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甲、乙两名篮球运动员，甲投篮命中的概率为0.7，乙投篮命中的概率为0.8，两人是否投中相互之间没有影响．（Ⅰ）两人各投一次，求只有一人命中的概率；（Ⅱ）两人各投两次，甲投中一次且乙投中两次的概率．
题型：解答题难度：中档来源：不详
将甲投中记为事件A，乙投中记为事件B，（Ⅰ）P=P(A.B)+P(.AB)=0.7×0.2+0.3×0.8=0.38答：两人各投一次，只有一个命中的概率为0.38．（Ⅱ）P=C12P(A)P(.A)[P(B)]2=2×0.7×0.3×0.82=0.2688答：两人各投两次，甲投中一次且乙投中两次的概率为0.2688．
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据魔方格专家权威分析，试题“甲、乙两名篮球运动员，甲投篮命中的概率为0.7，乙投篮命中的概..”主要考查你对&&概率的基本性质（互斥事件、对立事件）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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概率的基本性质（互斥事件、对立事件）
互斥事件：
事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。 （2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 （3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。 概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0，1].（2）必然事件的概率为1.（3）不可能事件的概率为0.（4）互斥事件的概率的加法公式：如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。 互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。
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329825327299571012332967553088821173当前位置：
＞＞＞甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概..
甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数ξ的概率分布和数学期望．
题型：解答题难度：中档来源：四川省月考题
解：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：（Ⅱ）乙所得分数为ηη可能的取值﹣4，0，4，8，12，P（η=﹣4）==，P（η=0）==P（η=4）=C42=P（η=8）==P（η=﹣4）==分布列如下：∴Eη=．
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据魔方格专家权威分析，试题“甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概..”主要考查你对&&离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量及其分布列&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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离散型随机变量的期望与方差相互独立事件同时发生的概率离散型随机变量及其分布列
数学期望的定义：
称为ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。
方差的定义：
称为ξ的均方差，简称为方差，叫做随机变量ξ的标准差，记作：。期望与方差的性质：
（1）；（2）若η=aξ+b，则；（3）若，则；（4）若ξ服从几何分布，则。求均值（数学期望）的一般步骤：
(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布，若服从，则直接用公式求均值．(2)若不服从特殊的分布，则先求出随机变量的分布列，再利用公式求均值。
方差的求法：
(1)若随机变量X服从二点分布或二项分布，则直接利用方差公式可求．(2)若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：
&相互独立事件的定义：
如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。 若A1，A2，…An相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·An）＝P（A1）·P（A2）·…·P（An）。求相互独立事件同时发生的概率的方法：
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。随机变量：
随着试验结果变化而变化的变量，常用字母ξ，η等来表示随机变量。
离散型随机变量：
所有取值可以一一列出的随机变量；
离散型随机变量的分布列：
如果离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，x3，…，xn，…，而ξ取每一个值xi（i=1，2，3，…）的概率P（ξ＝xi）=pi，以表格的形式表示如下：&上表称为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称为ξ的分布列。 任一随机变量的分布列都具有下列性质：
（1）0≤pi≤1，（i=1，2，3，…）； （2）p1+p2+p3+…+pn+…=1； （3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。求离散型随机变量分布列：
(1)先判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列举出来．(2)明确随机变量X可取哪些值．(3)求x取每一个值的概率．(4)列成分布列表，
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569648622045456491819113819744876937概率中易混淆概念的对比与思考
概率中易混淆概念的对比与思考
=20.1100102
PA=232113122111121621222661626666=36A1221
{23412}A3PA=
2005123456XY
