这是平面向量的概念教学后记，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平面向量的概念教学后记第 1 篇

　　向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：

　　1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.

　　2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.

　　3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.

　　1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等

　　2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.

　　3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.

　　4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.

　　3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a+b表示的意义为

　　4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-(b+c).

　　分析　题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.

　　点评 本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB→ = -BA→ ， +CB→ =AB→ .

　　分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .

　　因D、E为AB→ 的两个三等分点，

　　点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.

　　当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.

　　例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1.

　　分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得AC→ =λAB→ .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用 PC→ =PA→ +AC→ 来转化，以便进一步分析求证.

　　∴A、B、C三点共线.

　　必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→ =λAB→ ，

　　点评 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.

　　变题 在ΔABC 所在平面上有一点P ，满足PA→ +PB→ +PC→ =AB→ ，试确定点 P的位置.

　　答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点(距 A点较近)

　　分析 本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.

　　正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.

　　看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→ +A2A3→ +A3A4→ +…+An-1An→ +AnA1→ =0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢?运用向量相等的定义试试看.

　　解 证(3)以 A为起点作AB′→ =OB→ ，以 B′为起点作B′C′→ =OC→ ，以C′为起点作C′D′→ =OD→ ，以D′为起点作D′E′→ =OE→ .

　　故 E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.

　　正三角形，正方形、正n边形可类似获证.

　　点评 本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ +OB→ 与OC→ +OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.

　　1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.

　　2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.

　　3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.

　　1.下列各式正确的是： ( )

　　2.下面式子中不能化简成AD→ 的是 ( )

　　7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

　　8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→ = ，则P在 ( )

　　A.∠AOB的平分线所在直线上 B. 线段AB的中垂线上

　　C. AB边所在的直线上 D. AB边的中线上.

　　9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P

　　10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶

　　第30课 向量的坐标运算

　　1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.

　　2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.

　　3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行(共线)的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.

　　1. 若向量a的起点坐标为 (-2，1)，终点坐标为(2，-1)，则向量a的坐标为

　　2.若O为坐标原点，向量a=(-3，4)，则与a共线的单位向量为

　　(1) 求证四边形ABCD为平行四边形;

　　(2) 试判断AM→ 、CN→ 是否共线?为什么?

　　分析 已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.

　　点评 坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.

　　向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.

　　例2 已知向量a=( ， )，b=(-1，2)，c=(2，-4).求向量d，使2a，-b+ c及4(c-a)与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.

　　分析 四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x，y)的方程组，不难求得x、y.

　　点评 数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.

　　例3 已知平面上三点P(2，1)，Q(3，-1)，R(-1，3).若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.

　　分析 平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.

　　简解 设S的坐标为(x，y).

　　(1)当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，

　　(2)当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，

　　(3)当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，

　　综上所述，S点坐标可以为(0，1)，(6，-3)，(-2，5).

　　点评 本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.

　　分析 三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→ =λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.

　　当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→ =λBC→ ，将坐标代入，得

　　点评 向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.

　　证明 必要性(略).

　　又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.

　　基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.

　　基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.

　　基本思想：将向量等式转化成方程的思想;对几何图形的分类讨论思想.

　　2.已知点B的坐标为(m，n)，AB→ 的坐标为(i，j)，则点A的坐标为 ( )

　　① 已知向量PA→ =(x，y)，则A点坐标为(x，y);

　　② 位置不同的向量，其坐标有可能相同;

　　其中正确的说法是 ( )

　　6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是 ( )

　　(1) 当t变化时，点P是否在一条定直线上运动?

　　(2) 当t取何值时，点P在y轴上?

　　(3) OABP能否成为平行四边形?若能求出相应的t值;若不能，请说明理由.

　　第31课 平面向量的数量积

　　1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

　　2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.

　　3. 掌握向量垂直的条件.

　　分析 (1)中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式

　　点评 向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.

　　值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，(1)中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.

　　从第(2)问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a?(b+c)=a?b+b?c，而(a?b)c≠a(b?c).

　　例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2+BC2=OB2+CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .

　　分析 要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ?OC→ =0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→ =AO→ +OB→ 代换，于是只需证AO→ ?OC→ =BO→ ?OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.

　　点评 用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.

　　分析 已知a、b可以求|a|、|b|及a?b，进而求得∠AOB(即a与b的夹角)，在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S= ∣a∣∣b∣sinθ求面积.

　　解 设∠AOB=θ，ΔAOB的面积为S，由已知得：

　　点评 向量的数量积公式a?b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).

