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已知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠CBA,且交AC于点D,AC=1,求AD的长
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BC=√3AC/3=√3/3,AB=2BC=2√3/3,根据角平分线定理,AB/BC=AD/CD,（三角形一个角的平分线把对边分成两部分,这两部分之比等于其夹角边的比）,2/1=AD/CD,（2+1）/1=（AD+CD）/CD,（合比）,3=AC/CD,CD=AC/3=1/3,∴AD=AC-CD=1-1/3=2/3.30度所对边是60°所对边的√3/3,AC=1,BC=1/√3,〈ABD=〈DBC,〈ABC=60°,〈DAB=〈DBA=30°,AD=BD,设AD=x,根据勾股定理,CD^2+BC^2=BD^2,(1-x)^2+(1/√3）^2=x^2,x=2/3,∴AD=2/3.
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已知ABC,点D为直线AB上的一点,AF平分∠CBA,交直线BC于F,交直线CD于E,且∠ACD=∠ABC,设∠DCB=α1、如图1,其中α=60°,∠ABC=30°,则∠AFC=______.2、如图2,其中α=60°,∠ABC=25°,则∠AFC=______.3、如图3,点D在AB的延长线上,其中α=30°,则∠AFC=_______.4、如图4,请按下列要求完成画图,作ABC的外角平分线AF,AF交直线BC于F,交直线CD于E,点P为EF的中点.若∠B=β,求∠APC的度数.（第四问需要过程）
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＞＞＞如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则..
如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （&&&）&&A．&&&&&&&&&&&&&& B．1&&&&&& C．2&&&&&& D．2
题型：单选题难度：偏易来源：不详
A试题分析：根据题意，设AB=2c，则AE=BD=c，BE=AD=c&，∴在以A，B为焦点，且过D，E的椭圆中，离心率=，以A，B为焦点，且过D，E的双曲线中，离心率=，椭圆与双曲线的离心率的倒数和为：，故选A点评：解题时要认真审题，注意公式的灵活运用
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则..”主要考查你对&&相似三角形的判定及有关性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
相似三角形的判定及有关性质
相似三角形的定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似
判定定理1：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
直角三角形相似定理：
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。（3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质 ：
（1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应角相等，对应边成比例； （4）相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积等于相似比的平方。相似三角形的判定方法 ：
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则..”考查相似的试题有：
794297333669259946884401258582829204小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中.∠ACB＝90°.D是AB上任意一点.连接DC.作DE⊥DC.EA⊥AC.DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题:(1)如图1.若△ABC是等腰直角三角形.则DE,DC有什么数量关系?请给出证明.(2)如果换一个直角三角形.如图2.∠CBA＝30°.则DE,DC又有什么数量关系?请给出证明.这两种特殊情况.小明提 题目和参考答案——精英家教网——
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小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上任意一点，连接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题：(1)如图1，若△ABC是等腰直角三角形，则DE,DC有什么数量关系？请给出证明.(2)如果换一个直角三角形，如图2，∠CBA＝30°，则DE,DC又有什么数量关系？请给出证明.(3)由(1)、(2)这两种特殊情况，小明提出问题：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE, DC有什么数量关系？请给出证明.
(1)DE=DC，证明见解析；(2)DC=DE，证明见解析；(2)DC=DE，证明见解析.
解析试题分析：(1) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，通过证明△CDF≌△EDG而得出结论；(2) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，应用锐角三角函数定义和.特殊角的三角函数值，通过证明△CDF∽△EDG而得出结论；(3) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，根据BC=mAC，通过证明△CDF∽△EDG而得出结论.试题解析：(1)DE=DC，证明如下：如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG="FA." ∵DF∥BC，△ABC是等腰直角三角形，∴DF=AF，即DG=DF.又∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG.∴△CDF≌△EDG. ∴DE=DC.(2)DC=DE，证明如下：如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG=FA.∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.又∵△ADF∽△ABC，∴.∵∠CBA＝30°，∴.∴.∴DC=DE.(3) DC=DE.证明如下：如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG=FA.∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.又∵△ADF∽△ABC，∴.∵BC=mAC，∴.∴DC=DE.考点：1.矩形的判定和性质；2. 等腰直角三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值；6.相似三角形的判定和性质.
练习册系列答案
科目：初中数学
题型：解答题
已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，在□ABCD中，E是AB的中点，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求证：AB=3FG；（2）若AB:AC=:，求证：．
科目：初中数学
题型：解答题
理解与应用小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题：如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP.要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________.请回答：（1）小明补充的条件是____________________,或_________________.（2）请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题：如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数．
科目：初中数学
题型：解答题
探究一:如图1,已知正方形ABCD,E、F分别是BC、AB上的两点,且AE⊥DF．小明经探究,发现AE＝DF．请你帮他写出证明过程.探究二:如图2,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE⊥FH．小明发现,GE与FH并不相等,请你帮他求出的值. 探究三:小明思考这样一个问题:如图3,在正方形ABCD中,若E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE＝FH,试问:GE⊥FH是否成立？若一定成立,请给予证明;若不一定成立,请画图并作出说明．
科目：初中数学
题型：解答题
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA,OB交于点C，D．①比较大小：PC______PD． (选择“&”或“&”或“=”填空）；②证明①中的结论．（2）将三角板的直角顶点P在射线ＯＭ上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）.
科目：初中数学
题型：解答题
以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．
科目：初中数学
题型：解答题
观察计算：当，时，与的大小关系是_________________．当，时，与的大小关系是_________________．探究证明：如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．（1）分别用表示线段OC，CD&；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：______________．实践应用：要制作面积为4平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
科目：初中数学
题型：解答题
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示，将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：与BC相等的线段是______，∠CAC′=______°。问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.，拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。
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