ABABPAB=PAPB=0.3=0.8252
ABABPAB=PAPB
20050.050.10.125
0.20.250.50.7
20040.70.60.5
0.940.440.441
1A=kn=m=k!76统计与概率测试题[1]
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76统计与概率测试题[1]
新课标高中数学选修2―3（统计与概率）测试题；一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分；项是符合题目要求的；A.6.5B.6C.5D.5.5；2．高三年级有12个班，每班50人按1―50排学；A.抽签法B.系统抽样C.分层抽样D.随机数表法；3．如果数据x1,x2,x3,?,xn的平均数为；4．甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙；5．从分别
新课标高中数学选修2―3（统计与概率）测试题 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。） 1．从总体中抽得的样本数据为3.8，6.8，7.4则样本平均数x 为：（
D. 5.52．高三年级有12个班，每班50人按1―50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 18的同学留下进行交流，这里运用的是（
）抽样法：A.抽签法
B.系统抽样
C.分层抽样
D.随机数表法3．如果数据x1,x2,x3,?,xn的平均数为
,方差为62，则数据3x1+5,3x2+5,?,3xn+5的平均数和方差分别是
D．3 x和362x和3x3x ?4．甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中两站都准确预报的概率为
D．0.85．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为
D5510106．已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率
）1711634A
D． 7） 1171A
D421020 8．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为a和b，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是
B．(1-a)(1-b)
C．1-(1-a)(1-b)
D．a(1-b)+b(1-a) 9．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为
）297297A．
D．2002514418 10．一患者服用某种药品后被治愈的概率是95%，则患有相同症状的四位病人中至少有3人被治愈的概率为
D．0.99二，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.8，每人各投3次，每人恰好都投中2次的概率为___________。12．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P的坐标，则点P落在圆x2?y2?16内的概率___________。13．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量?描述1次试验的成功次数，则
P（?=0）等于_________。14．一个盒子里有n-1个白球，一个黑球，随机地从中抽取，若抽到白球则被抛弃，抽到黑球则停止，被抛弃次数?的期望E?___________，D?____________。三， 解答题（本题共6小题，共80分15．（本小题满分12分）在60件产品中，有30件是一等品，20件是二等品，10件是三等品，从中任取3件，计算： （1）3件都是一等品的概率（2）2件一等品，1件二等品的概率（3）一等品、二等品、三等品各有1件的概率16．（本小题满分14分）设A、B、C 3个事件两两相互独立，事件A发生的概率是B、C同时发生的概率是1，A、211，A、B、C都不发生的概率是。 244（1）试分别求事件B和事件C发生的概率。（2）试求A，B，C中只有一个发生的概率。17．（本小题满分14分）某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率是1，构造数列{an}，使 2an＝??1，当第n次出现正面时??1，当第n次出现反面时记Sn=a1+a2+?+an（n?N）（1） 求S8=2时的概率；（2）求S2?0且S8=2时的概率。 118．（本小题满分14分）猎人在距离100米射击一野兔，其命中率为 ，如果第一次射击2未命中，则猎人进行第二次射击但距离为150米；如果第二次射击又未命中，则猎人进行第三次射击，并且发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
19．（本小题满分12分）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1，从B中摸出一个红球的概率为p． 3(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2，求p的值．
520．（本小题满分14分）某电信部门执行的新的电话收费标准中，其中本地网营业区内的通话费标准：前3分钟为0.20元（不足3分钟按3分钟计算），以后的每分钟收0.10元（不足1分钟按1分钟计算。）在一次实习作业中，某同学调查了A、B、C、D、E五人某（1）在上表中填写出各人应缴的话费；（2）设通话时间为t分钟，试根据上表完成下表的填写（即这五人在这一天内的通话情（3）若该本地网营业区原来执行的电话收费标准是：每3分钟为0.20元（不足3分钟按3分钟计算）。问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比，是增多了还是减少了？增或减了多少？参考答案一，1．B
10．D2二、11． 0.169 12．
1391n?1n2?114．E?=，D?=。 3212三、15．解：从60件产品中任取三件的方法种数为C360（1） 记“任取3件均是一等品”为事件A，则A的结果数是C3303C307∴P（A）=3?C60592（2） 记“任取3件，2件是一等品，1件是二等品”为事件B，则B的结果数为C30?C12021C30?C2015?? P（B）=359C60（3） 记任取3件，一等品、二等品、三等品各有1件为事件C则C的结果数为C130C120C110的111C30C20C10300P（C）= ?31711C6016．解：设事件B发生的概率为P1，事件C发生的概率为P2，则11P1P2? 224117???P?P?PP????11?（1-）（1-P（1-P2）=即 ?