　　例4.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.

　　分析 要求夹角θ，必需求出cosθ;求cosθ需求出a?b与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a?b的关系.

　　点评 从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a?b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.

　　在本题求解过程中注意，b2=2a?b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.

　　基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.

　　基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.

　　基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.

　　1. 已知 =5，a与b的夹角的正切值为 ，a?b=12，则b的模为( )

　　2.已知 =2，向量a在单位向量e方向上的投影为- ，则向量a与e向量的夹角为( )

　　(2) 求u的模的最小值.

　　第32课 线段的定比分点、平移

　　1. 掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且熟练运用.

　　2. 掌握平移公式，并能运用平移公式化简函数解析式.

　　3. 理解公式的推导过程，必要时能回到定义去，用向量运算的相关知识，解决定比分点问题和平移问题.

　　1.若P分AB→ 所成的比为 ，则A分BP→ 的比为 ( )

　　2.设点P在线段AB的延长线上，P分AB→ 所成的比为λ，则 ( )

　　3.按向量a将点(2，3)平移到(0，1)，则按向量a将点(7，1)平移到点 ( )

　　4.若函数y=f(1-2x)的图象，按向量a平移后，得到函数y=f(-2x)的图象，则向量a= .

　　5.设三个向量OA→ =(-1，2)，OB→ =(2，-4)，OC→ 的终点在同一条直线上(O为坐标原点).

　　(1) 若点C内分AB→ 所成的比为 ，求C点坐标;

　　(2) 若点C外分AB→ 所成的比为- ，求C点坐标.

　　分析 已知A、B两点坐标，可求AB的两个三等分点C、D的坐标，进而结合已知P点坐标，可求PC→ ，PD→ .

　　解 解法一 由题知，点C、D分AB所成的比分别为λ1= ，λ2=2 ，

　　设C(x，y)，则

　　解法二 因A、B、C、D四点共线，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，

　　点评 定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量，它们之间固有的联系有两个方程，故已知其中五个量能求其余两个量，若是只考察其中一个方程(如横坐标关系式)，只须已知其中三个，可求第四个.对此，我们不仅要考察公式的原形，还需掌握公式的变形.

　　本题的解法二，回归到最基础的向量加减来处理定比分点问题，运算量小，出错率低.

　　例2 将函数 的图象按向量a平移后得到函数 的图形，求a和实数k.

　　分析 平移前后的函数表达式已知，可以通过恒等变形，求得整体结构一致，再比较变量x、y的变化，确定平移公式，得向量a，而k则可通过比较系数法求得.

　　原函数解析式变形为y′=- ，

　　点评 图形的平移变换，实质是图形上任意一点的变换，求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.

　　面对较为复杂的函数表达式，为了画出其图形，并讨论其性质，常采纳平移变换化繁为简.

　　变题 通过平移变换，化简 (ad-bc≠o ， c≠o)，并作出图形.

　　并记 =k≠0， 则原方程化简为 .

　　因此，原函数的图象按向量a= 平移后得 的图象，故其图象是以 为中心的，以x= 为渐近线的双曲线.

　　例3.将函数 的图象，按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?若唯一，求出向量a;若不唯一，求a模的最小值.

　　分析 正弦函数是周期函数，其图象关于原点对称时，表达式不唯一.就本题而言，平移后的函数解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin(2x+π)，y=2sin(2x-π)等等.因此，向量a不唯一.

　　要求∣a∣的最小值，首先必需确定平移后函数表达式的一般式，并在此基础上建立关于∣a∣的目标函数.

　　解 向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+kπ)， k∈Z

　　考察原函数表达式 ，

　　∴ 当k=2 时，∣a∣取最小值，最小值为 .

　　点评 常见向量平移变换应用于三角函数式化简，多数问题思路单一，结论唯一.本题突破常规，开放性的设计，要求解题者具有更深刻的思维能力.

　　例4. 设A(1，1)，B(5，5)，且P在直线AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P点是否可能落在线段AB的延长线上 ?若能，求出P点坐标;若不能;说明理由.

　　分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在线段AB的延长线上，只需λ∈(0，1).为此，我们设法将两个已知向量等式转化成关于λ的方程，解出λ，检验λ∈(0，1)是否成立.

　　依据两个方程组的第一个方程，消去x，得

　　数形结合知，在AB→ =λAP→ 时，要P落在线段AB的延长线上，则需λ∈(0，1)，所求两个λ的值均不符合题意，故P不可能落在AB延长线上.

　　基础知识：向量的平移公式，定比分点定义、公式及中点坐标公式.

