发布者：江苏省工业与应用数学學会发布时间：浏览次数：

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2016年全国高中数学联合竞赛 加试 一、（本题满分40分）设实数…满足…求…的最大值。 解：令… 由已知得，对…2015，均有 若，则……………10分 以下考虑的情况。约定由平均不等式得 ………………20分 所以。………………30分 当…时上述不等式等号成立，且有…此时。 综上所述所求最大值为。………………40分 二、（本题满分40分）如图所示在中，XY是直线BC上两点（X，BC，Y顺次排列）使得。 设的外心分别为，直线与AB，AC分别交于點UV。 证明：是等腰三角形 证法一：作的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为和由内角平分线的性质知，由条件可得。從而 即…………20分 故P对圆和的幂相等，所以P在和的根轴上…………30分 于是，这表明点UV关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形…………40分 证法二：设的外心为O，连接。过点分别作直线BC的垂线，垂足分别为作于点K。 我们证明在直角三角形中， 由外心性质。叒故。 而分别是BCCX的中点，所以 因此 这里R是的外接圆半径。同理…………10分 由已知条件可得，故…………20分 由于，所以90°。同理90°。…………30分 又因为故，从而这样，即是等腰三角形………………40分 三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一個平面上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形试确定所连线段数目的最大值。 解：以这10个点为顶點所连线段为边。得到一个10阶简单图G我们证明G的边数不超过15. 设G的顶点为…，共有条边用表示顶点的度。若对…10都成立，则 假设存茬满足不妨设，且与…均相邻于是…之间没有边，否则就形成三角形所以，…之间恰有条边…………10分 对每个，至多与…中的一個顶点相邻（否则设与相邻则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾）从而…与…之间的边数至多条。…………20分 茬…这个顶点之间由于没有三角形，由托兰定理至多条边，因此G的边数 …………30分 如图给出的图共有15条边且满足要求。 综上所述所求边数的最大值为15.………50分 四、（本题满分50分）设与均是素数，数列的定义为，，…这里表示不小于实数的最小整数。 证明：对…均有成立 证明：首先注意，是整数数列 对用数学归纳法。当时由条件知，故因与均是素数，且故必须。因此即时结论成立。 对设对…成立，此时 故 …………10分 故对，有 =………………20分 因此 由此知（注意是整数）①…………40分 因是素数，故又是大于的素数，故从而与互素，故由①知则数学归纳法知，本题得证………50分