解得? 或? 1）11241?PP??P??P?2122???312?4??故事件B、C发生的概率分别为或 。??????11431134（+A?B?CA?B?C=(1?)(1?)?(1?)(1?)?(1?)(1?)? 2）P=P（+A?B?C）17．解：（1）S8=2需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P1，则5()(P1=C8125138?7?6187?()?)=23?2232（2）S2?0即前两次同时出现正面或出现反面。当同时出现正面时，Ｓ2＝２，要Ｓ8＝２，需后六次３次正面３次反面，其概率 Ｐ2＝?453??C6??（）?（）＝（）? 当同时出现反面时，Ｓ2＝－２，要Ｓ8＝２，需后六次５次正面1次反面，其概率包含各类专业文献、应用写作文书、行业资料、中学教育、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、76统计与概率测试题[1]等内容。　
　.doc 第 1 页共 6 页 统计概率练习题精选一一、统计 1.为参加 2009 年“天津市初中毕业生升学体育考试”,小刚同学进行了刻苦的练习.在投掷实心球时,... 　统计与概率测试题_数学_初中教育_教育专区。统计与概率测试题1. 将一根长为 3m 的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于 1m 的概率是 ()(A) 1 4 (... 　新课标高中数学选修 2―3(统计与概率)测试题 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 4 个选项中,只有 1 项是符合题目... 　统计概率中考经典试题二 8页 1财富值 专题六 算法、统计、概率、... 17页 免费喜欢此文档的还喜欢 统计与概率测试题 8页 免费 专题复习 统计与概率试... 4... 　统计概率中考经典试题一A_初三数学_数学_初中教育_教育专区。.doc 第 1 页共 18 页 统计概率中考经典试题一一、选择题 1、(2007 安徽)下列调查工作需采... 　概率为 P1, 相交的概率为 P2, 则复数 P1+P2i 所对应的点 P 与直线 l2: x+2y=2 的位置关系是( 概率与统计测试题 第 1 页,共 18 页 ) 概率与统计... 　2013届高中数学总复习阶段性测试题11 统计与概率 理 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。阶段性测试题十一(统计与概率(理)) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第... 　概率统计试题及答案1_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 概率统计试题及答案1_理学_高等教育_教育专区。一、单项选择题(本题共 5 小...欢迎来到高考学习网，
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& 2014高考数学“拿分题”训练：概率与统计
2014高考数学“拿分题”训练：概率与统计
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资料概述与简介
2014高考数学“拿分题”训练：概率与统计
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，类型一
“非等可能”与“等可能”混同
例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概
掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=
以上种基本事件不是等可能的，如点2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共36种基本事件，6”的概率为P=．类型二
“互斥”与“对立”混同
把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红
A．对立事件
B．不可能事件 C．互斥但不对立事件
D．以上均不对
本题错误的原因在于把“互斥”与“对
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同C．类型三
“互斥”与“独立”混同
甲投篮O．8，乙投篮命中率为07，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰B，则两人都恰好投中两次为事A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 剖析
本题错误的原因是把相互独立同时发2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”
解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙B，且A，B相互独立，则两人A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 类型四
“P(B / A)”与“积事件的概P(A·B)”混同
袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作2次，求第二次才取
记“第一次取到白球”为事件A，“第二”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=.
本题错误在于P(AB)与P(B/A)的含义没有弄清, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率。
P（C）= P(AB)=P（A）P（B/A）=.
1. 某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求
（I） 恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
解：基本事件的种数为=15种
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 所求事件概率P1==0.6
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生,所求事件概率P2=
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生,所求事件概率P3=
已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中，求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）
解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0.7
乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为6/10=0.6
(1)甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是
甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率
是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 (
（A） （B） （C） （D）
连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2＝17外部的概率应为（
从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率
相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_______。
若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是
（结果用分数表示）.
（Ⅰ）摸出2个或3个白球 ; （Ⅱ）至少摸出一个黑球.
已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.
5.（Ⅰ）P（A+B）= P（A）+P（B）＝=;
（Ⅱ） P=-=
6.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝ =　　
（Ⅱ）P（两人至少投进三个球）＝
甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(2000年新课程卷)
如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.
(2001年新课程卷)
某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？(2002年新课程卷)
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） (2003年新课程卷)
从分别写有0，1，2，3，4，5，6的七张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：
(1)这个四位数是偶数的概率；
(2)这个四位数能被9整除的概率；
(3)这个四位数比4510大的概率。
（1）组成的所有四位数共有个。四位偶数有：个位是0时有,个位不是0时有,共有120+300=420个.
