返回， 在距西村 15 千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米？ 15×2＝30（千米）??甲比乙多行路程 30÷6＝5（小时）??相遇时间 因为上午 8 时到中午 12 时，经过时间为 12－8＝4 小时??甲由东到 西的时间 所以加由西到与乙相遇走了小时，1 小时甲所行路程为 15，则： 15×4＝60（千米）??东西相距 答：东西两村相距 60 千米。 3、二次相遇问题 例：A、B 两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次是在离甲站 50 千米处相遇，相遇后两车各自以原来 速度继续行驶，到达乙、甲站后立即原路返回，第二次是在离乙站 30 千米处相遇。问：如此下去，A、B 两车第 三次相遇在何处？ 因为两车同时从两地相对开出到相遇， 共同行完 1 个全程。 所以两车第二次相遇后共同行完 3 个全程。 那么，两车第三次相遇应共同行完（5）个全程。则解题关键应是 全程是多少千米？ 由两车第一次相遇离甲站 50 千米可知，A 车、B 车共同行完一个全程时 A 车行了 50 千米。 50×3＝150（千米）??第二次相遇时 A 车所行路程 150－30＝120（千米）??全程 想：第三次相遇时，两车合行了 5 个全程，这时 50×5÷120＝2??10 （千米） A 车是由那个站（甲）开出的 答：第三次相遇是在离甲站 10 千米处。 练：客货两车同时从甲乙两地相对开出，第一次相遇在离乙地 80 千米的地方，相遇后继续行驶，均在达到 对方出发地后立即返回，第二次相遇在在离甲地 50 千米处，求甲乙两地间的距离？ 因为第二次相遇说明两车共同行驶了三个全程 所以 80×3－502＝190（千米） 答：甲乙两地间相距 190 千米。 例 1 A、B 两地相距 259 千米，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 38 千米；半小时后，乙车从 B 地开往 A 地， 每小时行 42 千米。乙车开出几小时后和甲车相遇？ 分析 我们可以设乙车开出后 X 小时和甲车相遇。相遇时，甲车共行了 38×（X＋0.5）千米，乙车共行了3242X 千米，用两车行的路程和是 259 千米来列出方程，最后求出解。 解：设乙车开出 X 小时和甲车相遇。 38×（X＋0.5）＋42X=259 解得 X=3 即：乙车开出 3 小时后和甲车相遇。 例 2 一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行 20 千米。到乙地后又以每小时 30 千米的速度返回甲地，往 返一次共用 7.5 小时。求甲、乙两地间的路程。 分析 如果设汽车从甲地开往乙地时用了 X 小时，则返回时用了（7.5－X）小时，由于往、返的路程是一样 的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出 X 值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。 解：设去时用 X 小时，则返回时用（7.5－X）小时。 20X=30（7.5－X） 解得 X=4.5 20×4.5=90（千米） 即：甲、乙两地间的路程是 90 千米。 例 3 东、西两地相距 5400 米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行 55 米，乙 每分钟行 60 米，丙每分钟行 70 米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？ 分析 设行了 X 分钟，这时甲行 50X 米，乙行 60X 米，丙行 70X 米。甲和乙之间的距离可用 60X－50X 表示， 乙和丙之间的距离可用 5400－70X－50X 表示。由于这两个距离相等，所以有 60X－50X=5400－70X－50X，求出 此方程的解就得到所求问题。 解：设 X 分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 60X－50X=5400－70X－50X 解得 X=40 即：40 分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点。 例 4 快、慢两车同时从 A 地到 B 地，快车每小时行 54 千米，慢车每小时行 48 千米。途中快车因故停留 3 小时，结果两车同时到达 B 地。求 A、B 两地间的距离。 分析 我们可以设快车行驶了 X 小时，那么，慢车就行驶了（X＋3）小时，利用快、慢两车所行的路程相等 这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度×时间=路程”这一关系求出 A、B 两地间的距离。 解：设快车行驶了 X 小时。 54X=48×（X＋3） 解得 X=24 54×24=1296（千米） 即：A、B 两地相距 1296 千米。 