　　基本技能：求平移公式，求点关于向量平移后的坐标，求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式，求端点、分点坐标及定比.

　　基本思想：①回到定义去，回避定比分点公式的繁琐运算.②用基本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比较观点，确定平移公式.

　　2.点A(0，m)按向量a平移后得到点B(m，0)，则向量a的坐标是 ( )

　　3. 按向量a可把点(2，0)平移到点(-1，2)，则点(-1，2)按向量a平移后得到的点是( )

　　4.将函数 的图象，按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数，则a可以是 ( )

　　5.已知点P(2，3)，分P1P2所成的比为2，且点P2(1，2)，则点P1的坐标为( )

　　6.将函数y=x2+mx+n图象的顶点P按向量a平移到原点O，则a= .

　　7. 函数 的图象按向量a=(2，1)平移后得到函数 的图象.

　　11. 已知关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p =(1，2)平移后，得到的图象仍然是C，问这样的一次函数是否唯一?若唯一，求出该函数的解析式;若不唯一，说明这类函数的表达式的共同特征.

　　12.已知A、B、C三点在一条直线上，且OA→ -3OB→ +2OC→ =0 ，求点A分BC→ 所成的比λ.

　　第33课 平面向量的应用

　　1. 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.

　　2. 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型.

　　3. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解.

　　4. 能结合实际意义，正确表述问题的解.

　　5. 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题.

　　1.下列各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有 .

　　2.已知三个力F1=(1，3)，F2(-2，1)，F3=(x，y)，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力F3= .

　　3.设某人向东走3 km后，又改变方向向北偏东30o走3 km，该人行走的路程是 ，他的位移是 .

　　4.用向量方法证明勾股定理.

　　5.一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h，方向正东.一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h，试求船的实际航行速度，并画出图形(角度可用反三角函数表示).

　　例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度3km/h，

　　方向正东，风向北偏西30o，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h.的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.

　　分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v1，风的速度v2，船本身的速度v3，船的实际航行速度v，并且有v1+v2+v2=v，在这一等式中，v1、v2、v已知，v3可求.

　　略解：设水的速度为v1 ，风的速度v2，v1+v2=a，

　　易求得a的方向是北偏东 30o，a的大小为 3 km/h .

　　设船的实际航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h..船本身的速度v3，则a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西60o，大小为3 km/h..

　　点评 这是一个与“知识在线”第5题相似的问题，熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为本题求解奠定了基础.

　　四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.

　　例2 已知O为ΔABC所在平面内一点，满足

　　分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA→ 与BC→ 、OB→与CA→、OC→与AB→ 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难.

　　但线段长度平方和即向量模的平方，要证O是ΔABC的垂心，只需证得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，联想向量的数量积，只需证OA→ ?BC→ =OB→?CA→=0.

　　故O是ΔABC的垂心.

　　点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化.

　　例3.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1≠m2)，

　　另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m1∶m2=OB∶OA，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：

　　分析 依据题意，我们可以作出物体的受力图，

　　引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2问结论努力.

　　解(1)设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为

　　F1、F2，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F1+F2+F=0.

　　如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得

　　向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为0，亦即向量之和为零向量，运用三角形法则、平行四边形法则及解斜三角形的基础知识可望得到问题的解.本题所列方程组，是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为0得到.

　　向量知识是一种基础性、工具性知识，在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中，我们应逐步增强阅读理解能力，数学建模、解模能力，和分析问题解决问题能力.

　　1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 ( )

　　3. 一条河宽为d，水流速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船在静水中的速度为v1，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 ( )

　　4.一艘船以4km/h的速度，沿着与水流方向成120o的方向航行，已知河水流速为2 km/h，该船若航行6 km，所须时间为 ( )

　　7.已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，则下列推理不正确的是 ( )

　　8.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时，风向是北偏东30o，风速是20 km/h.;水的流向是正东，流速为20 km/h.，若不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 .

　　10.一个30o的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力?若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上静止不动的推力f′又如何表示?

　　11. 已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找一点C，使∠ACB=90o，若能，求出C点坐标;若不能，说明理由.

　　12. 已知O为坐标原点，OA→ =(3，0)，OB→ =( )，两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发，速度均为4km/h，且甲沿AO→方向运动，乙沿OB→方向运动.

　　(1) 甲乙两个质点之间的初始距离是多少?

　　(2) 用包含t的式子f(t)表示t小时后，两个质点之间的距离;

　　(3) 什么时候两个质点之间相距最近.