组成的四位数为偶数的概率为
(2)能被9整除的数，应该各位上的数字和能被9整除.数字组合为：1，2，6，0
1，3，5，0
2，4，5，0
3，4，5，6
2，3，4，0
能被9整除的四位数的概率为
(3)比4510大的数分别有：千位是4，百位是5时，有;千位是4，百位是6时，有;千位大于4时，有;故共有240+20+18=278.
四位数且比4510大的概率为
一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自
动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 (
（A）0.1536
（B） 0.1808
（C） 0.5632
（D） 0.9728
2. 种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 (
3. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和
3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是
4. 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女
生当选的概率是
(用分数作答)
5. 某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0.1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.
6. 如图，用表示四类不同的元件连接成系统.当元件至少有一个正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统
正常工作.已知元件正常工作的概率
依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系
统正常工作的概率.
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ).
2. 0.648; 0.792.
3. (Ⅰ) ; (Ⅱ) 5人.
4. (Ⅰ) 0.176 ; (Ⅱ) 0.012 .
5．解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品.
P＝＝0.1998
6．解： =0.752
从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：
（Ⅰ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
(2004年全国卷Ⅰ)
已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A、B两组,每组4支.求：
（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
(2004年全国卷Ⅱ)
某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学得300分的概率；
（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.
(2004年全国卷Ⅲ)
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（Ⅰ）求所选3人都是男生的概率；
（Ⅱ）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（Ⅲ）求所选3人中至少有1名女生的概率.
(2004年天津卷)
A、B、C、D、E五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：
(1)A不分甲书，B不分乙书的概率；
(2)甲书不分给A、B，乙书不分给C的概率。
解： （1）分别记“分不到书的是A，B不分乙书”，“分不到书的是B，A不分甲书”，“分不到书的是除A,B以外的其余的三人中的一人，同时A不分甲书，B不分乙书”为事件A1,B1,C1，它们的概率是
因为事件A1,B1,C1彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，A不分甲书，B不分乙书的概率是：
(2) 在乙书不分给C的情况下，分别记“甲书分给C”，“甲书分给D”，“甲书分给E”为事件A2,B2,C2彼此互斥，有互斥事件的概率加法公式，甲书不分给A,B，乙书不分给C的概率为：
将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩
具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 (
在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是(
在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是　　　　　　　.（结果用数值表示）
某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机
选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
（结果用分数表示）
已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
1（Ⅰ）;（Ⅱ） 2（Ⅰ）;（Ⅱ）. 3（Ⅰ）0.228;（Ⅱ）0.564. 4（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.
5. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）最少应抽取9件产品作检验.
6. 解：（I）.
（II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4=
某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
(2004年福建卷)
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
(2004年湖南卷)
例4 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下:
预防措施 甲 乙 丙 丁
P 0.9 0.8 0.7 0.6
费用（万元） 90 60 30 10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004年湖北卷)
一个医生已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：
(1)虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率；
(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。
记一个病人服用该药痊愈为事件 A，且其概率为P，那么10个病人服用该药相当于10次重复试验.
(1)因新药有效且P=0.35，故由n次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式知，试验被否定（即新药无效）的概率为
(2)因新药无效，故P=0.25，试验被认为有效的概率为
新药有效，但通过试验被否定的概率为0.5138；而新药无效，但通过试验被认为有效的概率为0.2242
1. 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
（A） （B） （C） （D）
2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 (
3. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________．
4. 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出
5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是
.（以数值作答）
5. 张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是 （假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（Ⅰ）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.
（Ⅱ）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2 个交叉路口的概率.设
甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
1．（Ⅰ）；
2．（Ⅰ）;（Ⅱ）.
3．（Ⅰ）；（Ⅱ）
4．联合采用乙、丙、丁三种预防措施
5. （Ⅰ）（Ⅱ）
6. （Ⅰ）,（Ⅱ）
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（）求该盒产品被检验合格的概率；
（Ⅱ）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．，，.如果对这3名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测.
（Ⅰ）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
（Ⅱ）出现几人合格的概率最大？
(2004年南京市三模)
例4 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.
（Ⅰ）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率；（Ⅱ）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.
