(x^2-1)^n在【0 1】求定积分_百度知道
(x^2-1)^n在【0 1】求定积分
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* n,1] (x-1)^n (x+1)^n d(x-1)=1&#47! * n,1] (x+1)^n d(x-1)^(n+1)=n&#47,1] (x^2-1)^n dx=∫[0;(n+1) * ∫[0;(n+1) * ∫[0! * ∫[0.;(2n),1] (x-1)^(2n) dx=n;(n+1)(n+2) * ∫[0,1] (x+1)^(n-1) (x-1)^(n+1) dx=n(n-1)&#47,1] (x+1)^(n-2) (x-1)^(n+2) dx=;(2n+1).=n.!&#47!&#47∫[0
答案是2*（-1）^n*(2n)!!/(2n+1)!!
∫[0,1] (x^2-1)^n dx=∫[0,1] (x-1)^n (x+1)^n d(x-1)=1/(n+1) * ∫[0,1] (x+1)^n d(x-1)^(n+1)=1/(n+1) * (x+1)^n * (x-1)^(n+1) |[0,1]
+ n/(n+1) * ∫[0,1] (x+1)^(n-1) (x-1)^(n+1) dx=(-1)^(n+1)/(n+1) + n/(n+1) * ∫[0,1] (x+1)^(n-1) (x-1)^(n+1) dx推的时候出现错误,不好意思哈∫[0,1] (x^2-1)^n dx=∫[0,1] Σ[i=0,n]
(-1)^(i) * C[n,i] * x^(2n-2i)
dx=Σ[i=0,n]
(-1)^(i) * C[n,i] * x^(2n-2i)
dx=Σ[i=0,n]
(-1)^(i) * C[n,i] * x^(2n-2i+1)/(2n-2i+1) | [0,1]=Σ[i=0,n]
(-1)^(i) * C[n,i]/(2n-2i+1)=1/(2n+1)-n/(2n-1)+n(n-1)/2(2n-3)-n(n-1)(n-2)/6(2n-5)+....+(-1)^n 用数学归纳法:n=0时,原式=1,n=1时,原式=1/3-1=-2/3,n=2时,原式=1/5-2/3+1=8/15,n=3时,原式=1/7-3/5+3/3-1=-16/35,所以原式=(-1)^n * 2n!!/(2n+1)!!你给的答案多了个2吧...用n=0代入可知原式=1
提问者评价
不好意思多了个2，谢谢哈
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出门在外也不愁matlab求定积分
一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
&&syms&x&y&z&&%定义符号变量
&&F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)&&%注意定积分的书写格式
/*2^(1/2)+*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)&&&&%给出有理数解
&&VF2=vpa(F2)&&%给出默认精度的数值解
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
&&fun=inline('exp(-x.*x)','x');&&%用内联函数定义被积函数fname
&&Isim=quad(fun,0,1)&&%辛普生法
IL=quadl(fun,0,1)&&&%牛顿－柯特斯法
三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。
&&d=0.001;
&&x=0:d:1;
&&S=d*trapz(exp(-x.^2))
&&format&long&g
&&x=0:0.001:1;&&%x向量，也可以是不等间距
&&y=exp(-x.^2);&&&%y向量，也可以不是由已知函数生成的向量
&&S=trapz(x,y);&&&%求向量积分
&&&&0.185&
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。用MATLAB求定积分
一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：
&&syms&x&y&z&&%定义符号变量
&&F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)&&%注意定积分的书写格式
/*2^(1/2)+*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)&&&&%给出有理数解
&&VF2=vpa(F2)&&%给出默认精度的数值解
二、数值积分
1.数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。
&&fun=inline('exp(-x.*x)','x');&&%用内联函数定义被积函数fname
&&Isim=quad(fun,0,1)&&%辛普生法
IL=quadl(fun,0,1)&&&%牛顿－柯特斯法
三、梯形法求向量积分
trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分(向量形式，数值方法)。
&&d=0.001;
&&x=0:d:1;
&&S=d*trapz(exp(-x.^2))
&&format&long&g
&&x=0:0.001:1;&&%x向量，也可以是不等间距
&&y=exp(-x.^2);&&&%y向量，也可以不是由已知函数生成的向量
&&S=trapz(x,y);&&&%求向量积分
&&&&0.185&
附：int与quad区别
int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3
quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3
int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。求定积分∫10（xex2+x2e2）dx．
(xex2+x2e2)dx=
x2e2dx．其中
(e-1)∫01（x2e2）dx=e2∫01x2dx=e2×
∴∫10（xex2+x2e2）dx=-∫01（xex2+x2e2）dx=-[
，求x2-2x+1的值．
解方程：（1）x2-2x-1=0
（2）x（x-3）=10．
高考全年学习规划
该知识易错题
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高考英语全年学习规划讲师：李辉
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