众所周知，函数求极限是高等数学中最基础的内容，并且是每年考研数学的必考内容。所以各位考生一定要将极限问题琢磨透了，才能保证在这类考察基础知识的题目上不丢分。

  有的题目是以直接求极限的形式出现，例如2011年数学一的15题：求极限；也有的题目是间接涉及到求极限问题，例如2012年数学一的1题是要求曲线渐近线的条数，求曲线渐进线最终还是通过求函数极限来达到的。这两类题目在历年考研数学试题中出现的频率都很高，求极限的方法一定要熟记于心、熟练掌握，不可轻视！

求极限的方法不只限于两三种，概括来讲共有下面八大“必杀技”需要掌握：

  此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

  此法适用于解型和型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用），如出现的极限是形如，则都可以转化为型来求解。

  此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

  此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。

  待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

  此法能快速简化待求极限函数的形式，也需要考生熟记一些常用的等价关系，才能保证考试时快速准确地解题。注意等价替换只能替换乘除关系的式子，加减关系的不可替换。

  放缩法（夹逼定理）

  此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的，例如《2013考研数学接力题典1800》第4页的56题：求极限，该题即是用放缩法求解，具体解法可参见书内答案。

  高数中的两个重要极限：及其变形要熟记并学会应用。

  掌握了以上八大方法还是不够的，要学会融会贯通，因为考研题的综合性很强，不是一道题只用一种方法就能够解出来的，往往是同时用到两三种甚至更多才能顺利解答。这就需要考生平时多想多练，做到熟能生巧，才能在最后的考试决战中胜人一筹。

这里我把幂指函数和幂指数列统称为“幂指型”，简单地说，幂指型就是指底数和指数上都出现未知量的形式。如果用严格的定义叙述的话，我们把可以表示为\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)>0)\)的函数称为幂指函数，把可以表示为\(a_n=f(n)^{g(n)}(f(n)>0)\)的数列称为幂指数列。求解幂指型的极限是高等数学中的一个难点，我们并不是很喜欢这种形式。因此，无论是研究生考试，还是大学生数学竞赛，计算幂指型极限的问题经常出现。那么，解决这一类问题有什么技巧呢？本文介绍的是幂指型函数求极限的方法。

幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)>0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了，我们可以证明，如果\(f(x),g(x)\)的极限分别是\(A,B\)，那么幂指型的极限是\(A^B\)。这个证明并不困难，本文不予赘述。如果\(f(x)\)的极限是0，而\(g(x)\)的极限是\(+\infty\)，也可以证明这个幂指型的极限是0.因此，上面提到的两种问题比较简单，一般来说竞赛中不会遇到。所以竞赛中如果遇到这种幂指型的问题，基本上不要想着试图分别求出底数和指数的极限这样的“美差事”了。我们面对的往往是“\(\infty^0\)”“\(1^\infty\)”“\(0^0\)”这三种“未定型”。下文将要介绍的是“未定幂指型”函数极限的求法。

f(x)\)这种极限到底该怎么求，这里方法就由取对数后式子的特征来决定了，本文不予赘述。很多参考书在这里直接从原来的幂指型开始变形，这样后面每一步计算都带着底数\(e\)，会显得计算比较复杂。这里我推荐的做法是“先取对数再说”，即先对原来的幂指型取对数，然后设法求取完对数后式子的极限，最后得到答案，不要忘了这个答案是取过对数的，最终需要加上底数\(e\)。这样的好处是容易对取完对数后式子进行分析，不会因为式子太复杂而迷糊。取对数之前，指数的位置上有自变量，这让我们束手无策。而取完对数以后就把自变量从指数的位置上“放下来”，这是取对数法最大的好处，起到了删繁就简的效果，这是对问题的解决有所裨益的地方。此方法可以用一句口诀概括：“幂指型求极限，先取对数再说”。接下来我们看一些例子：

取对数后的形式是\(\infty\over\infty\)型且不难求导数，洛必达法则是很好的方法。

最后不要忘了1不是最终的结果，是取过对数后式子的极限。因此原来的幂指型极限是\(e\)。

一般的参考书或教科书，过程是这么写的：

这么书写看起来非常流畅，一气呵成，但是关键的变形一直在指数上，而书写的时候指数是比较小的。幸好这个式子并不复杂，我们可以看清楚。如果式子复杂一些，我们看的时候可能就存在一些困难了。所以单独把取完对数的形式拉出来，后面的思路可以看得更清晰。这是我比较喜欢的过程，也可以很好地体现取对数的作用。

例2：（第一届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）

分析：虽然出现了\(x \)和\(n\)但是\(n\)可以当作常数来对待。式子是幂指型，因此先取对数再说。要注意的是虽然分子可以看成等比数列求和的形式，但是现在我们不清楚是否求和后的形式更利于解决问题，所以先放着，不要过于着急变形。

\right)}}{x}\)，这个形式是\(0\over0\)型，求导数没有太大的难度，所以用洛必达法则。由于分子接下来考虑进行求导，这里上面用等比数列求和并没有太大的意义。在解题的时候着急地进行变形并不是一种很好的习惯，一定要看有没有需要。

例3：（第二届大学生数学竞赛（非数学组）预赛）

通过这个题目，我们可以再次领略到先取对数的好处。

f(x)^{g(x)}\)。这个结论的证明本文不予赘述，有兴趣的读者可以自己推演。这表明，幂指型也可以使用等价替换法求极限。

分析：这里使用等价无穷小（大）代换将非常简单.

如果不太习惯直接在幂指型中进行等价代换，我们可以按照上一种思路，先去取对数，再对取对数以后的形式用等价代换。

前面说过，幂指型函数\(y=f(x)^{g(x)}(f(x)>0)\)，如果这里\(f(x),g(x)\)的极限都存在，那么这个问题就很简单了。虽然题目往往不会出现这种好事，但是有时候我们可以对前面的形式进行配凑，强行变成这种形式，然后求极限。

分析：这里是“\(1^\infty\)”型，可以尝试用配凑法求极限。

总结：上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。