设A为n阶矩阵，且其行列式为a不等于0 证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1，1，_百度知道
设A为n阶矩阵，且其行列式为a不等于0 证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1，1，
设A为n阶矩阵，且其行列式为a不等于0证明它可以通过第三种初等变换化为对角矩阵diag（1，1，……a）
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来自华北水利水电大学
分三步来证1) 第一类初等变换(即交换两行或两列)&差不多&可以用第三类初等变换来实现.注意第一类初等变换的行列式是-1, 而第三类初等变换的行列式是1, 不可能完全实现第一类初等变换, 所以效果上稍微会差一些.用第三类初等变换可以实现(x,y) -& (-y,x)的变换, 具体如下(x,y) -& (x,x+y) -& (-y,x+y) -& (-y,x)2) 既然有了行交换(差一个负号)和第三类初等变换, 那么就可以使用Gauss消去法, 把A化成对角阵.3) 当xy≠0时第三类初等变换可以把diag{x,y}变到diag{1,xy}, 具体如下[x, 0; 0, y] -& [x, 0; -1, y] -& [0, -1, y] -& [0, -1, -0] -& [1, 0; 0, xy]最后一步就是带负号的行交换这样就能把前n-1个对角元逐个归一化
李秀瑞&&教师
熊先云&&学生
祝林辉&&学生
刘杰&&学生
李陈军&&学生[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．B．选修4-2：短阵与变换已知矩阵M=又1/2ρ=4sin(θ+又π/4)，求曲线C的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．-乐乐题库
& 矩阵变换的性质知识点 & “[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中...”习题详情
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[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．B．选修4-2：短阵与变换已知矩阵M=12ρ=4sin(θ+π4)，求曲线C的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连...”的分析与解答如下所示：
A．BE平面∠ABC．根据等腰三角形的性质，可得∠D=∠CAD，∠ABC=∠ACB．根据同弧所对的圆周角相等，进而可得ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．&B．设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，根据矩阵变换可得y0=sinx0，从而12y0=sin2x，从而可求曲线C的方程．C．曲线C的极坐标方程ρ=4sin(θ+√2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ，化简可得普通方程；D．注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，，从而得解．
A．证明：BE平面∠ABC．∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD．&&…（5分）∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．&&…（10分）B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，则有xy0y0，即x=120y=2y0，…（5分）所以x0=2xy0=120（x0，y0）在曲线y=sinx上，即y0=sinx0，从而12y0=sin2x，所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）C．解：曲线C的极坐标方程ρ=4sin(θ+√2（sinθ+cosθ），…（5分）化为直角坐标方程为x2+y2-2√2x-2√2y=0，即(x-√2)2√22=4．…（10分）D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，…（5分）从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，所以x2+y2+z2的最小值为3．&&&…（10分）
本题是系列4的知识，考查基础，考查学生灵活解决问题的能力．
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经过分析，习题“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连...”主要考察你对“矩阵变换的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
矩阵变换的性质
矩阵变换的性质．
与“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连...”相似的题目：
若矩阵a1a2a3a4b1b2b3b4满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为&&&&2448144288
已知实数a，b∈R，若M=-1ab3M把直线l：3x-2y=3变换为自身，试求实数a，b．&&&&
在平面直角坐标系xOy中，直线l：x+2y+1=0在矩阵M=a-23b&&&&
“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中...”的最新评论
该知识点好题
1已知矩阵A=21-21
2我们将点P（x，y）经过矩阵abcdf(x)=1ax2+5a
3在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（-1，2），C（0，3）．求△ABC在矩阵0-110
该知识点易错题
1若实数a、b、c、d满足矩阵等式ab02&&&&．
2在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：M=.2002
3（1）选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=k0011、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．B．选修4-2：短阵与变换已知矩阵M=又1/2ρ=4sin(θ+又π/4)，求曲线C的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．”的答案、考点梳理，并查找与习题“[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．B．选修4-2：短阵与变换已知矩阵M=又1/2ρ=4sin(θ+又π/4)，求曲线C的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．”相似的习题。用初等变化法化二次型为标准型，可是当化成对角矩阵后还可以继续化，那么岂不是有无穷多的答案。_百度知道
用初等变化法化二次型为标准型，可是当化成对角矩阵后还可以继续化，那么岂不是有无穷多的答案。
如化简后为1 0 0
那么对这个矩阵可以任意变换，也就是说给我一个3元二次型，我可以随便取3个任意的数a，b，c，二次型一定可以化为f=a(X1)^(2)+b(X2)^(2)+c(X3)^(2)。我这样想对吗？
提问者采纳
当然有无穷多个答案，这里只要你取的a,b,c都是正数就行
那难道随便写3个书都可以算答案，那还用得着用矩阵变换吗？
问题的本质是什么和应该用何种手段去解决问题是两码事从历史上讲多元二次型的配方远远早于矩阵的出现
提问者评价
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同学，这是我最讨厌的科目，不会
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出门在外也不愁将二次型xTAx=x1^2+x2^2+5x3^2+20x3x4+20x4^2用正交变换化为标准形，并给出所用正交矩阵，本人算出A的特征_百度知道
将二次型xTAx=x1^2+x2^2+5x3^2+20x3x4+20x4^2用正交变换化为标准形，并给出所用正交矩阵，本人算出A的特征
为0，1,1,25,。变换矩阵P=[0 1 0 0
1 0 0 2],但验算时却无法得出[0
25],而是得出[0
125]请问哪里做错了，书上用的是合同变换的方法，得出的二次型为y1^2+y2^2+5y3^2，是否同一二次型能变换出不同的二次型？
提问者采纳
如果仅仅是化为标准型，形式不一定相同对角线上也未必是特征值，但标准型中正负号的个数一定一样，分别为正负惯性指数，用正交变换要求变换矩阵P为正交阵（这种方法能保证变换后的对角型除排列次序外是唯一的，都是特征值，但也不保证P唯一），你的P不是正交矩阵，所以你没进行正交变换。
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线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组——习题课
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