例 5 一位同学在 360 米长的环形跑道上跑了一圈， 已知他前一半时间每秒跑 5 米， 后一半时间每秒跑 4 米。 求他后一半路程用了多少时间？ 分析 因为这位同学在前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度， 所以前一半时间所跑的路程一定 大于半圈 180 米， 即在跑前半圈时的速度都是每秒 5 米， 跑前半圈要用 180÷5=36 秒。 如果再求出跑一圈的时间， 就能求出跑后半圈的时间了。为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了 2 圈。 设跑一圈用 X 秒，则跑二圈共跑 720 米。 5X＋4X=720 解得 X=80 80－36=44（秒） 即：他后一半路程用了 44 秒。追及问题 1、基本关系式：速度差×追及时间＝路程差；路程差÷速度差＝追及时间； 路程差÷追及时间＝速度差331、追及 后追前，后速一定比前速快 例：王萍以每小时 4 千米的速度步行去县城，出发 4 小时后，陆素骑摩托车从同一地点出发出发沿同一路线 去追王萍，每小时行 44 千米，问：陆素出发后几分钟追上王萍？ 因为：路线差为 4×4 速度差为 44－4 所以：（4×4）÷（44－4）＝0.4 小时＝24 分钟 答：陆素出发后 24 分钟追上王萍。 练：A 汽车每小时行驶 50 千米，B 汽车每小时行驶 40 千米，这两辆汽车同时从甲城出发，沿同一路线送货 到乙城，A 汽车在途中发生故障，停车 2 小时，结果 A、B 两车同时到达乙城，求甲乙两城相距多少千米？ A 车停车 2 小时，可理解为 B 车先走 2 小时，（路程差） 40×2÷（50－40）＝8 小时??追及时间 50×8＝400（千米） 答：甲乙两城相距 400 千米。 练与讲：一列货车从甲城开往乙城，每小时行 50 千米，货车开出 2 小时后，一列客车也从甲城开往乙城， 每小时行 80 千米，为保证安全行车，规定两车的距离不应小于 10 千米，按此规定，货车最晚应在开出后几小时 停下来让客车通过？ 货车先开 2 小时，则路程差为 50×2，但是规定两车间距不应小于 10 千米，那么，路程差应为（50×2 －10）千米 （50×2－10）÷（80－50）＝3 小时 追及时间 3＋2＝5 小时??停车让道时间 答：货车最晚应在开出后 5 小时停下来让客车通过。 3、转换 例：甲乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 35 千米，途中甲车因故障 修车用了 3 小时，结果甲车比乙车迟到目的地 1 小时，求两地间的距离是多少千米？ 因为：甲车修车 3 小时可转化成甲车比乙车迟开 3 小时，由甲车比乙车迟到 1 小时，可知，乙停车了甲 还行驶了 1 小时。则可转为乙车比原出发时间迟开小时，那么，就相当于甲车比乙车迟开 2 小时。 35×2÷（40－35）＝14（小时）??甲行驶时间 40×16＝560（千米） 答：两地间的距离是 560 千米。 练：AB 两地相距 20 千米，甲乙二人从 A 地出发去 B 地，。甲骑车每小时行 10 千米，乙步行每小时行 5 千 米，甲在途中停了一段时间修车，乙到达 B 地后，甲离 B 地还有 2 千米。问：甲修车用了多少千米？ 20÷10＝2（小时）??甲不修车需要时间 20÷5＝4（小时）??乙行全程时间 2÷10＝0.2（小时）??乙到时，甲还要的时间 4＋0.2＝4.2（小时）??甲共用时间 4.2－2＝2.2（小时） 答：甲修车用了 2.2 小时。 例 1 中巴车每小时行 60 千米，小轿车每小时行 84 千米。两车同时从相距 60 千米的两地同方向开出，且 中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？ 分析 原来小轿车落后于中巴车 60 千米， 但由于小轿车的速度比中巴车快， 每小时比中巴车多行 84－60=24 千米，也就是每小时小轿车能追中巴车 24 千米。60÷24=2.5 小时，所以 2.5 小时后小轿车能追上中巴车。 例 2 一辆汽车从甲地开往乙地，要行 360 千米。开始按计划以每小时 45 千米的速度行驶，途中因汽车故 障修车 2 小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行 30 千米。汽车是在离甲地多远处修车的？ 分析 途中修车用了 2 小时，汽车就少行 45×2=90 千米；修车后，为了按时到达乙地，每小时必须多 行 30 千米。90 千米里面包含有 3 个 30 千米，也就是说，再行 3 小时就能把修车少行的 90 千米行完。因此，修 车后再行（45＋30）×3=225 千米就能到达乙地，汽车是在离甲地 360－225=135 千米处修车的。 例 3 甲、乙两人以每分钟 60 米的速度同时、同地、同向步行出发。走 15 分钟后甲返回原地取东西，而乙 继续前进。