　　单元练习五 (平面向量)

　　(考试时间120分钟 总分150分)

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

　　则m的值等于 ( )

　　6.设a、b为两个非零向量，且a?b=0，那么下列四个等式①|a|=|b|;

　　其中正确等式个数为 ( )

　　再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.

　　9.将函数y=2sin2x的图象按向量a的方向平移得到函数y=2sin(2x+π3 )+1的图象，则向量a的坐标为

　　A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

　　11.将函数y=2x的图象按向量a平移后得到函数y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① a的坐标可以是(-3，0);　② a的坐标可以是(0，6);

　　③a的坐标可以是(6，0); ④ a的坐标可以有无数种情况.

　　其中真命题的个数为 ( )

　　二、填空题：每小题4分，共16分.

　　如图，一艘船从点A出发以23 km/h的速度向垂直于对岸

　　的方向AD→ 行驶，同时河水的流速为2 km/h.求船实际航行

　　速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

　　已知点H(-3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 ，当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.

　　(1)若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件;

　　(2)若ΔABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.

　　已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120o.

　　(1)求x、y的函数关系式y=f(x)及定义域;

　　(2)(供部分考生选做)判断f(x)的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值.

平面向量的概念教学后记第 2 篇

　　向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

　　向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

　　本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的'、全面的了解.）

　　2.1 平面向量的实际背景及基本概念

　　1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

　　2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

　　3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

　　学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否

　　追到老鼠？（画图）

　　结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

　　分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、C B D

　　引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

　　（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

　　（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

　　1、数量与向量有何区别？

　　2、如何表示向量？

　　3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

　　4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

　　5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

　　6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

　　7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

　　1、数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

　　2.向量的表示方法：

　　①用有向线段表示；

　　（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

　　3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

　　向量与有向线段的区别：

　　（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

　　（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

　　4、零向量、单位向量概念：

　　①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.

　　注意0与0的含义与书写区别.

　　②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a A(起点) B （终点）

　　说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

　　5、平行向量定义：

　　①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

　　说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

　　6、相等向量定义：

　　长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

　　说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

　　（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．

　　向线段的起点无关。

　　7、共线向量与平行向量关系：

　　平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的。起点无关）。

　　说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

　　（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

　　（四）理解和巩固：

　　例1 书本86页例1.

　　（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

　　（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

　　（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

　　（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

　　（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

　　（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

　　（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

　　例3下列命题正确的是（ ）

　　A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

　　B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

　　C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

　　D.有相同起点的两个非零向量不平行

　　解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，

　　而由零向量与任一向量都

　　共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

　　变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

　　变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

　　1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

　　②单位向量都相等；

　　③任一向量与它的相反向量不相等；

　　④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

　　⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

　　⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

　　解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

　　②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

　　③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相

　　2．书本88页练习

　　1、 描述向量的两个指标：模和方向.

　　2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

　　3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

　　书本88页习题2.1第3、5题

　　2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

　　1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

　　2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

　　3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

　　教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

　　数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

　　教具：多媒体或实物投影仪，尺规

　　1、 复习：向量的定义以及有关概念

　　强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

　　（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

　　则两次的位移和：AB?BC?AC

　　（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

　　（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC

　　１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C AB C

平面向量的概念教学后记第 3 篇

　　一、教材结构与内容简析

　　1 本节内容在全书及章节的地位：

　　《向量》出现在高中数学第一册(下)第五章第1节。本节内容是传统意义上《平面解析几何》的基础部分，因此，在《数学》这门学科中，占据极其重要的地位。

　　2 数学思想方法分析：

　　(1) 从“向量可以用有向线段来表示”所反映出的“数”与“形”之间的转化，就可以看到《数学》本身的“量化”与“物化”。

　　(2)从建构手段角度分析，在教材所提供的材料中，可以看到“数形结合”思想。

　　根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，制定如下教学目标：

　　1 基础知识目标：掌握“向量”的概念及其表示方法，能利用它们解决相关的问题。

　　2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

　　3 创新素质目标：引导学生从日常生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力;《向量》的教学旨在培养学生的“知识重组”意识和“数形结合”能力。

　　4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

　　三、 教学重点、难点、关键

　　重点：向量概念的引入。

　　难点：“数”与“形”完美结合。

　　关键：本节课通过“数形结合”，着重培养和发展学生的认知和变通能力。

　　建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的`组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出“数形结合”呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的?如何发展?又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。

　　教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和全体学生积极参与下，进行集体认识的过程。教为主导，学为主体，又互为客体。启动学生自主性学习，启发引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。

　　1、让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程。

　　2、使学生把独立思考与多向交流相结合。

　　七、 教学程序及设想

　　(一)设置问题，创设情景。

　　1、提出问题：在日常生活中，我们不仅会遇到大小不等的量，还经常会接触到一些带有方向的量，这些量应该如何表示呢?