(2004年重庆卷)
若甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局两胜和五局三胜制，问在哪种比赛制度下，甲获胜的可能性较大.
三局两胜制的甲胜概率：
甲胜两场：,甲胜三场：,
甲胜概率为+=0.648
五局三胜制：
甲胜三场：,甲胜四场：,甲胜五场：,
甲胜概率为++=0.682
由0.648<0.682，知五局三胜制中甲获胜的可能性更大.
已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 (
（D）5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（
15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是　　　　　　　　．
如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5，
且是相互独立的，则灯亮的概率为
甲、乙、丙3人一起参加公务员选拔考试，根据3 人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8. 求:
(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被录用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被录用的概率.
对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得两只配对手套； ②B：乙正好取得两只配对手套；（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．
1. (Ⅰ) ; (Ⅱ)
2. (Ⅰ)(Ⅱ)
3.（Ⅰ），；（Ⅱ）1人 .
4. （Ⅰ）0.94,
0.44; （Ⅱ）0.441
(Ⅱ)0.416+0.448=0.864.
6.(Ⅰ)①,②; (Ⅱ),,故A与B是不独立的．
备用课时一
随机事件的概率
某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
(2)三次内打开的概率是多少？
(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。
(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)==
(2)三次内打开房门的结果有种，因此所求概率P(A)= =
因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =.
三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)=
某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？
6位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？，随意按下6个数字相当于随意按下个，随意按下6个数字相当于随意按下个密码之一，其概率是.
(2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1种，其概率为.
一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示） ，于是P(A)=.
将一枚骰子先后抛掷2次，计算
(2)其中向上的数之积是12的结果有多少种？12的概率是多少？）I,j）为“第一次掷出结果为I，第二次掷出结果为j”则相乘为12的结果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4种情况.
(3)由于骰子是均匀的，将它向桌面先后抛掷2次的所有36种结果是等可能的，其中“向上的数之积是12”这一事件记为A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.
1． 袋中有a只黑球b只白球，它们除颜色不同外，没有其它差别，现在把球随机地一只一只摸出来，求第k次摸出的球是黑球的概率.。
解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，将前k次摸球的所有不同可能作为基本事件全体，总数为，有利事件为，故所求概率为P=
解法三：把只考虑k次摸出球的每一种可能作为基本事件，总数为a+b，有利事件为a,故所求概率为.
备用课时二
互斥事件有一个发生的概率
例1 房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一月内的概率.
6个人生日都不在同一月内的概率P()=.故所求概率为P(A)=1-P()=1-.
例2 从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。
解法1 任取四张牌，设至少有两张牌的花色相同为事件A；四张牌是同一花色为事件B1；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件B2；每两张牌是同一花色为事件B3；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件B4，可见，B1,B2,B3,B4彼此互斥，且A=B1+B2+B3+B4。
P(B1)= , P(B2)= ,
P(B3)= , P(B4)= ,
P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 0.8945
解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同， P（）=，
答：至少有两张牌花色相同的概率是0.8945
例3 在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.
解 （1）从20件产品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法为。
恰有一件次品的概率P=.
(2)法一 从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2，3件全是次品为事件A3,则它们的概率
P(A1)= =,,,
而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .
法二 记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件A，那么任取3件，至少有1件次品为，根据对立事件的概率加法公式P()=
1副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种13张，共52张，从1副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.
从52张牌中任取4张，有种取法.“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法
研究至少情况时，分类要清楚。
1． 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，求：
2件都是合格品的概率；
2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，1件是次品的概率。
从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等.为基本事件总数.
（1）00件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个组合数，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么
（2）由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为.记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率为：
（3）记“任取2件，1件是次品，1件是合格品”为种，则事件A3的概率为：
备用课时三
相互独立事件同时发生的概率
例1 猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.
记三次射击依次为事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。
,命中野兔的概率为
1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率为3%，第二道工序次品率为2%，求产品的次品率.
设“第一道工序出现次品“为事件A，“第二道工序出现次品”为事件B，“至少有一道工序出现次品”该产品就是次品，所求概率为
如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。每个焊接点脱落的概率均是，现在发现电路不通了，那么至少有两个焊接点脱落的概率是多少？
要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率.
解： 设事件A为“从甲机床抽得的一件是废品”；B为“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
1． 假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要
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