甲取东西用去 5 分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟 360 米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上 乙？34分析 当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行 15＋15＋5=35 分钟，行了 60×35=2100 米。甲骑车 每分钟比乙步行多行（360－60）米，用 2100 米除以（360－60）米就得到甲骑车追上乙的时间。 例 4 甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长 4 千米的环形公路同方向进行晨练。出发后 10 分 钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟 700 米，求甲、乙二人的速度各是多少？ 分析 出发 10 分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是 10 分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比 乙多行 米。知道了二人的速度差是每分钟 400 米，速度和是每分钟 700 米，就能算出甲骑车的速 度是（700＋400）÷2=550 米，乙跑步的速度是 700－550=150 米。 例 5 甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟 100 米、90 米、75 米。甲在公路上 A 处，乙、丙在公路上 B 处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇 3 分钟后，甲和丙又相遇了。求 A、B 之间的距离。 分析 甲和乙相遇后， 再过 3 分钟甲又能和丙相遇， 说明甲和乙相遇时， 乙比丙多行 （100＋75） ×3=525 米。而乙每分钟比丙多行 90－75=15 米，多行 525 米需要用 525÷15=35 分钟。35 分钟甲和乙相遇，说明 A、B 两地之间的距离是（100＋90）×35=6650 米。练 习 1、甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度为每小时 15 千米，乙车速度为每小时 15 千米。两人相遇 后，距离两地中点 3 千米，求两地相距多少千米？ 3×2÷（15－13）＝3（小时）??相遇时间 （15＋13）×3＝84（千米） 答：两地相距 84 千米。 2、一列火车于下午 1 时 30 分从甲站开出，每小时行 60 千米，1 小时后，另一列火车以同样速度从乙站开 出，当天下午 6 时两车相遇。问：甲乙两地相距多少千米？ 6－1.5＝4.5（小时）??甲车行的时间 4.5－1＝3.5（小时）??乙车行的时间 60×（4.5＋3.5）＝480（千米） 或（60＋60）×3.5＋60＝480（千米） 答：甲乙两地相距 480 千米。 1、 甲乙两车同时从 AB 两地相向而行，在距 A 地 60 千米处相遇，他们各自到达对方出发点后立即返回。途 中又在距 A 地 40 千米处相遇，求：A、B 两地间距离？ 60×3＝180（千米）??二次相遇甲行路程 180＋40＝220（千米）??如果把乙走的路程给甲，甲则行了两个路程 220÷2＝110（千米） 答：A、B 两地相距 110 千米。 4、A、B 两地相距 960 千米，甲、乙两车同时从 A 地出发开往 B 地，甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行 60 千米。甲车达到 B 地后休息了 0.5 小时，又以原速度返回 A 地，那么，两车会在离 B 地多少千米处相遇？ 960÷80＝12（小时）??甲行全程时间 60×（12＋0.5）＝750（千米）??乙行的路程 （960－750）÷（80＋60）＝1.5（小时）??相遇时间 80×1.5＝120（千米） 答：两车在距离 B 地 120 千米处相遇。5、两辆卡车为王村送化肥，第一辆车以每小时 30 千米的速度从仓库出发，12 分钟后第二辆汽车以每小时3540 千米的速度也从此仓库出发，结果两车同时到达王村。求仓库距王村多少千米？ 12 分＝0.2 小时 30×0.2＝6 千米??路程差 6÷（40－30）＝0.6（小时）??追及时间 40×0.6＝24(千米) 或 30.0.6＋6＝24（千米） 答：仓库到王村相距 24 千米。 6、兄弟二人同时沿同一路线从东城去西城，哥哥每天走 24 千米，弟弟每天走 18 千米，后来哥哥因有事在 途中停留了 4 天，结果比弟弟晚到 1 天，求东西两城相距多少千米？ 18×（4－1）＝54（千米） 54÷（24－18）＝9（天） 24×9＝216（千米） 答：东西两城相距 216 千米。7、AB 两城相距 380 千米。客车和货车分别从西城同时出发，相对而行，经过 4 小时两车相遇，货车比客车 每小时快 5 千米。求这两辆车每小时各行多少千米？ 