　　2、(在学生讨论基础上，教师引导)通过“力的图示”的回忆，分析大小、方向、作用点三者之间的关系，着重考虑力的作用点对运动的相对性与绝对性的影响。

　　1、把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”、惊讶、困惑、感到棘手，紧张地沉思，期待寻找理由和论证的过程。

　　2、我们知道，学习总是与一定知识背景即情境相联系的。在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。

　　(二)提供实际背景材料，形成假说。

　　1、小船以0.5m/s的速度航行，已知一条河长2000m，宽150m，问小船需经过多长时间，到达对岸?

　　2、到达对岸?这句话的实质意义是什么?(学生讨论，期望回答：指代不明。)

　　3、由此实际问题如何抽象为数学问题呢?(学生交流讨论，期望回答：要确定某些量，有时除了知道其大小外，还需要了解其方向。)

　　1、教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维的最邻近发展)通过问题引领，来促成学生“数形结合”思想的形成。

　　2.通过学生交流讨论，把实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。

　　(三)引导探索，寻找解决方案。

　　1、如何补充上面的题目呢?从已学过知识可知，必须增加“方位”要求。

　　2.方位的实质是什么呢?即位移的本质是什么?期望回答：大小与方向的统一。

　　3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等系列化概念之间的关系是什么?(明确要领。)

　　学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上，进行讨论交流，相互评价，共同完成了“数形结合”思想上的建构。

　　2、这一问题设计，试图让学生不“唯书”，敢于和善于质疑批判和超越书本和教师，这是创新素质的突出表现，让学生不满足于现状，执着地追求。

　　3、尽可能地揭示出认知思想方法的全貌，使学生从整体上把握解决问题的方法。

　　(四)总结结论，强化认识。

　　经过引导，学生归纳出“数形结合”的思想——“数”与“形”是一个问题的两个方面，“形”的外表里，蕴含着“数”的本质。

　　设计意图：促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“数形结合”的思想方法。

　　(五)变式延伸，进行重构。

　　教师引导：在此我们已经知道，欲解决一些抽象的数学问题，可以借助于图形来解决，这就是向量的理论基础。

平面向量的概念教学后记第 4 篇

2.1《平面向量的实际背景及基本概念》

《平面向量的实际背景及基本概念》

重点：向量、相等向量、共线向量的概念

难点：向量的概念理解及向量的几何表示

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．

3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.

4．理解两个向量共线的含义．

问题1：现实生活中存在着既有大小又有方向的量，

问题2：这些量在物理中被称为什么量？

定义：既有大小又有方向的量统称为向量

向量的两要素：大小、方向

要点一：向量的物理背景及概念

要点三：向量的有关概念

要点三：向量的有关概念

4.平行向量(共线向量)

要点三：向量的有关概念

要点三：向量的有关概念

题型一：向量的基本概念

选自:《平面向量的实际背景及基本概念》(提高)例1[变式1]/高清课例2

几何:共线与平行，意义不同

向量:共线与平行意义相同

题型一：向量的基本概念

选自:《平面向量的实际背景及基本概念》(提高)[巩固练习]第5题

选自:高清课堂《平面向量的实际背景及基本概念》例7

1．能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.

2．能结合图形进行向量的计算．

3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

要点四：向量的三角形不等式

题型一：向量的加法运算

题型二：向量的减法运算

题型三：与向量的模有关的问题

题型四：利用向量解决平面几何问题

要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则

要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律

简记：共起点，连终点，指向被减

题型一：向量的加法运算

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例1

题型二：向量的减法运算

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例4

要点四：向量的三角形不等式

选自:高清课堂《向量的线性运算》例4

注意：不等式取“=”时,两个向量是共线向量

要点三：向量的三角形不等式

选自:知识导学《从位移的合成到向量的加法》(提高)例5

题型三：与向量的模有关的问题

题型四：利用向量解决平面几何问题

选自:高清课堂《向量的线性运算》例5

题型四：利用向量解决平面几何问题

①班级QQ群下载课件复习，整理笔记，有疑问及时私信老师

②听高清课复习，补充题型及方法

③课前必预习：高清课知识梳理或微课

必预习，勤思考，善总结，

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