380÷4＝95（千米）??速度和 （95－5）÷2＝45（千米）??客车速度 45＋5＝50（千米）??货车速度 答：客车速度为每小时 45 千米，货车速度为每小时 50 千米。 8、甲乙两车同时从 A 地出发，沿同一路线往返于 A、B 两地间。甲车每小时行 4 千米，乙车每小时行 3 千米， 甲在距 B 地 4 千米的地方遇到乙。求 AB 两地的距离？ 4×2÷（4－3）＝8 小时 4×8－4＝32－4＝28（千米） 答：AB 两地相距 28 千米。36行程问题（二）流水行程 船在流水中航行与在静水中航行是不同的，它的航行速度要受到水流速度的影响。 想一想： 1．小河里的水，每分钟流动 lO 米，用纸摺的小船放在小河里，纸船会怎样运动? 2．小河里的水，每分钟流动 10 米，把一艘电动玩具的小船放在河里，顺流而下，每分钟前进的路程和 纸船相同吗? 准备题： 船在静水中，每小时行驶 30 千米，水流速度每小时 4 千米： (1)船顺水而下，每小时行多少千米? 30+4=34(千米／小时) (2)船逆水而上，每小时行多少千米? 30-4=26(千米／小时) 由准备题可以得到： 船顺水速度 = 船速 + 水流速 船逆水速度 = 船速 - 水流速 注意：这里的船速指船在静水中的航行速度? 例 l 已知甲、乙两个码头相距 896 千米，一艘快艇在静水中每小时行 60 千米，水流速度每小时 4 千 米。那么 (1)快艇从甲到乙顺流而下，经过几小时到达乙码头? (2)快艇从乙到甲逆流而上，经过几小时到达甲码头? 解：(1)896÷(60+4)=14(小时) (2)896÷(60-4)=16(小时) 答：(1)快艇从甲到乙需 14 小时；(2)快艇从乙到甲需 16 小时。 例 2 一只船逆水航行 216 千米需要 12 小时，这条河水流速每小时 3 千米。那么这只船顺水航行每小时 行多少千米？ 分析：船的逆水速度+水流速=船速 解：船速：216÷12+3=2l(千米／小时) 顺水速度：2l+3=24(千米／小时) ． 试一试：一条河水流速为每小时 2 千米，A、B 两个码头间的河道长 224 千米，一艘游艇从 A 出发顺流 而下到码头 B 用了 7 小时．那么它们从码头 B 回到码头 A 需要多少小时? 例 3 一只船顺水航行，每小时 2l 千米，逆水航行每小时行 15 千米。那么这条船在静水中的速度和水 流速各是每小时多少千米? 分析：船的顺水速度和逆水速度分别是船速和水流速的和与差。可以按和差问题的方法求解。 解：船速：(2l+15)÷2=18(千米／小时) 水流速：2l-18=3(千米／小时) 答：船速每小时 18 千米；水流速每小时 3 千米。 例 4 甲、乙两港间水路长 240 千米，一艘轮船从上游甲港航行到下游乙港需要 10 小时；从乙港返回 甲港需要 12 小时。求船在静水中的速度和水流速。 解：船顺水速度：240÷lO=24(千米／小时) 船逆水速度：240÷12=20(千米／小时) 船速：(24+20)÷2=22(千米／小时) 水流速：24―22=2(千米／小时) 答：船速每小时 22 千米；水流速每小时 2 千米。 例 5 轮船在静水中每小时行 20 千米，轮船从甲港逆水航行 9 小时，到达距甲港 144 千米的乙港。那么 再从乙港返回甲港需要多少小时?37解：船逆水速度：144÷9=16(千米／小时) 水流速：20 - 16=4(千米／小时) 从乙港返回甲港时间 144÷(20+4)=6(小时) 答：从乙港返回甲港需要 6 小时。 例 6 一艘客轮从武汉到九江，顺水每小时行 26 千米，从九江返回武汉逆水而行用了 13 小时。已知水流 速每小时 3 千米，那么武汉与九江之间的水路长多少千米? 解：船逆水速度：26-3-3=20(千米／小时) 武汉与九江距离：20×13=260(千米) 例 7 某人在河中游泳逆流而上，游到某地丢失了水壶，水壶顺流而下，经过 2 小时他才发现水壶丢失，立 即返回寻找，结果在离丢失水壶地点下游 8 千米处找到水壶．那么此人返回寻找水壶用了多少小时? 水流速每 小时多少千米? 分析；丢水壶后，水壶漂流速度就是水流速，人逆水速度是人速-水流速，所以每小时人与水壶之间相 距恰好是人 1 小时游泳路程。 人返甲寻找水壶时，人顺水速度是人速+水流速，水壶速度仍是水流速，所以每小时人能追上水壶的距 离也是人 l 小时游泳路程。 解：丢水壶后 2 小时人与水壶距离 人逆水速度×2+水流速×2 = 人速×2 - 水流速×2 + 水流速×2 =人 2 小时游泳路程 人每小时追行水壶的路程 =人顺水速度 - 水流速 =人游泳 1 小时路程． 所以，人返回 2 小时找到水壶， 这时水壶已漂流(2+2)小时 水流速度：8÷(2+2)=2(千米/小时) 答：人返回 2 小时找到水壶；水流速为每小时 2 千米火车行程问题 1、基本关系及基本现象 同向行驶 （1）追上（头尾齐）――超过（A 长＋B 长）÷（A 速－B 速）＝时间 （2）头相齐――超过 A 长÷（A 速－B 速）＝时间 （3）尾相齐――超过 B 长÷（A 速－B 速）＝时间 相向行驶： （1）相遇――错过 （A 长}